2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题6 解析几何
专题6 解析几何
一、直线和圆
1.如何判断两条直线平行与垂直?
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有k1=k2⇔l1∥l2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
若两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则k1·k2=-1⇔l1⊥l2,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.
2.如何判断直线与圆的位置关系?
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d
0
相切
d=r
Δ=0
相离
d>r
Δ<0
3.如何判断圆与圆的位置关系?
设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:
位置
关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何
d>R+
d=R+
R-r<
d=R-
db>0)
+=1(a>b>0)
图形
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
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对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
2.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些?
标准方程
-=1
(a>0,b>0)
-=1
(a>0,b>0)
图形
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或
y≥a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长
a,b,c的
关系
c2=a2+b2
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3.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些?
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
顶点
O(0,0)
对称轴
直线y=0
直线x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线
方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,
y∈R
x≤0,
y∈R
y≥0,
x∈R
y≤0,
x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
三、直线与圆锥曲线的位置关系
1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系?
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即消去
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y,得ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.如何求圆锥曲线的弦长?
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=·|x1-x2|=·=·|y1-y2|=·.
3.直线与圆锥曲线相交时,弦中点坐标与直线的斜率是什么关系?试用点差法进行推导.
椭圆:设直线l斜率为k,直线l与椭圆+=1交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,AB中点为P(x0,y0).
则+=1,+=1,两式相减整理得:
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=-,即k=-.
同理:双曲线中有k=.
1.直线与圆的方程问题在近几年的高考中考查强度有所下降,其中两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离是命题的热点.圆与直线相结合命题,着重考查待定系数法求圆的方程,直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切、相交.
2.圆锥曲线主要考查的问题
(1)圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,这部分是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然会考查双曲线.圆锥曲线可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.
(2)直线与圆锥曲线的位置关系:此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度考查,或探究平分面积的线、平分线段的点(线),或探究使其解析式成立的参数是否存在.
(3)圆锥曲线的参数范围、最值问题:该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、不等式、向量等知识交汇,形成轨迹、范围、弦长、面积等问题.
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从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为20%,一般是一个解答题和两个小题,难度比例适当.
一、选择题和填空题的命题特点
(一)考查直线与圆的方程,难度中等,主要考查圆的方程、直线与圆相交形成的弦长、直线与圆相切或相交的有关问题.
1.(2018·全国Ⅰ卷·文T15改编)直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,当|AB|=2时,k= .
解析▶ 圆的标准方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径为2,设圆心到直线kx-y+1=0的距离为d,则d=.因为|AB|=2=2=2,所以d=,所以=,所以k=±1.
答案▶ ±1
2.(2018·全国Ⅲ卷·文T8改编)已知A(-2,0),B(0,-2),则圆(x-2)2+y2=2上一点P到AB所在直线距离的取值范围是( ).
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
解析▶ 根据题意得AB所在的直线方程为x+y+2=0,则圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d==2.又因为半径r=,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2+=3,最小值为2-=,故选C.
答案▶ C
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(二)考查圆锥曲线的概念与标准方程,难度中等,主要考查圆锥曲线的定义、代入法求轨迹方程以及待定系数法求标准方程.
3.(2018·北京卷·文T12改编)若双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,则a= .
解析▶ 因为a>0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,所以a=4.
答案▶ 4
4.(2018·天津卷·文T7改编)已知双曲线-=1(a>0,b>0) 的渐近线方程为y=±x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ).
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析▶ 由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y=x,即
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bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且AC⊥CD,BD⊥CD,EF⊥CD,所以四边形ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF==3,得EF==b,所以b=3.又=,所以a=,故双曲线的方程为-=1,故选A.
答案▶ A
(三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质.
5.(2018·全国Ⅰ卷·文T4改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(2,0),离心率为,则C的标准方程为( ).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析▶ 因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e==,解得a=2,所以b=2,故C的标准方程为+=1,故选C.
答案▶ C
6.(2018·全国Ⅲ卷·文T10改编)已知点(4,0)到双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为2,则C的离心率为( ).
A. B.2
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C. D.2
解析▶ 由题意可知双曲线的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,故点(4,0)到C的渐近线的距离d==2,整理可得a=b,故双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e===,故选A.
答案▶ A
(四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与取值范围问题.
7.(2017·全国Ⅰ卷·文T12改编)已知椭圆C:+=1离心率的取值范围为,则m的取值范围为( ).
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
解析▶ 当03时,焦点在y轴上,则=≥,∴≤,即≤,得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.
答案▶ A
8.(2017·全国Ⅱ卷·文T5改编)已知双曲线C:-=1(a>0,b>
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0)的虚轴长为2,实轴长大于2,则双曲线C的离心率的取值范围是( ).
A.(,+∞) B.(,2)
C.(1,) D.(1,2)
解析▶ 由题意知,b=1,a>1,则e2===1+.因为a>1,所以1<1+<2,则10)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
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解析▶ (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
2.(2017·全国Ⅱ卷·T20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线
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l过C的左焦点F.
解析▶ (1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).
由= 得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)由题意知F(-1,0).
设Q(-3,t),P(m,n),
则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).
由·=1得-3m-m2+tn-n2=1.
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以·=0,即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围)
3.(2018·北京卷·文T20)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
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(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k.
解析▶ (1)由题意得解得
所以椭圆M的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得4x2+6mx+3m2-3=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
所以|AB|=
=
=
=.
当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得+3=3,+3=3.
直线PA的方程为y=(x+2).
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由
得[(x1+2)2+3]x2+12x+12-3(x1+2)2=0.
设C(xC,yC),
所以xC+x1==.
所以xC=-x1=.
所以yC=(xC+2)=.
设D(xD,yD),
同理得xD=,yD=.
记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,
则kCQ-kDQ=-
=4(y1-y2-x1+x2).
因为C,D,Q三点共线,
所以kCQ-kDQ=0.
故y1-y2=x1-x2.
所以直线l的斜率k==1.
(三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题
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4.(2018·全国Ⅲ卷·文T20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-.
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.
解析▶ (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.
两式相减得+=0,
由=k得+·k=0.
由题设知=1,=m,
于是k=-.
由题设可知点M在椭圆内部,所以+<1,解得00,x2>0.
由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.
直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=. ①
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将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.
综上,∠ABM=∠ABN.
1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
2.圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、范围、对称性、渐近线、准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲线的几何性质并灵活应用,是解题的关键.
3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.
4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.
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(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值.
(3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得定值.
5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.
(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.
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