数学理卷·2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）

数学理卷·2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）

湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测（一）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知，其中为虚数单位，，则（ ）‎ A． B．1 C．2 D． ‎ ‎3.已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，则（ ）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）‎ A．134 B．866 C．300 D．500‎ ‎5.已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．30 C．45 D．210‎ ‎7.某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为 ‎（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知表示不超过的最大整数，如.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．450 B．460 C．495 D．550‎ ‎9.已知函数（为整数）的图像如图所示，则的值可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知的图像关于点对称，且在区间上单调，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D． ‎ ‎11.已知抛物线和圆，直线与依次相交于 四点（其中），则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D． ‎ ‎12.已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知是边长为2的等边三角形，为边的中点，则 ．‎ ‎14.已知实数满足，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知双曲线经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，，点在边上，且为锐角，的面积为4.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边的长.‎ ‎18.如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形,,‎ 平面与平面垂直，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.‎ ‎19.某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.‎ 整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：‎ 定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:‎ ‎（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；‎ ‎（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；‎ ‎（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由_‎ ‎20.已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）证明：为等腰三角形.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在区间内有唯一的零点，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是 (为参数).‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲.‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ABCAD 6-10:BCBBD 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 3 14. 4 15. 16. 7‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）∵，，‎ ‎∴.∴；‎ ‎（2）在中，，‎ 由余弦定理得：，即，‎ ‎∵，∴，即为直角三角形，‎ ‎∵，∴. ‎ ‎18.解：（1)证明：因为平面与平面垂直 且，平面与平面的交线为 ‎ 所以面， ‎ 又面 所以，‎ 在矩形中， ‎ 又四边形为梯形， 所以与相交，‎ 故平面 ‎ ‎（2）由（1）知，垂直，垂直，又垂直，平行，所以垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间坐标系 ‎ ‎ 又，所以，‎ 设 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎，令，则 所以平面的法向量为 易知，平面的法向量为，‎ 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，‎ 即，解得，即 ‎ ‎19.解：（1）由对服务机构的频率分布直方图，得 对服务机构“满意度指数”为0的频率为，‎ 所以，对服务机构评价“满意度指数”为0的人数为人.‎ ‎（2）设“对服务机构评价‘满意度指数’比对服务机构评价‘满意度指数’高”为事件.‎ 记“对服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件；“对服务机构评价‘满意度指数’‎ 为2” 为事件；“对服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件；“对服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件.‎ 所以，‎ 由用频率估计概率得：，‎ 因为事件与相互独立，其中.‎ 所以 所以该学生对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3 .‎ ‎（3）如果从学生对两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：‎ 服务机构“满意度指数”的分布列为：‎ 服务机构“满意度指数”的分布列为:‎ 因为； ‎ ‎，‎ 所以，会选择服务机构.‎ ‎20.解：（1）椭圆的方程为 ‎（2）设直线为：，‎ 联立:，得 ‎ 于是 ‎ 设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需 所以为等腰三角形 ‎ ‎21.解：（1），‎ ‎①当时，，在上单调递增 ‎ ‎②当时，设的两个根为，且 ‎ ‎ 在单调递増，在单调递减.‎ ‎（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，‎ 且. ‎ 于是： ①‎ ‎ ② ‎ 由①②得，设，‎ 则，因此在上单调递减，‎ 又， ‎ 根据零点存在定理，故.‎ ‎22.解：（1）有得，∵，，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即. ‎ ‎（2）将代入圆的方程得，‎ 化简得，，‎ 设两点对应的参数分别为，则 ‎∴.‎ ‎∴，或. ‎ ‎23.解：（1）当时，不等式可化为：，‎ 解得：或， ‎ ‎（2）由得：，‎ 令，‎ 作出函数的图象如图示，‎ 结合图象知：当时，函数与的图象有三个不同交点，即方程有三个不同的解 ‎∴的取值范围为.‎