数学卷·2018届江苏省盐城市龙冈中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学卷·2018届江苏省盐城市龙冈中学高二上学期期末考试（2017-01）

‎ 高二数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.‎ ‎1.抛物线的焦点坐标是 ▲ . ‎ ‎2.是 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空） 必要不充分 ‎3. 在区间上任取两个实数，则的概率为 ▲ ‎ ‎4．如图，茎叶图记录了甲、乙两学习小组各3名同学在一次考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲ ‎ 甲组 ‎ 6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎0 ‎ ‎5‎ 乙组 ‎5．如图，该程序运行后输出的结果为 ▲ 45 ‎ ‎6. 点在不等式组的平面区域内，则的最大值为 ▲ . ‎ ‎7. 关于的不等式的解集为，则 ▲ ． ‎ ‎8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是 ▲ ．‎ ‎9. 函数的图象在点处的切线方程是 ▲ ． ‎ ‎10. 观察以下不等式①②③ 则第六个示等式是 ． ‎ ‎11. 设: 函数在区间上是单调增函数，设: 方程 表示双曲线，“且” 为真命题，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ ‎12．已知，则的最小值为 ▲ ．7 ‎ ‎13. 设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上运动，的最大值为, 的最小值为，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 ▲ ．‎ ‎14. ，，，，‎ 使得，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆， 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点P在椭圆上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．‎ 解：（1）根据题意：，解得，， 4分 椭圆C的标准方程为 6分 ‎（2）由椭圆的定义可得, ………………………10分 设点P到右准线的距离为d,根据第二定义，解得 ‎ ………………………………………………………14分 ‎16．（本题满分14分）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），‎ ‎（1）求分数在中的人数；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在和的学生中共抽取人，该人中成绩在的有几人；‎ ‎（3）在（2）中抽取的5人中，随机抽取人，求分数在和各人的概率．‎ 解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为，人数为 ……………………………5分 ‎（2）抽取的5人中分数在的人有2人； ……………………………9分 ‎(3）5人中随机抽取人共有10种可能，分别在不同区间上有6种可能。‎ 所以. ………………………………………………………14分 ‎17．（本题满分14分）函数在点处取得极大值为2.‎ ‎(1) 求函数的解析式；‎ ‎(2) 求函数在区间[0,2]上的最大值和最小值.‎ 解：(1)求导 .………………………2分 由题意得，………………………4分 即，解得， ………………………6分 ‎ ‎ 所以 ………………………7分 ‎(2) ………………………………………………………9分 列表如下：‎ ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ 减 极小值 增 极大值 减 ‎………………………………………………………11分 因为f(0)＝0，，f(1)＝2，f(2)＝-14，………………………………………………………13分 所以当x∈[0,2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－14. ………………………14分 ‎18. （本题满分16分）‎ 如图，一个圆心角为直角的扇形花草房，半径为1，点是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形内种花，,垂足为，将扇形分成左右两部分，在左侧部分三角形为观赏区，在右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为，种草的单位面积的造价为2，其中为正常数，设,种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为 (1) 求关于的函数关系式；‎ (2) 求当为何值时，总造价最小，并求出最小值.‎ 解：（1）种花区的造价为，………………………………………………………2分 种草区的造价为……………………………4分 故总造价, ‎ ‎………………………………………………………6分 ‎(2) ………………………………………………………10分 令，得到 ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 极小值 递增 ‎ ………………………………………………………14分 故当时，总造价最小，且总造价最小为 ………………16分 ‎19．（本题满分16分）如图，已知中心在坐标原点的椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为.过椭圆的左焦点任意作一条直线与椭圆交于两点．设.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）当直线的斜率时，求三角形的面积；‎ ‎（3）当直线绕旋转变化时，求三角形的面积的最大值。‎ 解：（1）由已知得：，解得，，‎ 椭圆C的标准方程为 …………4分 ‎（2）联立方程组：得： ， ‎ ‎ ， …………………………6分 三角形的面积为…………………………………………8分 ‎（3）当直线的斜率不存在时，三角形的面积为 ……………………………………………9分 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ‎，，，……………………………………………10分 ‎………………12分 设 ‎……………………14分 ‎，，当时，有最大值3‎ 故三角形的面积的最大值为……………………………………………15分 综上三角形的面积的最大值为3 ……………………………………………16分 ‎20. （本题满分16分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若对任意两个不等的实数，均有 ‎，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在实数，使得函数在上的最小值为，若存在求出的值，若不存在，说明理由.‎ 解：（1）注意到函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 若，则；若，则，‎ 所以是上的减函数，是上的增函数，‎ 故，‎ 故函数极小值为，无极大值；……………………………3分 ‎（2）在上是增函数，当时，在上是增函数，不妨设，则， ……………………………………………5分 设在上是增函数 转化为在上恒成立，，故实数的取值范围为 ……………………………………………8分 ‎（3），‎ 当时，对恒成立，所以是上的增函数，是上的增函数，，不合题意，…………………………………9分 当时，若；若；‎ 所以是上的减函数，是上的增函数， ………………………………………10分 ‎ (ⅰ)当时，是上的减函数，，令，解得，不满足，舍去。 ……………11分 ‎(ⅱ)当，是上的减函数，是上的增函数， ……………………………………………12分 令，‎ 当时，；当时，．‎ 所以是上的增函数，是上的减函数，‎ 故当且仅当时等号成立，‎ ‎，故最小值不是，不合题意。……………14分 ‎(ⅲ)当时，是上的增函数，，不合题意，‎ ‎……………………………………………15分 综上，不存在实数，使得函数在上的最小值为。‎ ‎……………………………………………16分