湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试 数学（文）试题（PDF版）

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书书书 姓!!名!!!!!! 准考证号!!!!!! 数学 !文科"试题 !长郡版" 第!!!!!页 !共"页" 绝密"启用前 长郡中学#$!%届高考模拟卷 !一" 数!学 !文科" 注意事项# !&本试卷分第!卷 !选择题"和第"卷 !非选择题"两部分#答卷前$考生务必将自 己的姓名%准考证号填写在答题卡上# #&回答第!卷时$选出每小题答案后$用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑# 如需改动$用橡皮擦干净后$再选涂其它答案标号#写在本试卷上无效# '&回答第"卷时$将答案写在答题卡上$写在本试卷上无效# (&考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回# 第!卷 一$选择题#本题共!"小题%每小题#分%在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合 题目要求的! !!已知集合 ") #*+#! ",! #& '$ $$) # -#$#$& '# $则 "%$) .&$$! "# /&$$( "# 0&$$! )# 1&$$( )# #!设%)!,2 !-2,#2$则 % ) .&# /&' 0&( 1&" '!已知!$&!$&#$'成等差数列$!$'!$'#$''$(成等比数列$则&!,&# '# 的值为 .&# /&-# 0&3# 1&" ( (!若456!,#! "( )! '$!& $$#! "# $则62+!的值为 .& 槡(- # 7 /& 槡(, # 7 0&8 !9 1&槡# ' "!下列命题中$错误命题是 .&*若! &'! '$则&#'#$+的逆命题为真 /&线性回归直线())('#,(&必过样本点的中心!(#$))" 0&在平面直角坐标系中到点!$$-!"和!$$!"的距离的和为#的点的轨迹为椭圆 1&在锐角**+,中$有62+#*#456#+ 7!已知函数-!#"是定义在$上的偶函数$且在 $$,:! "上单调递增$则 .&-! "-' '- -*5;'! "!' '- #$!! "7 /&-! "-' '- #$!! "7 '- -*5;'! "!' 0&- #$!! "7 '- -*5;'! "!' '-! "-' 1&- #$!! "7 '-! "-' '- -*5;'! "!' 数学 !文科"试题 !长郡版" 第#!!!!页 !共"页" 8!某几何体的三视图如下图所示$则该几何体的体积为 槡.&' /& 槡( ' ' 0& 槡" ' ' 1&# 9!我国古代名著,九章算术-用*更相减损术+求两个正整数的最大公 约数是一个伟大创举$这个伟大创举与我国古老的算法.*辗转相 除法+实质一样!如图的程序框图源于*辗转相除法+$当输入&) 9!$#$')#$!9时$输出的&) .&'$ /&7 0&# 1&9 %!若函数-!#")*62+"#,! "# !其中*#$$"#$$# '# #"图象的 一个对称中心为 # '$! "$ $其相邻一条对称轴方程为#)8# !#$该对称轴处所对应的函数 值为-!$为了得到.!#")456##的图象$则只要将-!#"的图象 .&向右平移# 7个单位长度 /&向左平移# !#个单位长度 0&向左平移# 7个单位长度 1&向右平移# !#个单位长度 !$!已知*5;! ' !#,),("'*5;! ' !'#,)-#"$若#-)'$,% $恒成立$则$的取值范围是 .&!-:$!"+!%$,:" /&!!$%" 0&!$$!"+!%$,:" 1&!$$!)+(%$,:" !!!已知抛物线,/)#)9#的焦点为/$直线) 槡) '#! "-# 与,交于*$+!* 在# 轴上方" 两点$若 ,--*/) ,--0/+$则实数0 的值为 槡.&' /&' 0&# 1&' # !#!已知函数-!#")##-! #!#'$"与.!#")*5;#!#,&"的图象上存在关于)轴对称的 点$则&的取值范围是 .&!-:$ 槡- #" /&!-:$槡#" 0&!-:$ 槡# #" 1& 槡-# #$槡#! "# 数学 !文科"试题 !长郡版" 第'!!!!页 !共"页" 第"卷 本卷包括必考题和选考题两部分!第!'$#!题为必考题%每个试题考生都必须作 答!第##$#'题为选考题%考生根据要求作答! 