高考数学专题复习：矩阵精选精练

高考数学专题复习：矩阵精选精练

矩阵精选精练（‎2013/2/20‎）‎ ‎1.已知矩阵M 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标 ‎ ‎2.已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成, 求矩阵。‎ ‎3.设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵M；‎ ‎（Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 ‎4.已知矩阵的一个特征值为1.‎ ‎（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；‎ ‎（Ⅱ）设，求.‎ ‎5.二阶矩阵对应的变换对正方形区域的作用结果如下图所示：‎ ‎（1）分别写出一个满足条件的矩阵；‎ ‎（2）根据（1）的结果，令，求曲线在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．‎ ‎6变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点 。‎ ‎（1）求变换的矩阵；‎ ‎（2）圆在变换的作用下变成了什么图形？‎ ‎7.已知，是绕原点逆时针旋转的变换对应的矩阵，求曲线 经过矩阵变换后的曲线方程 ‎8.设矩阵．‎ ‎（I）若，求矩阵M的逆矩阵；‎ ‎（II）若曲线C：在矩阵M的作用下变换成曲线：，‎ 求的值．K*S&5#U.C^OM 一.解答题 ．(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 ．（1）（本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换 已知是矩阵属于特征值2的一个特征向量．‎ ‎（I）求矩阵M；‎ ‎(Ⅱ)若，求．‎ ．（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T 作用下得到点P′（3，3），求A4.‎ ．‎ ．‎ ．‎ ．‎ ．。‎ ．‎ ．选修4－2：矩阵与变换 若点在矩阵 对应变换的作用下得到的点为，求矩阵的逆矩阵．‎ ．‎ ．已知矩阵经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线，求直线l2的方程。‎ 基础性解答题突破强化训练之三角函数篇参考答案 一.解答题 (1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则又，‎ 所以，所以，‎ ‎，即 故所求的逆矩阵.　　　　　　　　………………………………4分 ‎（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点 ‎，则，即，　　　　……………………5分 又点在曲线上，所以，则，‎ 即为曲线C的方程，‎ 又已知曲线C的方程为，‎ 比较系数可得，解得，∴.　……………………7分 略 选修4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.‎ 解：（Ⅰ）矩阵的特征多项式，…1分 又矩阵的一个特征值为1，‎ ‎，， ……2分 由，得，‎ 所以矩阵的另一个特征值为2. ……3分 ‎（Ⅱ）矩阵的一个特征值为，对应的一个特征向量为，……4分 另一个特征值为 ‎，对应的一个特征向量为，……5分 ‎∵，∴. ……7分 解：（Ⅰ）由条件得矩阵． 2分 ‎（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，‎ 令，解得特征值为，， 4分 设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得， 5分 同理，对于特征值，解得，取，得， 6分 所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值 的一个特征向量． 7分 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，即=1．…………………………………………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以．…………………………………4分 设曲线上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像是.‎ 由， ……………………………………………5分 所以得代入曲线得．………………………6分 由的任意性可知, ‎ 曲线在矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程为. ………………7分 解：(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) 5x+3y+6=0‎ 本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力 法1：= 即 =2，‎ 故A= . ------------------------------------ 2分 由λ1=－1，λ2=3. ‎ 当λ1=－1时，矩阵A的特征向量为=.‎ 当λ2=3时，矩阵A的特征向量为=. -----------------------------4分 故A4 =A4（+2）‎ ‎=A4+‎2A4‎ ‎=(－1)4 +2·34‎ ‎=. ------------------------------------7分 法2：由=,‎ 即 ，‎ 故A=. ------------------------------------2分 A2=，‎ A3=，‎ A4 ， ------------------------------------5分 A4=. -----------------------------------7分 〖解〗解：（I）设A的一个特征值为，由题意知：‎ ‎=0 ‎ ‎（－2）（－3）=0‎ ‎1=2，2=3 ‎ 当1=2时，由=2，得A属于特征值2的特征向量1= ‎ 当2=3时，由=3，得A属于特征值3的特征向量2= ‎ ‎（II）由于==＋=1＋2 ‎ 故==（24 1）＋（342）‎ ‎=161＋812=＋= ‎ 〖解〗（Ⅰ）设，则，即 ‎ 因为矩阵对应的变换将点变换成，‎ 所以，即 ‎ 联立两个方程组，解得，即矩阵 ‎ ‎（Ⅱ）由⑴知的特征多项式f(λ)＝(λ－6)(λ―4)―8＝λ2－10λ＋16 ‎ 所以另一个特征值λ＝2，与之对应的特征向量＝ ‎ ‎（Ⅲ）设P(x,y)为直线上的任一点，点P在矩阵变换下对应的点为Q(x0,y0)，‎ 则，　即， ‎ 解得， ‎ ‎∵x－y＋1＝0，∴，即x0－y0＋2＝0,‎ 所以直线的方程为x－y＋2＝0 ‎ 〖解〗（1），；‎ ‎（2） 所求曲线方程为：．‎ 解:依题意得 由得,故 从而由得 故为所求.‎ 解：设M=，则=8=，‎ 故=，K^S*5U.C#O%M 故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．‎ 解：由 =，得．‎ ‎（2）由（1）知 ‎ 则矩阵A的特征多项式为^S*5U.C#O%M 令，得矩阵A的特征值为-1或3．^S*5U.C#O%M 当时 二元一次方程 ‎∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为 当时，二元一次方程 ‎∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．‎ 解：由已知得，矩阵 ……………………2分 它所对应的变换为 ……………………………………4分 解得 把它代人方程为得 …………6分 即经过矩阵的变换后的曲线方程 . …………7分 矩阵与变换 ‎（1）由已知得 变化T的矩阵是 ‎（2）由，得：，‎ 代入方程，得：‎ ‎∴圆C：在变化T的作用下变成了椭圆 本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分.‎ 解： ，即 ，‎ 所以 得 ……………………（4分）‎ 即M= ，由得 .‎ 或 =1 , . …………………（7分）‎ 解：①AB= 3分 ‎②任取直线上一点P（x,y）,设P经矩阵B变换后为，则，‎ 代入，得，∴直线的方程为. 7分.‎ 解：，‎ ‎， ………………2分 则有 ………………4分 此时，同理可得 即 ………………7分 ‎