【数学】山东省青岛市胶州市2019-2020学年高一下学期期中考试学业水平检测试题 （解析版）

【数学】山东省青岛市胶州市2019-2020学年高一下学期期中考试学业水平检测试题 （解析版）

山东省青岛市胶州市2019-2020学年高一下学期 期中考试学业水平检测数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是种，则（ ）‎ A. B. C. 20 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件可知共有种品牌，采用分层抽样，则，解得：.‎ 故选：C ‎2.已知向量，向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由条件可知，则，解得：.‎ 故选：D ‎3.复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】，则在复平面内对应的点是，位于第一象限.‎ 故选：A ‎4.在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理可知 ‎ 已知，所以和，‎ 所以，，所以是等腰直角三角形，‎ 由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，‎ 所以.‎ 故选：A ‎5.已知数据的平均数、标准差分别为，数据的平均数、标准差分别为，若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎.故选：D ‎6.已知向量，，，为向量在向量上的投影向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 由投影公式可知.故选：A ‎7.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件可知是方程的一个实数根，则 ‎ 化简为：，‎ 即 ，解得：.‎ 故选：C ‎8.在中，若，则此三角形为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 钝角三角形 ‎ C. 锐角直角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】， ‎ ‎，‎ 而，‎ ‎,即角为钝角,所以此三角形是钝角三角形.故选:B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的虚部等于 D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】 ‎ 所以，故A正确；复数的共轭复数，故B不正确；‎ 复数的虚部等于-1，故C正确；，.故D正确.‎ 故选：ACD ‎10.如图，在梯形中，，，与相交于点，则下列结论正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】A.，所以A正确；‎ B. 正确，所以B正确；‎ C.，所以，即，所以，所以C正确；‎ D.，故D不正确.‎ 故选：ABC ‎11.设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，‎ 所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，‎ ‎，所以D正确.‎ 故选：ABD ‎12.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）‎ 甲地：总体平均数，且中位数为；‎ 乙地：总体平均数为，且标准差；‎ 丙地：总体平均数，且极差；‎ 丁地：众数为，且极差．‎ A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地 ‎【答案】CD ‎【解析】甲地：满足总体平均数，且中位数为，举例7天的新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，则不符合该标志；‎ 乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差，‎ 但不符合该标志；‎ 丙地：由极差可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人，‎ 那么总体平均数就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合该标志；‎ 丁地：因为众数为1，且极差，所以新增疑似病例的最大值，所以丁地符合该标志.‎ 故选：CD 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是纯虚数，则设 ‎ ‎，‎ ‎ ，解得：.故答案为：‎ ‎14.若向量，满足，，，记与的夹角为，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，即，‎ 因为，所以.故答案为：‎ ‎15.某地区年龄超过周岁的男士的体重（单位：千克）全部介于千克到千克之间，现从该地区年龄超过周岁的男士中随机抽取人组成一个样本进行统计．将这名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第组，第组，第组，第组，第组，其频率分布直方图如图所示．‎ 则：（1）____________；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过周岁的男士体重的平均值为____________（千克）．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知 ‎ 解得：；‎ ‎（2）平均数为.‎ 故答案为：；‎ ‎16.已知开始时轮船在轮船正南千米处，当轮船以千米/分钟的速度沿北偏东方向直线行驶时，轮船同时以千米/分钟的速度直线行驶去拦截轮船，则轮船拦截所用的最短时间为____________分钟．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，设拦截所用的最短时间为分钟，千米，，千米，千米，‎ 根据余弦定理可知，‎ 所以 ，即，‎ 解得：或（舍）‎ 故答案为：2‎ 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在天中，两台机床每天生产的次品数分别为：‎ 甲：；乙：．‎ ‎（1）分别求两组数据的众数、中位数；‎ ‎（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．‎ 解：（1）由题知：甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；‎ 乙的中位数等于 ‎ ‎（2）甲的平均数等于 乙的平均数等于 甲的方差等于 ‎ ‎ 乙的方差等于 所以甲标准差等于，乙的标准差 ‎ 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！‎ ‎18.在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．‎ ‎（1）求，及，；‎ ‎（2）设，求．‎ 解：（1）因为 所以所对应的复数 所以， ‎ 因为 所以所对应的复数 所以，‎ ‎（2）由题 因为， ‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎19.已知．‎ ‎（1）若向量，求的值；‎ ‎（2）若向量，证明：．‎ 解：（1）因为 所以 ‎ 所以 ‎（2）因为 ‎ ‎ 所以.‎ 所以 ‎20.在中，若、、分别是内角、、的对边，已知同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③ ；④ ．‎ ‎（1）请指出这3个条件，并说明理由；‎ ‎（2）求．‎ 解：（1）同时满足条件①，③，④．‎ 理由如下：若同时满足①，②．‎ 因为，且，所以，即 因为，且，所以 ‎ 所以，矛盾 所以只能同时满足③，④．‎ 因为，所以，故不满足②‎ 故满足①，③，④‎ ‎（2）在中，，，‎ 又由正弦定理知：，所以 又因为，所以， ‎ 所以 ‎21.一年来，某足球队的足球运动员每天进行距离球门米远的射门训练次，若打进球门算成功，否则算失败．随机提取该球员连续天的成功次数统计如下：‎ ‎．‎ ‎（1）估计该球员一天射门成功次数的四分位数；‎ ‎（2）若每天三位球员均进行“三角战术”配合训练，要求三位球员在运动中必须保持如下规则：三人所在的位置构成，，的面积（平方米）．求球员之间的距离的最小值（米）．‎ 解：（1）将该球员连续天的成功次数从小到大排序，可得 ‎ ‎ 因为，，，‎ 所以，样本数据的第分位数等于，第分位数等于，‎ 第分位数等于 ‎ 所以该球员一天射门成功次数的第，，分位数分别约为：，， ‎ ‎（2）设的内角所对的边分别为，则，‎ 因为，所以 ‎ 由余弦定理知：‎ 所以（当且仅当时等号成立）‎ 所以 所以球员之间的距离的最小值是（米）‎ ‎22.如图所示，在四边形中：，，，，．点为四边形的外接圆劣弧（不含）上一动点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，设，，求的最小值．‎ 解：（1）在中，由余弦定理知：‎ 所以，又因为，所以 ‎ 所以分别为方程两根，‎ 因为，所以 ‎ 所以，所以 ‎ ‎（2）因为，所以是四边形的外接圆的直径，‎ 所以四边形为矩形，连接， ‎ 设交于，作平行于且交于，则四边形为平行四边形，‎ 所以，又因为，‎ 由平面向量基本定理知：，所以 ‎ 在中，因，，所以 由正弦定理知：，所以 在中，‎ 所以， ‎ 所以 因为，所以，所以 所以，当时，取最小值，最小值为．‎