二$填空题#本大题共(小题%每小题"分! !'!某校高三文科!!"班共(9人$班主任为了解学生高考前的心理状况$将学生按!至(9 的学号用系统抽样方法抽取9人进行调查$若抽到的最大学号为(9$则抽到的最小学 号为!!!!! !(!平面向量!与" 的夹角为# #$! )!$" )!$则 '!-#" )!!!!! !"!如图所示$正方体*+,1-*!+!,!1! 的棱长为#$2$/ 为**!$ *+ 的中点$" 点是正方形*++!*! 内的动点$若 ,!"00平面 ,1!2$则 " 点的轨迹长度为!!!!! !7!在**+,中$内角*%+%,所对的边分别为&$'$3$1 是*+ 的中 点$若,1)! 且 &-! #! "' 62+*) !3,'"!62+,-62++"$则 **+,面积的最大值是!!!!! 三$解答题#共8$分!解答应写出文字说明$证明过程或演算步骤!第!8$#!题为必考 题%每个试题考生都必须作答!第##$#'题为选考题%考生根据要求作答! !一"必考题#共7$分 !8!!本小题满分!#分" 在**+,中$角*$+$,所对的边分别为&$'$3$已知#+)*,,$且3)#&! !!"求角*$+$,的大小1 !#"设数列&&4'满足&4)#4.456!4,".$其前4项和为54$若54)#$$求4的值! !9!!本小题满分!#分" 在平行四边形*+,1 中$*+)'$+,)#$过* 点作,1 的垂线$交,1 的延长线于点 2$*2 槡) '!连结2+$交*1 于点/$如图!$将**12 沿*1 折起$使得点2 到达点 6 的位置$如图#! !!"证明/平面+/6/平面+,61 !#"若 7 为6+ 的中点$8 为,1 的中点$且平面 *16/平面 *+,1$求三棱锥 7-+,8的体积! 数学 !文科"试题 !长郡版" 第(!!!!页 !共"页" !%!!本小题满分!#分" 已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关$为了确定下一个时段鸡舍的控制温度$某企业需 要了解鸡舍的温度#!单位/<"对某种鸡的时段产蛋量)!单位/="和时段投入成本 %!单位/万元"的影响$为此$该企业收集了8个鸡舍的时段控制温度#9 和产蛋量 )9!9)!$#$2$8"的数据$对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计 量的值! (# )) ): 0 8 9)! !#9-(#"# 0 8 9)! !:9-):"# 0 8 9)! !#9-(#"!)9-))"0 8 9)! !#9-(#"!:9-):" !8!($9#!'$ '!7 !($ %!8 #%'"!! '"!$ 其中:9)*+)9$):)! 80 8 9)! :9! !!"根据散点图判断$))'#,&与))3!>3##哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量) 关于鸡舍时段控制温度# 的回归方程类型3 !给出判断即可$不必说明理由" !#"若用))3!>3##作为回归方程模型$根据表中数据$建立)关于# 的回归方程1 !'"已知时段投入成本%与#$)的关系为%)>-#!")-$!!#,!$$当时段控制温度为 #9<时$鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少3 附/%对于一组具有线性相关关系的数据!;9$<9"!9)!$#$'$24"$其回归直线(<)(%; ,(&的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为(%) 0 4 9)! !;9-);"!<9-)<" 0 4 9)! !;9-);"# $(&))<-(%);! & >-#!" >-$!8" > >' >8 $!$9 $!(8 #!8# #$!$% !$%7!7' #$!!本小题满分!#分" 已知动点7!#$)"满足/槡!#,槡'"#,)#,槡!#-槡'"2,)#)(! !!"求动点7 的轨迹, 的方程1 !#"若点*$+ 分别位于# 轴与) 轴的正半轴上$直线*+ 与曲线, 相交于"$$ 两 点$.*+.)!$试问在曲线,上是否存在点=$使得四边形>"=$!> 为坐标原点" 为平行四边形3 若存在$求出直线*+ 的方程1若不存在$说明理由! 数学 !文科"试题 !长郡版" 第"!!!!页 !共"页" #!!!本小题满分!#分" 已知函数-!#")#*+#-& ###-# &&! "$ ! !!"若曲线))-!#"在#)>处切线的斜率为-!