2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三12月月考数学（文）试题

2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三12月月考数学（文）试题

‎2017级高三学年12月月考 ‎ 数学文科试题 一、选择题：共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.‎ ‎1、若全集，集合，，则如图阴影部分所表示的集合为 A. B. C. D.‎ ‎2、已知（为虚数单位）,则实数等于（ ） A. B. C. D.‎ ‎3、已知函数，则（ ）‎ A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 ‎4、是单位向量，“”是“的夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5、已知圆的圆心在坐标轴上，且经过点及椭圆的两个顶点，则该圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）‎ A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 ‎7、过点的直线，将圆形区域分两部分，使.这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8、若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、已知是双曲线的左右焦点，是右支上的动点， 垂直于 ‎ 的平分线，垂足为，则点的轨迹是（ ）‎ A、抛物线弧 B、双曲线弧 C、椭圆弧 D、圆弧 ‎10、已知、、是球的球面上三点,三棱锥的高为,且, , ‎ ‎, 则球的表面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线在第一象限内与交于点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.‎ ‎13、已知实数满足，则的最小值等于 ．‎ ‎14、已知椭圆的左右焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的 倍。‎ ‎15、已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则 ‎ ‎16．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列命题：‎ ‎①存在点，使得//平面；‎ ‎②对于任意的点，平面平面；‎ ‎③存在点，使得平面；‎ ‎④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.‎ 其中正确命题的序号是______．.‎ 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 在锐角，中，内角的对边分别为，且 ‎（1）求角的大小； （2）若，求的取值范围。‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，点（）是曲线上的点．数列 是等比数列，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前n项和．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，，，，分别为，的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎20、已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，直线与直线（为坐标原点）垂直，且与交于两点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求的面积的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设，函数．‎ ‎（1）讨论的单调性． （2）若，证明：．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中，已知两点，．‎ ‎（1）求以为直径的圆的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于，两点，圆的圆心为，求的面积．‎ ‎23、（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，不等式的解集为.‎ （1） 求；‎ （2） 记集合的最大元素为，若正数满足，求证：.‎ ‎2017级高三学年12月月考答案 一、 选择题：‎ ‎ DCABC CABDC CD 二、 填空题:‎ ‎ 13、5 14、 15、4 16、①②④‎ 三、解答题:‎ ‎17、（1）;（2）‎ ‎18、（1）‎ ‎（2）当为奇数时，；当为偶数时，‎ ‎19、【解析】（1）因为是的中点，，所以，‎ 又，所以四边形是平行四边形，‎ 因为，所以四边形是矩形，（2分）‎ 所以，所以．‎ 因为底面，平面，所以，‎ 又，，所以平面，（4分）‎ 因为平面，所以，‎ 因为，分别为，的中点，所以，所以，‎ 因为，所以平面．（6分）‎ ‎（2）因为为的中点，所以，（9分）‎ 因为，所以，（11分）‎ 所以，即三棱锥的体积为．（12分）‎ ‎20、（1）由题意可得，∴ ，故的方程为.‎ ‎（2）联立，得，∴ ，又在第一象限，∴.‎ 故可设的方程为.‎ 联立，得，‎ 设，则， ，‎ ‎∴ ，‎ 又到直线的距离为，则的面积，‎ ‎∴，当且仅当，即，满足，故的面积的最大值为.‎ ‎21、（1）∵，∴定义域是又，‎ ‎①当时，在单调递减；‎ ‎②当时，∴在递增，在递减，‎ ‎（2）时，，，‎ 要证，问题转化为证明，‎ 整理得：恒成立，‎ 令，‎ ‎，‎ 故在递减，在递增，‎ 故，‎ 故存在，‎ 使得，‎ 故当或时，递增，‎ 当时，递减，‎ 故的最小值是或，‎ 由，得，‎ ‎，‎ ‎∵，故，‎ 故时，，原不等式成立．‎ ‎22. 解（1）设为圆上任意一点，则，，‎ 在中，，即．…..3分 ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为．…….5分 ‎（2）作于，到直线的距离，‎ 在中，，‎ ‎∴的面积为．……10分 23、 ‎ ‎ 三式相加得，‎ 所以得证。‎