2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题（解析版）

2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题（解析版）‎ 一、填空题 ‎1．命题，使得的否定为___________.‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：‎ 命题，使得的否定为，使得.‎ ‎2．抛物线的准线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填 ‎3．在等差数列中，已知，则的值为______.‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以 考点：等差数列性质 ‎4．下列命题：①或；②命题“若，则”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】①真，因为p或q命题是，p,q中，只要一个为真即为真。②真，否命题为：“若，则”，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不变。③错，逆命题为：“若两上四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，为错，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形。所以填1.‎ ‎5．能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为 ，故当 时函数值等于3.此时不满足题干。‎ 故答案为2 。‎ 点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。‎ ‎6．“”是“或”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】不妨设P:“”,q:“或”‎ ‎： ， 且，显然而且推不出，所以，且推不回去，即“”是“或”的充分不必要条件，填充分不必要。‎ ‎【点睛】‎ 当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即与，分析出与的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。‎ ‎7．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得,9+a=13,所以，所以双曲线方程，填。‎ ‎8．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得且，所以不等式的解集为，填 ‎【点睛】‎ 解一元二次不等的步骤为，先化标准式，即不等式右边为0，左边最高次系数为正。第二步找到不等式所对应方程的根，一般进行因式分解或判断判别式后用求根公式。第三步是结合不等式所对应函数图像写出不等式解集。如果有参数要对参数进行分类讨论。即一元一元不等和一元二次不等式的解集分界点是所对应方程的根。‎ ‎9．设满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据约束条件画出可行域如下图，目标函数z=x+3y,可化为 ‎，即求截距的最大值。所以过时， ，填2。‎ ‎10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，若，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，，，则，所以，又由余弦定理得，即，代入得，又由题意，即，代入得，，（1舍去），所以．‎ 考点：椭圆与双曲线的几何性质．‎ ‎【名师点睛】在椭圆与双曲线的问题中，出现焦点三角形时，要用到椭圆（或双曲线）的定义，即曲线上的点到两焦点的距离之和（差）为常数（长轴长（或实轴长））．象本题，由此可把点到两焦点的距离用表示出来，再在中应用余弦定理，建立起与的等量关系，而这正是求离心率所需要的．‎ ‎11．在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得， ，代入下式 ‎==‎ ‎ ，可得，填。‎ ‎【点睛】‎ 统一成一个变量是解决本题的关键，当出现多个变量时，我们常用变量与变量之间的关系统一成一个变量，或通过换元转化成其它的变量，同时注意变量范围。‎ ‎12．已知实数满足，，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎13．各项均为正数的等比数列中， ，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的是第________项．‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】由题意可得，设抽掉的一项为，则，得 ‎=，化简得，即，所以，‎ ‎，即m.逐一检验m=3,4,…,13,可得m=t=13符合。填13。‎ ‎【点睛】‎ 本题有变量q,t,m但是只有两个等式，一般我们先估算出某个参数范围，再利用的整数进行检验，逐个排除法。即变量个数大于方程数时，我们需要先估计出某个参数范围，再利用整数性进行逐个检验，另有些是多个变量可以通过换元转化成一个变量。‎ ‎14．设是正实数，满足，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ，令当且仅当时取“=”， 则的最小值为．‎ 二、解答题 ‎15．命题：实数满足（其中），命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,解出命题P为真时的x范围，和q为真时x范围，再由为真，即p和q都为真，两个范围做交运算。（2）因为是的充分不必要条件，则，‎ 可得实数的取值范围。‎ 试题解析：（1）由得，‎ 又，所以，‎ 当时， ，即为真时，实数的取值范围是，‎ 由得，解得，即为真时，实数的取值范围是，‎ 若为真，则真且真，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）知： ，则： 或，‎ ‎： ，则： 或 因为是的充分不必要条件，则，‎ 所以解得，故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 为真，即p与q同时为真。为假，即p与q中至少有一个为假。‎ ‎ 为真，即p与q至少有一个为真。为假，即p与q同时为假。‎ ‎16．在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为， ，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点在椭圆上，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）c=4, ,可解得椭圆标准方程。（2）用坐标表示向量式，即用表示M点坐标，代入椭圆方程，可求得的值。‎ 试题解析：（1）依题意，设椭圆的标准方程为 ‎，∴‎ 椭圆的标准方程为 ‎（2）‎ 点的坐标为 ‎∵点在椭圆上，∴‎ 即，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 解析几何有向量表达式时，我们一般先看一看有没有几何意义，如果没有显著几何意义，一般把向量关系转化为坐标关系再进行运算。‎ ‎17．已知各项均为正数的数列的首项， 是数列的前项和，且满足：‎ ‎.