$求此切线方程1 !#"若-!#"有两个极值点#!$##$求&的取值范围$并证明/#!####!,##! !二"选考题#共!$分!请考生在第##$#'题中任选一题作答!如果多做%则按所做的第一 题计分! ##!!本小题满分!$分"选修(-(#坐标系与参数方程 在平面直角坐标系#>)中$直线?的参数方程为 #)!,@456!$ ))@62+& ! !@为参数$$$!'#"$ 在以坐标原点为极点$# 轴正半轴为极轴的极坐标系中$曲线, 的极坐标方程为&# ) # !,62+#'! !!"求曲线,的直角坐标方程1 !#"设点 " 的坐标为 !$! "$ $直线?与曲线, 相交于*$+ 两点$求 ! "* , ! "+ 的值! #'!!本小题满分!$分"选修(-"#不等式选讲 已知函数-!#") #-# ! !!"求不等式-!#"'#, #,! 的解集1 !#"若函数A!#")*5;# - #! ",' ,-!#"-#( )& 的定义域为$$求实数&的取值范围! 书书书 文科数学参考答案!长郡版"!"!!!! 长郡中学#$"%届高考模拟卷!一" 数学!文科"参考答案 一#选择题 题!号 " # & ' ( ) * + % "$ "" "# 答!案 , - . . , , . , - / - - "!,!$解析%012 "! "3" "$&解得""$&4#5 " ""' ($ &又0$5 " !##"#' (# &4#$$5 $&! )# ! 故选,! #!-!$解析%"36 "!65! "! ""36 "36 ! "! ""!6 "36 5#6 #56&则%5&6&故 % 5&&故选-! &!.!$解析%"&&"&&#&&成等差数列&可得&"3'&"&'"&'#&'&&'成等比数列&可得'# #5'&"&'#&'同号&所以 '#5#&4&"3&# '# 5#&故选 .! '!.!$解析%0!% $&!! "# &4!3 ! '% ! '&&!! "' &又因为789!3!! "' 5" &&4962!3!! "' 5 "!! "" &槡 # 5 槡# # & &故962!5962 !3!! "' !!* )' 5962 !3!! "' 789 ! ' !789 !3!! "' 962 ! ' 5 槡# # & :槡# # ! " & :槡# # 5 槡'! # ) &故选 .! (!,!$解析%选项 .+,若" & &" '&则&"'"$-的逆命题为+若&"'"$&则" & &" ' 显然是真命题.选项-+线性 回归直线()5('"3(&必过样本点的中心&所以-正确.选项,+在平面直角坐标系中到点!$&!""和!$&""的距 离的和为#的点的轨迹为线段&所以,不正确!选项/+在锐角'*+,中&有*3+"! #&! #"*"! #!+"$& 所以962*"962 ! #!! "+ 5789+"$&可得962#*"789#+&所以/正确.故选,! )!,!$解析%根据题意&函数-!""是定义在 !上的偶函数&则-! "!& 5-!"& &- !18;&! ""& 5- 18;&! ""& &有 #$!)&#&18;&"&&18;&#*5&&又由-!""在 $&3?'*+# 中&得.+*#5)$@&789)$@5*# *+ 5**"!++" *23+2 5*2!+2 *23+253!" 33"5" #&解得35&&故选-! "#!-!$解析%由-!""关于)轴对称的函数为4!""5-!!""5#!" ! " #!""$"&令 4!""55!""&得#!"!" #518;#!"3&"!""$"&则方程#!" ! " # 518;#!"3&"在 !$&3<"上有解!作出)5#!"!" #与)518;#!"3&"的图象&如图所示!当& #$时&函数)5#!"!" #与)518;#!"3&"的图象在!$&3<"上必有交点&符 合题意.当&"$时&若两函数在!$&3<"上必有交点&则18;#&& " #&解得 $&&&槡#&综上可知&实数&的取值范围是!!<&槡#"&故选-! 二#填空题 "&!)!$解析%由系统抽样方法从学号为"到'+的'+名学生中抽取+名学生进行调查&把'+人分成+组&抽到 的最大学号为'+&它是第+组的最后一名&则抽到的最小学号为第一组的最后一名)号!故答案为)! "'!槡"&!$解析%因为平面向量!与"的夹角为! #&所以!!"5$&所以 &!!#" 5 % ! #3' " #!"#!!槡 " 槡5 "&&故答案为 槡"&! "(!槡#!$解析%如图所示&取*"+" 的中点 6&+"+ 的中点7&连接76&,"6&,"7&/7& 62!可得+四边形 /7,"." 是平行四边形&4,"7/."