高考数学复习专题练习第5讲 数列的综合应用

高考数学复习专题练习第5讲 数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用 一、选择题 ‎1．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N＋)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于(　　)‎ A．52　　　　　　　　　 B．40‎ C．26 D．20‎ 解析 由题意，知＝3n－2，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2.∴an＝3n－5.‎ 因此数列{an}是等差数列，a5＝10.‎ ‎∴a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝‎4a5＝40.‎ 答案 B[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎2．数列{an}满足a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析 令n＝1，得a1＝，排除A、D；再令n＝2，得a2＝，排除C，故选B.‎ 答案 B ‎3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)‎ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n 解析 a2＝a1＋ln，‎ a3＝a2＋ln，…，‎ an＝an－1＋ln ‎⇒an＝a1＋ln＝2＋ln n.‎ 答案 A ‎4．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)．‎ A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．‎ 答案　C ‎5．在等差数列{an}中，满足‎3a4＝‎7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝(　　)．‎ A．7 B．‎8 ‎ C．9 D．10‎ 解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，‎ 所以d＝－a1<0.‎ 解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，‎ 所以n<，则n≤9，‎ 当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.‎ 故当n＝9时，Sn取得最大值．‎ 答案　C ‎6．设函数f(x)＝2x－cos x，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a‎1a5＝ (　　)．‎ A．0 B.π‎2 ‎ C.π2 D.π2‎ 解析　设g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g＋g＋…＋g＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－＞0，则有＋＝＋＝2＞0，注意到g(x)是递增的奇函数，g＞0，g＞g＝－g，g＋g＞0，同理g＋g＞0，g＋g＋…＋g＞0，这与“g＋g＋…＋g＝‎0”‎相矛盾，因此a3－＞0不可能；同理a3－＜0也不可能)；又{an}是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f＝π－cos＝π，[f(a3)]2－a‎1a5＝π2，选D.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.‎ 解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.‎ 答案　2‎ ‎8．设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N＋.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.‎ 解析 根据等比数列的前n项和公式Sn＝，‎ 则Tn＝＝＝，令qn＝(‎ )n＝t，则函数g(t)＝t＋，当t＝4时函数g(t)取得最小值，此时n＝4，而＝<0，故此时Tn最大，所以n0＝4.‎ 答案 4‎ ‎9．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．[来源:‎ 解析 设第十名到第一名得到的资金分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋1，‎ ‎∴a1＝2，又an－1＝Sn－1＋1(n≥2)，‎ 故an－an－1＝an.‎ ‎∴an＝2an－1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10＝＝2 046.‎ 答案 2 046‎ ‎10．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：‎ ，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：‎ ‎①a24＝；‎ ‎②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；‎ ‎③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；‎ ‎④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.‎ 其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)‎ 解析　依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n ‎＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.‎ 对于①，注意到21＝<24<＝28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．‎ 对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，则bn＝‎ ＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此②不正确，③正确．‎ 对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于＝10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝，因此④正确．‎ 综上所述，其中正确的结论有①③④.‎ 答案　①③④‎ 三、解答题 ‎11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 因为S5＝‎5a3＝35，a5＋a7＝26，‎ 所以解得a1＝3，d＝2，‎ 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，‎ Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.‎ ‎(2)由(1)知an＝2n＋1，‎ 所以bn＝＝＝－，‎ 所以Tn＝＋＋…＋ ‎＝1－＝.‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)设bn＝a2n－2，n∈N＋，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(3)已知cn＝log|bn|，求证：＋＋…＋<1.‎ 解 (1)由数列{an}的递推关系易知：‎ a2＝，a3＝－.‎ ‎(2)证明：bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2[来源 ‎＝a2n＋1＋(2n－1)＝(a2n－4n)＋(2n－1)‎ ‎＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn.‎ 又b1＝a2－2＝－，∴bn≠0，∴＝，‎ 即数列{bn}是公比为，首项为－的等比数列，‎ bn＝－n－1＝－n.‎ ‎(3)证明：由(2)有cn＝log|bn|＝logn＝n.‎ ‎∵＝－(n≥2)．‎ ‎∴＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.‎ ‎13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．‎ ‎(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N*)．‎ ‎(1)解　设公差为d，则 解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，‎ 所以an＝n＋1，Sn＝.‎ 又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4.‎ 所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝＝2，‎ 所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.‎ ‎(2)证明　因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n， ①‎ 故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ②‎ ‎①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，‎ ‎∴Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝.‎ cn＋1－cn＝－ ‎＝>0，‎ 所以cn＋1>cn(n∈N*)．‎ ‎14．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an＝(单位：万元，n∈N＋)，记第n天的利润率bn＝，例如b3＝.‎ ‎(1)求b1，b2的值；‎ ‎(2)求第n天的利润率bn；‎ ‎(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．‎ 解 (1)当n＝1时，b1＝；当n＝2时，b2＝.‎ ‎(2)当1≤n≤25时，a1＝a2＝…＝an－1＝an＝1.‎ ‎∴bn＝＝＝.‎ 当26≤n≤60时，‎ bn＝ ‎＝＝，‎ ‎∴第n天的利润率bn＝(n∈N＋)．‎ ‎(3)当1≤n≤25时，‎ bn＝是递减数列，此时bn的最大值为b1＝；[来源:Z。xx。k.Com]‎ 当26≤n≤60时，‎ bn＝＝≤＝ .‎ 又∵>，∴n＝1时，(bn)max＝.‎ ‎∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为.‎