数学理卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试（2017

‎2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题 数 学（理）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知平面向量的夹角为，，，则（ ） ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知等差数列满足，，则它的前12项和（ ）‎ A．135 B．150 C.95 D．85‎ ‎5.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）‎ A．36 B．24 C. 72 D．144‎ ‎6.已知：命题“是，的充分必要条件”；命题“，”，则下列命题正确的是（ ）‎ A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题 ‎ C. 命题“”是真命题 D．命题“”是真命题 ‎7.在平面直角坐标系中，，点是以原点为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是（ ）‎ A．5 B．4 C.3 D．‎ ‎8.已知变量满足则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数，则函数的零点的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ ‎11.已知直三棱柱中，，，则异面直线与线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为 ．‎ ‎14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ．‎ ‎15.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为 ．‎ ‎16.设是曲线上的任一点，是曲线上的任一点，称的最小值为曲线与曲线的距离，求曲线与直线的距离为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且满足（）.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和为 ‎18. 台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：‎ ‎（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.‎ 附：临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 随机变量 ‎19.如图，直角梯形与等腰直角三角形的平面互相垂直，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面成角的正弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.‎ ‎20. 某品牌汽车店，对该品牌旗下的型、型、型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为200元，汽车店记录了该品牌三种类型汽车各100辆到店维修的情况，整理得下表：‎ 车型 型 型 型 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎40‎ 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机制取10辆进行问卷回访.‎ ‎（1）从参加问卷回访的10辆汽车中随机制取两辆，求这两辆汽车来自不同类型的概率；‎ ‎（2）某公司一次性购买该品牌型汽车各一辆，求这三辆车的一年维修人工费用的总和为400元的概率.（各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）‎ ‎（3）经调查，该品牌型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系：‎ 价格（万元）‎ ‎25‎ ‎23.5‎ ‎22‎ ‎20.5‎ 销售量（辆）‎ ‎30‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎39‎ 由表中数据知型汽车的购买量与价格符合线性回归方程：，若型汽车价格降到19万元，请你利用该回归方程预测月销售量大约是多少？ ‎ 参考数据： ‎ 参考公式： ‎ ‎21. 已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为 ‎（1）求的值及函数的极值；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有 ‎22. 设的内角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADDBC 6-10:DCBBC 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 2 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. （1）解：(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两 式相减，得an＝2an－1＋1 ‎ 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列 ‎ ‎ 因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1 (2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.‎ 所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，  ① 2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，    ② ①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1. 所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.‎ ‎18. 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 捐款不超 过500元 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎30‎ 捐款不超 过500元 ‎6‎ 合计 ‎（图2）‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 ‎30‎ 捐款超过 ‎500元 捐款不超 过500元 ‎6‎ 合计 ‎（图2）‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎30‎ 捐款不超 过500元 ‎6‎ 合计 ‎（图2）‎ 因为， 所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．‎ ‎（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.‎ 由题意知的取值可能有，‎ ， ‎ ， ‎ ，‎ ‎ ， ‎ ，‎ 从而的分布列为 ，‎ ‎19. 解：（Ⅰ）取中点，连结，．因为，所以． ‎ 因为四边形为直角梯形，，，‎ 所以四边形为正方形，所以． ‎ 所以平面． 所以 ． ‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，且 ，‎ 所以平面，所以． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以． 所以 ，平面的一个法向量为．‎ 设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为． ‎ ‎（Ⅲ）存在点，且时，有// 平面．‎ ‎ 证明如下：由 ，，所以．‎ 设平面的法向量为，则有所以 取，得 因为 ，且平面，所以 // 平面． 即点满足时，有// 平面．‎ ‎20. 解：（1）100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，A、B、C型汽车各2，4，4辆．‎ 从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，有=45种方法，这两辆汽车来自同一类型的概率为=；汽车来自不同类型的概率为 ‎(2)ξ表示这三辆车的一年维修人工费用总和 则P（ξ=400）=0.2×0.4×0.6+0.2×0.6×0.4+0.8×0.4×0.4=0.224，‎ ‎（3） = （25+23.5+22+20.5）=22.75， = （30+33+36+39）=34.5，‎ 解得 ， ‎ 回归直线方程为： 所以当x=19时所以预测月销售量大约是42辆。‎ ‎21. 解：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a.‎ 又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.‎ 所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2.‎ 令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.‎ 当xln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，‎ 且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，‎ f(x)无极大值．‎ ‎(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.‎ 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，‎ 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，‎ 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x20时，x20时，x21，要使不等式x2kx2成立．‎ 而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．‎ 令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.‎ 所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．‎ 取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．‎ 又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，‎ 易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.‎ 即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x20时，x2x0时，有x2ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，‎ 且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，‎ f(x)无极大值．…………3分 ‎(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.‎ 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，‎ 故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，‎ 所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x20时，x20时，x21，要使不等式x2kx2成立．‎ 而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．‎ 令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.…………9分 所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．‎ 取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．‎ 又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，‎ 易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.‎ 即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x20时，x2x0时，有x2

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