数学理卷·2018届江西省横峰中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江西省横峰中学高二下学期期中考试（2017-04）

横峰中学2016-2017学年度下学期期中考试 高二数学（理科）试卷 出卷老师：宋争丁 （时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知函数，则的值为 (　 )‎ A．10 B．－10 C．－20 D．20‎ ‎2．设其中是实数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2x f ′(e)＋lnx，则f ′(e)=(　　) ‎ A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e ‎4．已知向量a＝（2，－3，1），b＝（4，－6，x），若a⊥b，则x等于（ ）‎ ‎ A．－26 B．－10 C．2 D．10‎ ‎5．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是(　　) ‎ A．f (x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝ ‎6．下列计算错误的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．用数归纳法证明当n为正奇数时，能被x+y整除，k∈N*第二步是（ ）‎ A． 设n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确 ‎ B． 设n=2k﹣1时正确，再推n=2k+1时正确 ‎ C． 设n=k时正确，再推n=k+2时正确 ‎ D． 设n≤k（k≥1）正确，再推n=k+2时正确 ‎8．若函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－，)‎ C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．[－，]‎ ‎9．如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　)‎ A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在(1, 3)上f(x)是减函数 C．在(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝4时，f(x)取极大值 ‎10．下列说法正确的是（ ） ‎ A．命题：“若”的否命题为假命题；‎ B．命题”存在，使，”的否定为”对任意，使”；‎ C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题；‎ D．“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件；‎ ‎11．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52017的末四位数字为(　　) ‎ A．0625 B．3125 C．5625 D．8125‎ ‎12．设函数=,其中，若存在唯一的整数x0，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若复数满足 (是虚数单位)，则的虚部是________ ‎ ‎14．曲线在点（1,1）处的切线方程为 　．‎ ‎15．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=　 　．‎ ‎16．对于三次函数（），定义：设是函数的导数，‎ 若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数 的“拐点”．有同学发现:“任 何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将 这一发现为条件，若给定函数，‎ 则 ； ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）设：方程有两个不等的负根，：方程 无实根，若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线BE和平面的所成角的正弦值。‎ ‎19．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数，．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F—AB—P的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分)数列满足()．‎ ‎(1)计算、、，并猜想的通项公式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．‎ ‎22、（本小题满分12分）已知函数 ‎（1）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对任意的，函数在区间上总不单调，求m的取值范围；‎ ‎ （2）试比较与的大小（，且），并证明你的结论。‎ 理科答案 CBCAB DBDCD BB ‎ ‎ ‎17、解：若方程有两个不等的负根，则， ‎ 所以，即． ‎ ‎ 若方程无实根，则， ‎ 即， 所以． ‎ ‎ 因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．‎ ‎ 所以一真一假，即“真假”或“假真”． ‎ ‎ 所以或 所以或．‎ ‎ 故实数的取值范围为． ‎ ‎18、解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.‎ 则有、、、‎ COS<> ‎ 所以异面直线与所成角的余弦为 ‎ ‎（2）设平面的法向量为 则 ‎， ‎ 则，‎ 故BE和平面的所成角的正弦值为 ‎ ‎19.解（1）因为 ‎①若，当或时，；‎ 当时，.‎ ‎③若，当或时，；‎ 当时，.‎ 所以的单调递减区间为，；‎ 单调递增区间为. ‎ ‎（2）由（1）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，‎ ‎ 所以在处取得极小值，在处取得极大值.‎ ‎ 由，得.‎ ‎ 当或时，；当时，.‎ ‎20.解：‎ 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．‎ ‎(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0.‎ 所以，BE⊥DC.‎ ‎(2)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．‎ 由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.‎ 故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．‎ 由BF⊥AC，得·＝0，‎ 因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.‎ 即＝.‎ 设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则 即不妨令z＝1， 可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．‎ 取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，则 cosn1，n2＝＝＝－.‎ 易知，二面角F—AB—P是锐角，所以其余弦值为.‎ ‎21、(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.‎ 由此猜想an＝(n∈N*)‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，‎ ‎②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，‎ 即ak＝，‎ 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak ‎∴ak＋1＝＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立．‎ ‎22.解：（1）因为函数的图象在点处的切线的倾斜角为， ‎ 所以，所以，‎ 则，且，由题意可知 得 ‎（2）取，则，所以，且；‎ 所以在上单调递增，则在上恒成立；‎ 即在上恒成立，所以在上恒成立；‎ 所以 ‎； ‎ 即 ‎