数学卷·2018届江西省九江一中高二上学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西省九江一中高二上学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12题，每题5分）‎ ‎1．已知数列{an}的通项公式为an=4n﹣3，则a5的值是（　　）‎ A．9 B．13 C．17 D．21‎ ‎2．cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎3．若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3‎ ‎4．已知sin（3π+α）=，则cos2α等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎5．已知向量=（1，0），=（0，1），若（k）⊥（3），则实数k=（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣ D．‎ ‎6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则|2+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S100等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎9．已知等比数列{an}，前n项和Sn=3×2n+m，则其公比是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（　　）‎ A．[1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣，+∞）‎ ‎11．如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2011+a2012＞0，a2011×a2012＜0则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A．4021 B．4022 C．4023 D．4024‎ ‎　‎ 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．若x，2x+1，4x+5是等比数列{an}的前三项，则an=　　．‎ ‎14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a4+a7=7，则S7=　　．‎ ‎15．在△ABC中，（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=　　．‎ ‎16．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题）‎ ‎17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=24，a6=18．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（Ⅲ）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．‎ ‎18．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间，据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图．‎ ‎（I）求成绩在[80，90）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在[90，100]的概率．‎ ‎19．已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ ‎21．已知数列{an}是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn=1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如果cn=anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎22．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．‎ ‎（I）求圆A的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省九江一中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12题，每题5分）‎ ‎1．已知数列{an}的通项公式为an=4n﹣3，则a5的值是（　　）‎ A．9 B．13 C．17 D．21‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】由题目给出的数列的通项公式直接代入n的值求a5的值．‎ ‎【解答】解：由数列{an}的通项公式为an=4n﹣3，得a5=4×5﹣3=17．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】利用两角和的余弦公式，诱导公式，求得所给式子的值．‎ ‎【解答】解：cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=cos（42°+78°）=cos120°=﹣cos60°=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵a=﹣2时，l1不平行l2，‎ ‎∴l1∥l2⇔‎ 解得：a=1‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知sin（3π+α）=，则cos2α等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．‎ ‎【分析】由已知及诱导公式可求sinα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．‎ ‎【解答】解：∵sin（3π+α）=，‎ ‎∴sin，‎ ‎∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量=（1，0），=（0，1），若（k）⊥（3），则实数k=（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．﹣ D．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列出方程求出k的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，0），=（0，1），‎ ‎∴k=（k，1），‎ ‎3=（3，﹣1），‎ 又（k）⊥（3），‎ ‎∴3k﹣1=0，‎ 解得k=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】因为{an}是等差数列，故a1、a3、a9都可用d表达，又因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9，即可求出d，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a1=a1，a3=a1+2d，a9=a1+8d，‎ 因为a1、a3、a9恰好是某等比数列，‎ 所以有a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得d=a1，‎ 所以该等差数列的通项为an=nd 则的值为=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，则|2+|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意可得， =1×2×cos60°=1，再根据|2+|=，计算求的结果．‎ ‎【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=1，||=2，∴=1×2×cos60°=1，‎ ‎∴|2+|====2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S100等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据数列通项公式的特点，利用裂项法进行求和即可．‎ ‎【解答】解：∵an==2（﹣），‎ ‎∴S100=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．已知等比数列{an}，前n项和Sn=3×2n+m，则其公比是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式及其定义即可得出．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}，前n项和Sn=3×2n+m，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3×2n+m﹣（3×2n﹣1+m）=3×2n﹣1，‎ ‎∴==2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（　　）‎ A．[1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣，+∞）‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】数列{an}是单调递增数列，可得∀n∈N*，an+1＞an，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是单调递增数列，‎ ‎∴∀n∈N*，an+1＞an，‎ ‎（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，‎ 化为：b＞﹣（2n+1），‎ ‎∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，‎ ‎∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，‎ ‎∴b＞﹣3．‎ 即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】先确定每行首项的规律，再确定aij，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，a11=，∵每一列成等差数列，∴ai1=a11+（i﹣1）×=，‎ ‎∵从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，‎ ‎∴aij=ai1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1，‎ ‎∴a83=8×（）4=‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2011+a2012＞0，a2011×a2012＜0则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A．