数学卷·2018届江西省吉安一中高二上学期第二次段考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西省吉安一中高二上学期第二次段考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则||等于（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．‎ ‎2．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎3．设a＞0，b＞0，则“x＞a且y＞b”是“x+y＞a+b，且xy＞ab”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎5．设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥β C．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α D．若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n ‎6．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎7．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，]∪（，+∞） B．（﹣∞，] C．（，+∞） D．（，]‎ ‎8．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎9．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．46 B．52﹣π C．52+3π D．46+2π ‎10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎11．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．‎ ‎14．若数列{an}满足an=（n∈N*，n≥3），a1=2，a5=，则a2016等于　　．‎ ‎15．若曲线x2+y2=5与曲线x2+y2﹣2mx+m2﹣20=0（m∈R）相交于A，B两点，且两曲线A处的切线互相垂直，则m的值是　　．‎ ‎16．函数f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）在（1，f（1））处的切线方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x﹣3y+10=0，BC：y﹣2=0，CA：3x﹣4y﹣5=0．‎ ‎（1）求∠A的正切值的大小；‎ ‎（2）求△ABC的重心坐标．‎ ‎18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=EF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置．‎ ‎（1）证明：AC⊥HD'；‎ ‎（2）若，求五棱锥D'﹣ABCEF体积．‎ ‎19．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）．‎ ‎（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；‎ ‎（2）记数列{f（n）}的前n项和为Sn，若Sn＞λn对任意正整数n恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎20．已知点O（0，0），A（3，0），B（0，4），P是△OAB的内切圆上的一动点，设u=|PO|2+|PA|2+|PB|2，求u的最大值及相应的P点坐标．‎ ‎21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．‎ ‎（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求三棱柱ABC﹣A1B1C的侧面积．‎ ‎22．已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）问：x轴上是否存在一定点P，使得对于曲线C上的任意两点A和B，当=λ（λ∈R）时，恒有△PAM与△PBM的面积之比等于？若存在，则求P点的坐标，否则说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则||等于（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由斜率公式求出y，从而求出A点，由此能求出||的值．‎ ‎【解答】解：∵经过两点A（4，2y+1）B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，‎ ‎∴tan=，解得y=﹣3，‎ ‎∴A（4，﹣5），‎ ‎∴||==2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），‎ 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，‎ 解得：a=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设a＞0，b＞0，则“x＞a且y＞b”是“x+y＞a+b，且xy＞ab”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由a＞0，b＞0，x＞a且y＞b，可得：x+y＞a+b，且xy＞ab．反之不成立，例如x＞b，y＞a．‎ ‎【解答】解：由a＞0，b＞0，x＞a且y＞b，可得：x+y＞a+b，且xy＞ab．反之不成立，例如x＞b，y＞a．‎ 因此“x＞a且y＞b”是“x+y＞a+b，且xy＞ab”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥β C．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α D．若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对4个选项，分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β或α∥β，故不正确；‎ 若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故不正确；‎ 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α，不正确，缺少条件m⊂β，故不正确；‎ 若α∩β=n，m∥α，m∥β，根据线面平行的判定与性质，可得m∥n，正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．‎ ‎【解答】解：，；‎ ‎∴；‎ 又0°≤∠ABC≤180°；‎ ‎∴∠ABC=30°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，]∪（，+∞） B．（﹣∞，] C．（，+∞） D．（，]‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系先求出“p且q”为真命题的范围即可求“p且q”为假命题的范围．