/!同理可得+,"6/,2! 0,"6$,"75,"!4平面,"76/平面,."/2&0# 点是正方形*++"*" 内的动 点&若 ,"#/ 平面 ,."/!4 点 # 在线段76 上!4# 点的轨迹长度 576 5 "#3"槡 # 槡5 #!故答案为+槡#! ")!槡"( ( !$解析%如图&设.,.*5%&则.,.+5!!%& 在',.* 和',.+ 中&分别由余弦定理可得789%5 8# '3"!'# 8 &789!!!%" 5 8# '3"!&# 8 & 两式相加&整理得8# #3#!!'#"5$&48#5#!'#"!'!!" 由 &!" #! "' 962*5!83'"!962,!962+"及正弦定理得 &!" #! "'&5!83'"!8!'"& 整理得'#!8#5&' #&# 由余弦定理的推论可得789,5'#!8# #&' 5" '&所以962,5 槡"( ' ! 把"代入#整理得'#3&' #5'&又'#+#&'&当且仅当&5'时等号成立& 所以'+#&'3&' #5(&' # &故得&'#+ (!所以9'*+, 5" #&'962,#" #:+ (: 槡"( ' 5 槡"( ( ! 即'*+,面积的最大值是 槡"( ( !故答案为 槡"( ( ! 文科数学参考答案!长郡版"!&!!!! 三#解答题 "*!$解析%!""由已知#+5*3,&又*3+3,5!&所以+5! &! #分!!!!!!!!!!!!!!!!! 又85#&&所以'#5&#!#&8789+5'&#!#&!#&789! &5&&#& 所以8#5'#&所以'*+,为直角三角形&且,5! #&所以*5! #!! &5! )! )分!!!!!!!!! !#"由题意知&&:5#:0789!:,"05#: 789:! # 5 $&:为奇数 #:&:' 为偶数! +分!!!!!!!!!!!!!!!! 由题意可知9:59#;3"59#;5$3##3$3#'3"3$3##;5'!"!##;" "!' 5##;3#!' & &;%"& 由##;3#!' & 5#$&得##;3#5)'&所以#;3#5)&所以;5#&所以:5'或:5(! "#分!!!!!!!!!! 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"A ! +分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为""&"# 是-!""的两个极值点&所以 12""!&""5$& 12"#!&"#' 5$ 即 12""5&""& 12"#5&"' # "" %分!!!!!!!!!! 不妨设""&"#&则"&""&A&"#"A& 因为5!""在!A&3<"递减&且""3"#""#&所以12!""3"#" ""3"# &12"# "# &即12!""3"#" ""3"# &&"#! 由"可得12""312"#5&!""3"#"&即12!"""#" ""3"# 5&& "$分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由"&#得12!""3"#" ""3"# &12!"""#" ""3"# &所以"""#"""3"#! "#分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 文科数学参考答案!长郡版"!(!!!! ##!$解析%!""曲线'#5 # "3962#% &即'#3'#962#%5#& 0'#5"#3)#&'962%5)&4曲线,的直角坐标方程为"#3#)#5#&即"# #3)#5"! (分!!!!!!!! !#"将 "5"3>789! )5>962' ! 代入"#3#)#5#并整理得 "3962#! "!>#3#>789!!"5$& 4>"3>#5! #789! "3962#! &>"!>#5 !" "3962#! & *分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 " #* 3 " #+ 5 #* 3 #+ #* ! #+ 5 *+ #* ! #+ 5 >"!># !>"!># & 0 >"!># 5 >"3>! "# #!'>">槡 #5 '789#! "3962#! "! #3 ' "3962#槡 !5 槡# # "3962#! & %分!!!!!!!!!!! 4 " #* 3 " #+ 5 槡# # "3962#! " "3962#! 槡5# #! 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