4021 B．4022 C．4023 D．4024‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先确定等差数列为递减数列，再利用等差数列通项的性质，可判断S4022＞0，S4023＜0，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：设等差数列的公差为d，‎ ‎∵a2011×a2012＜0，‎ ‎∴（a1+2010d）（a1+2011d）＜0‎ 若d＞0，∵首项a1＞0，∴（a1+2010d）（a1+2011d）＞0，不满足 ‎∴d＜0，即a2011＞a2012‎ ‎∴a2011＞0，a2012＜0‎ ‎∵a2011+a2012＞0，‎ ‎∴a1+a4022=a2011+a2012＞0‎ ‎∴S4022=2011•（a1+a4022）＞0‎ ‎∵a1+a4023=2•a2012＜0‎ ‎∴S4023=4023•a2012＜0‎ ‎∴Sn＞0时，n最大值为4022‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．若x，2x+1，4x+5是等比数列{an}的前三项，则an=　3n﹣1　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由x，2x+1，4x+5是等比数列{an}的前三项，可得（2x+1）2=x（4x+5），解得x即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x，2x+1，4x+5是等比数列{an}的前三项，‎ ‎∴（2x+1）2=x（4x+5），解得x=1．‎ ‎∴公比q==3．‎ 则an=3n﹣1．‎ 故答案是：3n﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a4+a7=7，则S7=　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可求得a4，而S7=7a4，从而可求得S7的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，a1+a4+a7=7，‎ ‎∴3a4=7，‎ ‎∴a4=，‎ 又S7=7a4=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得tan（B+C）=150°，可得A=30°，从而求得sin2A的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则 tan（B+C）==﹣，∴B+C=150°，∴A=30°，‎ ‎∴sin2A=sin60°=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=　10　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可知a1a10=a2a9=…a5a6，再利用对数的性质即可得到答案．‎ ‎【解答】解：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a10）+log3（a2a9）+…log3（a5a6）=5log3（a5a6）=10‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题）‎ ‎17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=24，a6=18．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（Ⅲ）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列方程组求出首项和公差，然后直接代入等差数列的通项公式求解；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的首项和公差直接代入等差数列的前n项和公式求解；‎ ‎（Ⅲ）利用二次函数的性质求前n项和的最大值．‎ ‎【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，‎ 由，得．‎ ‎（Ⅰ）an=a1+（n﹣1）d=28﹣2（n﹣1）=30﹣2n；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅲ）因为，‎ 由二次函数的性质可得，当n=时函数有最大值，‎ 而n∈N*，所以，当n=14或15时，Sn最大，最大值为210．‎ ‎　‎ ‎18．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在40分至l00分之间，据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图．‎ ‎（I）求成绩在[80，90）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在[90，100]的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在[80，90）的学生频率，用40乘以频率可得成绩在[80，90）的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80，90）的频率为 ‎1﹣（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，‎ 所以，40名学生中成绩在区间[80，90）的学生人数为40×0.1=4（人）．‎ ‎（Ⅱ）设A表示事件“在成绩大于等于8的学生中随机选两名学生，至少有一 名学生成绩在区间[90，100]内”，‎ 由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有4人，‎ 记这四个人分别为a，b，c，d，‎ 成绩在区间[90，100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f．‎ 则选取学生的所有可能结果为：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），‎ ‎（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）基本事件数为15，‎ 事件“至少一人成绩在区间[90，100]之间”的可能结果为：‎ ‎（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）‎ 基本事件数为9，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎19．已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由a=2bsinA，根据正弦定理求得，再由△ABC为锐角三角形可得B的大小．‎ ‎（2）由于△ABC的面积为1，可得ac=4，再由余弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，‎ 又sinA＞0，所以，‎ 再由△ABC为锐角三角形得．‎ ‎（2）由于△ABC的面积为1，可得又，∴ac=4．‎ 再由余弦定理得a2+c2﹣2accosB=b2 ，‎ 又，，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，‎ ‎∵ABCD是矩形，‎ ‎∴O为BD的中点 ‎∵E为PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB．‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，‎ ‎∴V==，‎ ‎∴AB=，PB==．‎ 作AH⊥PB交PB于H，‎ 由题意可知BC⊥平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC．‎ 又在三角形PAB中，由射影定理可得：‎ A到平面PBC的距离．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn=1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如果cn=anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得，求出d=1，从而得到an=n．由2Sn+bn=1，得，由此得到数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，从而．‎ ‎（2），由此利用错位相减法求出，由此得到所求的正整数n存在，其最小值是2．‎ ‎【解答】（本题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列，‎ ‎∴依条件有，‎ 即，解得（舍）或d=1，‎ 所以an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=n．…‎ 由2Sn+bn=1，得，‎ 当n=1时，2S1+b1=1，解得，‎ 当n≥2时，，‎ 所以，‎ 所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，‎ 故．…‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以①‎ ‎②‎ 得．…‎ 又．‎ 所以，‎ 当n=1时，T1=S1，‎ 当n≥2时，，所以Tn＞Sn，‎ 故所求的正整数n存在，其最小值是2．…‎ ‎　‎ ‎22．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．‎ ‎（I）求圆A的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，‎ ‎∴…．‎ ‎∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20…．‎ ‎（Ⅱ） ①当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意…‎ ‎②当直线l与x轴不垂直时，‎ 设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，‎ 连接AQ，则AQ⊥MN ‎∵，∴，…‎ 则由，得，∴直线l：3x﹣4y+6=0．‎ 故直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0…‎ ‎（Ⅲ）∵AQ⊥BP，∴…‎ ‎①当l与x轴垂直时，易得，则，又，‎ ‎∴…‎ ‎②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），‎ 则由，得P（，），则 ‎∴‎ 综上所述，是定值，且．…‎ ‎　‎