高考数学复习专题练习第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

高考数学复习专题练习第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理 一、选择题 ‎1． (ex＋2x)dx等于(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．e－1‎ C．e D．e＋1‎ 解析 ∵(ex＋x2)′＝ex＋2x，‎ ‎∴(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)| ‎＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.‎ 答案 C ‎2．已知f(x)＝2－|x|，则－‎1f(x)dx等于 (　　)．‎ A．3 B．‎4 ‎ C. D. 解析　f(x)＝2－|x|＝ ‎∴－‎1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.‎ 答案　C ‎3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 (　　)．‎ A. B. C．2 D. 解析　由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.‎ 答案　B ‎4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 (　　)．‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．6‎ 解析　dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2.‎ 答案　A ‎5．曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A．2－ln 2 B．4－2ln 2‎ C．4－ln 2 D．2ln 2‎ 解析 y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，[来 联立得在第一象限的交点为(2,1)，‎ 故所求面积为dx ‎＝＝4－2ln 2.‎ 答案 B ‎6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.‎ 解析　S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝.‎ 答案　 ‎8．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.‎ 解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.‎ 答案　0或－1‎ ‎9．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．‎ 解析　因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.‎ 答案　1‎ ‎10．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0‎ 成立，则实数a的值为________．‎ 解析 (构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；‎ 当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，‎ 所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.[来源:学§科§网]‎ 当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.‎ g(x)在区间[－1,0)上单调递增，‎ ‎∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.‎ 答案 4 ‎ 三、解答题 ‎11．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．‎ 解　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．‎ ‎∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.‎ ‎∴a＋b＝5.①‎ 又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx ‎＝＝a＋b.‎ ‎∴a＋b＝.②‎ 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，‎ ‎∴dx＝dx＝dx ‎＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2.‎ ‎12．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ 解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，‎ 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝(x－x2)dx＝＝.‎ 又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为 x3＝0，x4＝1－k，所以，‎ ＝∫(x－x2－kx)dx＝ ‎＝(1－k)3.‎ 又知S＝，所以(1－k)3＝，‎ 于是k＝1－ ＝1－.‎ ‎13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．‎ 解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由f(－1)＝2，f′(0)＝0，‎ 得即 ‎∴f(x)＝ax2＋2－a.‎ 又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx ‎＝＝2－a＝－2，‎ ‎∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.‎ ‎(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．‎ ‎∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.‎ ‎14．已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.‎ ‎(1)证明：当0≤x≤1时，‎ ‎①函数f(x)的最大值为|‎2a－b|＋a；‎ ‎②f(x)＋|‎2a－b|＋a≥0.‎ ‎(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．‎ 解 (1)证明：①f′(x)＝12ax2－2b＝‎12a.‎ 当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增．‎ 当b＞0时，f′(x)＝‎12a，‎ 此时f(x)在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}‎ ‎＝max{－a＋b,‎3a－b}＝＝|‎2a－b|＋a.‎ ‎②由于0≤x≤1，故当b≤‎2a时，‎ f(x)＋|‎2a－b|＋a＝f(x)＋‎3a－b ‎＝4ax3－2bx＋‎2a≥4ax3－4ax＋‎‎2a ‎＝‎2a(2x3－2x＋1)．‎ 当b＞‎2a时，f(x)＋|‎2a－b|＋a＝f(x)－a＋b ‎＝4ax3＋2b(1－x)－‎2a＞4ax3＋‎4a(1－x)－‎‎2a ‎＝‎2a(2x3－2x＋1)．‎ 设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则 g′(x)＝6x2－2＝6，‎ 于是g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ ‎1‎ 减[‎ 极小值 增 ‎1‎ 所以，g(x)min＝g＝1－＞0.‎ 所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.‎ 故f(x)＋|‎2a－b|＋a≥‎2a(2x3－2x＋1)≥0.‎ ‎(2)由①知，当0≤x≤1，f(x)max＝|‎2a－b|＋a，‎ 所以|‎2a－b|＋a≤1.‎ 若|‎2a－b|＋a≤1，则由②知 f(x)≥－(|‎2a－b|＋a)≥－1.‎ 所以－1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是即或 在直角坐标系aOb中，(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.‎ 作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1＜a＋b≤3.‎ 所以a＋b的取值范围是(－1,3]．‎