‎ ‎（1）若成等比数列，求实数的值；‎ ‎（2）若，求证：数列为等差数列；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求.‎ ‎【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）在题中等式中分号令n=1,2,3,解出（用表示），利用解得。（2）由于要证数列为等差数列，所以要构出相除的形式，只需把题中等式两边同时除以，即可证。（3）由（2）.再由，解得，代入上式中可得。‎ 试题解析：（1）令，得 令，得，所以 由，得，因为，所以.‎ ‎（2）当时， ，‎ 所以，即 所以数列是以2为首项，公差为的等差数列，‎ 所以，即.‎ ‎（3），①‎ 当时， ，②‎ ‎①-②得， ‎ 即，所以，‎ 所以是首项为的常数列，所以，‎ 代入①得.‎ ‎【点睛】‎ 当数列同时出现时，我们常用统一成或做，但是要注意n范围的变化，是否需要检验首项或前面几项。‎ ‎18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部是个半圆，固定点为的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.‎ ‎（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；‎ ‎（2）当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？‎ ‎【答案】（1），（2）当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可．‎ ‎（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．‎ 试题解析：‎ 解：（1）当时，过作于（如下图），‎ 则， ， ，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ；‎ 当时，过作于，连接（如下图），‎ 则， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 综上： ；‎ ‎（2）当时， 在上递减，‎ ‎∴；‎ ‎2°当时， ，‎ 当且仅当，即时取“=”，‎ ‎∴，此时，∴的最大值为，‎ 答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积取得最大值.‎ ‎19．已知椭圆： 的左焦点为，左准线方程为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于两点.‎ ‎①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足， .‎ 求证： 为定值；‎ ‎②若（为原点），求面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2)①.证明见解析；②. .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据左焦点坐标得，根据左准线方程得，解方程组得，（2）①以算代证：即利用， 坐标表示，根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简得定值，②的面积，因此根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求（用斜率表示），同理可得，代入面积公式化简可得.最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的情形.‎ 试题解析：解：（1）由题设知， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎： .‎ ‎（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.‎ 设， ，直线代入椭圆得，整理得，‎ ‎ ， ， .‎ 由， 知， ，‎ ‎ （定值）.‎ ‎②当直线， 分别与坐标轴重合时，易知的面积，‎ 当直线， 的斜率均存在且不为零时，设： ， ： ，‎ 设， ，将代入椭圆得到，‎ ‎， ，同理， ，‎ 的面积 .‎ 令 ， ，‎ 令，则 .‎ 综上所述， .‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎20．若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.‎ ‎（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.‎ ‎①当时，求；‎ ‎②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）①6，②（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）①实际考查对新定义的理解：，‎ ‎，再代入即得结果②题目暗示每三项一组进行分组求和：分组后成等差数列，首项为12，公差为18，项数为，因此，而不等式恒成立问题一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：，再根据数列单调性求其最大值：为第二项（Ⅱ）分与两种情况，分别表示出，并利用，及，解出公差及公比，写出通项公式 试题解析：（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，‎ ‎，，. ………3分 方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，‎ ‎∴，，，，，，，…‎ ‎∴当时，是周期为3的周期数列.‎ ‎∴. …………3分 ‎②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以为首项、6为公差的等差数列，‎ 又，‎ ‎， ……………6分 ‎，，设，则，‎ 又，‎ 当时，，；当时，，，‎ ‎∴，∴， …………9分 ‎∴，得. …………10分 方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，‎ ‎∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，‎ ‎∴，‎ 易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，‎ ‎，‎ ‎， ……………6分 以下同方法一.‎ ‎（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，‎ 则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，‎ 当时，，即恒成立， ……………12分 ‎①若，则，；‎ ‎②若，则，则为常数，则，为偶数，，；‎ 经检验，满足条件的的通项公式为或. ……………16分 方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，‎ ‎①若，则，，，，‎ 由，得；由，得，‎ 联立两式，得或，则或，经检验均合题意. …………13分 ‎②若，则，，，‎ 由，得，得，则，经检验适合题意.‎ 综上①②，满足条件的的通项公式为或. ……………16分 考点：新定义，分组求和，利用数列单调性求最值 ‎【方法点睛】分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；‎