‎ ‎【解答】解：若函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，‎ 则对称轴x=≤1，即a≤，即p：a≤，‎ 若函数y=（2a﹣1）x为减函数，‎ 则 0＜2a﹣1＜1，得＜a＜1，即q：＜a＜1，‎ 若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，‎ 则，即＜a≤，‎ 则若“p且q”为假命题，‎ 则a≤或a＞，‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，‎ 正方体的体对角线为=2，‎ 即为球的直径，所以半径为，‎ 所以球的表面积为=12π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．46 B．52﹣π C．52+3π D．46+2π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为长方体中挖去一个半圆柱．共含有1个曲面和7个平面．‎ ‎【解答】‎ 解：由三视图可知几何体为一个长方体挖去一个半圆柱，长方体的长宽高分别是4，3，2．半圆柱的底面半径为1．‎ ‎∴几何体的前后面面积为2×（2×4﹣）=16﹣π，几何体的左右面面积为2×3×2=12．‎ 几何体的底面积为3×4=12．几何体的上表面面积为2×3×1+π×1×3=6+3π．‎ ‎∴几何体的表面积S=16﹣π+12+12+6+3π=46+2π．‎ 故先D．‎ ‎　‎ ‎10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，‎ 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，‎ 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；‎ 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，‎ ‎∵MF1与x轴垂直，‎ ‎∴（2a+x）2=x2+4c2，‎ ‎∴x=‎ ‎∵sin∠MF2F1=，‎ ‎∴3x=2a+x，‎ ‎∴x=a，‎ ‎∴=a，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．‎ ‎【解答】‎ 解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，‎ 由得D（1，），‎ 所以z=x+y的最大值为1+；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若数列{an}满足an=（n∈N*，n≥3），a1=2，a5=，则a2016等于　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由题意求出数列的周期，得到a2016=a6，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：an=（n∈N*，n≥3），‎ ‎∴a3=，即=，‎ ‎∴a4==‎ ‎∴a5=，即a3==，‎ ‎∴a2=3，‎ ‎∴a6==，‎ ‎∴a7==2，a8=3，‎ 故周期是6，2016÷6=336，‎ ‎∴a2016=a6=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．若曲线x2+y2=5与曲线x2+y2﹣2mx+m2﹣20=0（m∈R）相交于A，B两点，且两曲线A处的切线互相垂直，则m的值是　±5　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，O1A⊥AO2，由勾股定理可得m的值．‎ ‎【解答】解：由题知圆O1（0，0），O2（m，0），‎ x2+y2﹣2mx+m2﹣20=0即为（x﹣m）2+y2=20，‎ 半径分别为，2，‎ 根据两圆相交，‎ 可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，‎ 即＜|m|＜3，‎ 又O1A⊥O2A，所以有 m2=（）2+（2）2=25，‎ ‎∴m=±5．‎ 故答案为：±5．‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）在（1，f（1））处的切线方程为　2x+y﹣2=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）的导数为f′（x）=lnx+﹣4，‎ 可得在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=ln1+2﹣4=﹣2，‎ 切点为（1，0），‎ 则在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），‎ 即为2x+y﹣2=0．‎ 故答案为：2x+y﹣2=0．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．已知△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x﹣3y+10=0，BC：y﹣2=0，CA：3x﹣4y﹣5=0．‎ ‎（1）求∠A的正切值的大小；‎ ‎（2）求△ABC的重心坐标．‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【分析】（1）利用两条直线的夹角公式，求得∠A的正切值的大小．‎ ‎（2）先联立方程组求得三个顶点的坐标，再利用三角形的重心坐标公式，求得△ABC的重心坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC的三边所在直线方程分别为AB：4x﹣3y+10=0，BC：y﹣2=0，CA：3x﹣4y﹣5=0，‎ ‎∴tan∠A=||=||=．‎ ‎（2）联立直线BC与AC的方程：，解得，∴C（，2）．‎ 同理求得A（﹣，﹣）、B（﹣1，2），‎ ‎△ABC的重心为G，则由三角形重心坐标共式可得xG==﹣，yG==﹣，‎ ‎∴△ABC的重心坐标是．‎ ‎　‎ ‎18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=EF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置．‎ ‎（1）证明：AC⊥HD'；‎ ‎（2）若，求五棱锥D'﹣ABCEF体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）证明AC∥EF，通过EF⊥HD，EF⊥HD'，证明AC∥HD'．‎ ‎（2）利用平行关系，经过计算证明OD′⊥OH，结合AC⊥HD′，AC⊥BD，推出AC⊥平面BHD′，得到AC⊥OD′，求出．五边形ABCFE的面积，然后求解五棱锥D'﹣ABCEF体积．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，AC⊥BD，AD=CD，‎ 又由AE=CF得，故AC∥EF，‎ 由此得EF⊥HD，EF⊥HD'，所以AC∥HD'．‎ ‎（2）由EF∥AC得，‎ 由AB=5，AC=6得，‎ 所以OH=1，D'H=DH=3，于是OD′2+OH2==9=D′H2，‎ 所以OD′⊥OH，由（1）可知：AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′=H，‎ 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，‎ 又由OD'⊥OH，AC∩OH=O，所以，OD'⊥平面ABC．‎ 又由得．‎ 五边形ABCFE的面积．‎ 所以五棱锥D'﹣ABCEF体积．‎ ‎　‎ ‎19．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）．‎ ‎（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；‎ ‎（2）记数列{f（n）}的前n项和为Sn，若Sn＞λn对任意正整数n恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；简单线性规划．‎ ‎【分析】（1）f（1）=3，f（2）=6．当x=﹣1时，y取值为﹣1，﹣2，…，﹣2n，当x=﹣2时，y取值为﹣1，﹣2，…，﹣n，即可得出格点的个数．‎ ‎（2）由等差数列的前n项和公式可得：Sn=，Sn＞λn对任意正整数n恒成立，化为λ＜，利用数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）f（1）=3，f（2）=6．‎ 当x=﹣1时，y取值为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣2n，共有2n个格点．‎ 当x=﹣2时，y取值为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n，共有n个格点．‎ ‎∴f（n）=n+2n=3n．‎ ‎（2）由（1）可得：Sn=，‎ ‎∵Sn＞λn对任意正整数n恒成立，‎ ‎∴＞λn，化为λ＜，‎ ‎∴λ＜3．‎ ‎　‎ ‎20．已知点O（0，0），A（3，0），B（0，4），P是△OAB的内切圆上的一动点，设u=|PO|2+|PA|2+|PB|2，求u的最大值及相应的P点坐标．‎ ‎【考点】圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】方法一：利用三角形的面积相等，求得圆心与半径，即可求得圆方程，设P（1+cosθ，1+sinθ），由正弦函数的性质即可求得u的最大值及相应的P点坐标．‎ 方法二：由题意可得内切圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，可得3x2+3y2﹣6x﹣6y+3=0，整体代入|PA|2+|PB|2+|PO|2=﹣2y+22，由函数的思想可得最值．‎ ‎【解答】解：方法一：设△OAB内切圆的圆心为（a，a）‎ ‎∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），‎ ‎∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，‎ 由等面积可得×3×4=（3+4+5）a，解得a=1‎ ‎∴△OAB内切圆的圆心为（1，1），半径为1，‎ ‎∴△OAB内切圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；‎ 设P（1+cosθ，1+sinθ），‎ 则u=（1+cosθ）2+（1+sinθ）2+（1+cosθ﹣3）2+（1+sinθ）2+（1+cosθ）2+（1+sinθ﹣4）2…‎ 即u=20﹣2sinθ，θ∈R…‎ 故当且仅当sinθ=﹣1时，umax=22…‎ ‎∴umax=22，相应的点为P（1，0）…‎ 方法二：设△OAB内切圆的圆心为（a，a）‎ ‎∵0（0，0），A（3，0），B（0，4），‎ ‎∴|OA|=3，|OB|=4，|AB|=5，‎ 由等面积可得×3×4=（3+4+5）a，解得a=1‎ ‎∴△OAB内切圆的圆心为（1，1），半径为1，‎ ‎∴△OAB内切圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；‎ ‎∵点P是△ABO内切圆上一点，设P（x，y）‎ 则（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ ‎∴x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，‎ ‎∴3x2+3y2﹣6x﹣6y+3=0，‎ ‎∴u=|PA|2+|PB|2+|PO|2=（x﹣3）2+y2+x2+（y﹣4）2+x2+y2，‎ ‎=3x2+3y2﹣6x﹣8y+25=3x2+3y2﹣6x﹣6y+3﹣2y+22=﹣2y+22‎ ‎∴|PA|2+|PB|2+|PC|2=﹣2y+22，（0≤y≤2），‎ ‎∴y=0时上式取最大值22，‎ ‎　‎ ‎21．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．‎ ‎（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求三棱柱ABC﹣A1B1C的侧面积．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，证明得OE⊥BB1，A1O⊥BC，推出AO⊥BC，然后证明BC⊥平面AA1O，推出BC⊥OE，证明OE⊥平面BB1C1C，然后求解AE即可．‎ ‎（2）连接BE，EC，OE⊥平面BB1C1C，可得AA1⊥平面EBC，然后求解三棱柱ABC﹣A1B1C的侧面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，‎ 得OE⊥BB1，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，‎ 因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，‎ 所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C，‎ 又，得…‎ ‎（2）解：由（1）连接BE，EC，OE⊥平面BB1C1C，可得AA1⊥平面EBC，‎ ‎∴EB===，‎ 三棱柱ABC﹣A1B1C的侧面积：2××+4×=…‎ ‎　‎ ‎22．已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）问：x轴上是否存在一定点P，使得对于曲线C上的任意两点A和B，当=λ（λ∈R）时，恒有△PAM与△PBM的面积之比等于？若存在，则求P点的坐标，否则说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：22+|x|2=（x﹣2）2+y2，化简整理即可得出．‎ ‎（2）设P（a，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由=λ（λ∈R），可知：M，A，B三点共线，设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y2﹣4my﹣8=0..由△PAM与△PBM的面积之比等于，可得：PM平分∠APB，因此直线PA，PB的倾斜角互补，即kPA+kPB=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：22+|x|2=（x﹣2）2+y2，化为：y2=4x．‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x．‎ ‎（2）设P（a，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由=λ（λ∈R），可知：M，A，B三点共线．‎ 设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y2﹣4my﹣8=0．‎ ‎∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣8．由△PAM与△PBM的面积之比等于，可得：PM平分∠APB，‎ 因此直线PA，PB的倾斜角互补，‎ ‎∴kPA+kPB=0，∴ +=0，‎ 把x1=my1+2，x2=my2+2代入可得： =0，‎ ‎∴﹣16m+（2﹣a）×4m=0，化为：m（a+2）=0，由于对于任意m都成立，∴a=﹣2．‎ 故存在定点（﹣2，0），满足条件．‎