2018-2019学年江苏省海安高级中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

2018-2019学年江苏省海安高级中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

江苏省海安高级中学2018-2019学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中.‎ 棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高. ‎ 棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.‎ 一、填空题 ‎1．设全集，集合，则= ▲ ．‎ ‎7 9‎ ‎8 4 4 4 6 7‎ ‎9 3‎ ‎（第4题图）‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a的值 为 ▲ ． ‎ ‎3. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝ ▲ ．‎ ‎4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ． ‎ ‎5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为 ‎ ▲ ．‎ ‎6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ .‎ ‎ ‎ ‎ For I From 1 To 5 Step 2‎ ‎ ‎ ‎ End For ‎ Print ‎ ‎ End x y y0 ‎ -y0 ‎ O ‎（第8题图）‎ ‎7．已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为 ▲ ．‎ ‎8．若函数的部分图象如图所示，则的 值为 ▲ ．‎ ‎9．设实数x，y满足条件则的最大值 为 ▲ ．‎ ‎10. 三棱锥中，是的中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为 ▲ ．‎ ‎11. 已知四边形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎12．若，则 ▲ ．‎ ‎13. 某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞 ▲ 个.‎ ‎14. 若正数m，n满足，则的最小值是 ▲ ．‎ 二、解答题 ‎15.已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)∙(cos x－sin x)．‎ ‎（1）求函数f (x)的周期；‎ ‎（2）若f (x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．‎ ‎16．A1‎ A B C C1‎ B1‎ E F D 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为A1 B1， B1C1的中点，点F在侧棱BB1上，且，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面ACF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ACF. ‎ ‎17．已知正项数列{an}首项为2，其前n项和为Sn，满足2Sn－Sn-1＝4 (n∈N*，n≥2)．‎ ‎（1） 求,的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设 (n∈N*)，数列{bn·bn＋2}的前n项和为Tn，求证：Tn<.‎ ‎18. 如图，A，B两点相距2千米，．甲从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻乙出发，经过小时与甲相遇．‎ ‎（1）若v = 12千米/小时，乙从B处出发匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与甲相遇，试求乙速度的最小值；‎ A C B ‎30°‎ ‎（2）若乙先从A处沿射线AB方向以千米/小时匀速行进 (＜＜)小时后，再以8千米/小时的速度追赶甲，试求甲在能与乙相遇的条件下v的最大值．‎ ‎19.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，‎ ‎（1）若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方程；‎ ‎（2）设圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆N 的标准方程； ‎ ‎（3）在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．‎ ‎20．已知函数，为自然对数的底数.‎ ‎ （1）求函数的定义域和单调区间；‎ ‎ （2）试比较与的大小，其中；‎ ‎ （3）设函数，，求证：函数存在唯一的极值点，‎ ‎ 且.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ 数学附加题 ‎21．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是α1＝‎ ‎（1） 求矩阵A；‎ ‎（2） 设直线l在矩阵A－1对应的变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求直线l的方程．‎ 22． 已知直线的极坐标方程为θ(R)，它与曲线,(为参数)相交于两点,求的长.‎ ‎23. 某课题小组共10人，已知该小组外出参加交流活动次数为1，2，3的人数分别为3，3， 4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）记“选出2人外出参加交流活动次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；‎ ‎（2）设X为选出2人参加交流活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎24．已知 2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条 直线将一个平面最多分成11部分，；条直线将一个平面最多分成个部 分()‎ ‎（1）试猜想：个平面最多将空间分成多少个部分()?‎ ‎（2）试证明（1）中猜想的结论.‎ ‎1. ‎ ‎2. -2 ‎ ‎3. ‎ ‎ 4. . ‎ ‎5. 0.7 ‎ ‎6. 10 ‎ ‎7. 4‎ ‎8． ‎ ‎9．14 ‎ ‎10． ‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13.7 ‎ ‎14. ‎ ‎15. 解：(1) f (x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝sin xcos x－sin2x＋cos2x－3sin xcos x ‎＝－2sin xcos x＋cos 2x ‎＝－sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin，‎ 周期T=．‎ ‎(2) f (x0)＝2sin＝，‎ ‎∴sin＝，‎ 又x0∈，2x0＋∈，‎ ‎∴sin>0，∴cos＝－，‎ ‎∴cos 2x0＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝.‎ ‎16. 证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AC∥A1C1，‎ 在三角形A1B‎1C1中，D，E分别为A1 B1， B1C1的中点，‎ 所以DE∥A1C1，于是DE∥AC，又因为DE平面ACF，AC平面ACF，‎ 所以直线DE∥平面ACF；‎ ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 因为直线，所以平面BDE⊥平面ACF.‎ ‎17.解：(1) ,;‎ ‎(2) 由2Sn－Sn-1＝4，‎ 得2Sn-1－Sn-2＝4(n∈N*，n≥3)，‎ 解得(n∈N*，n≥3)，‎ 又，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．‎ 故.‎ ‎ (3)证明：因为bn＝＝＝，‎ 所以bnbn＋2＝＝.‎ 故数列的前n项和 Tn＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－<.‎ A C B ‎30°‎ ‎18.解：（1）设乙速度为x千米/小时，‎ 由题意可知(xt)2＝22＋(12t)2－2×2×12tcos30°，‎ 整理得x2＝－＋144＝(－6)2＋36.‎ 由于0＜t≤，所以≥8，‎ 所以，当＝6即t＝时，x2取得最小值36，‎ 即x最小值为6.‎ 答：乙速度的最小值为‎6千米/小时.‎ ‎（2）由题意知[8(t－m)]2＝(‎16m)2＋(vt)2－2×‎16m ×vt cos30°，‎ 两边同除以t2得：192()2＋(128－16v)＋v2－64＝0‎ 设＝k，0＜k＜1，‎ 则有192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)，‎ 即关于k的方程192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0在(0，1)上有解，‎ 则必有△＝(128－16v)2－4×192×(v2－64)≥0，解得0＜v≤，‎ 当v＝时，可得k＝∈(0，1)，因此v为最大值为.‎ 答：甲的最大速度为千米/小时. ‎ ‎19.解：（1）设圆心为，半径为r．‎ 则P到到x轴，y轴距离分别为∣b∣和∣a∣．‎ 由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截x轴所得弦长为．‎ 所以，又圆截y轴所得弦长为2．所以，‎ 故 又因为圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，则，‎ 则所求圆的标准方程为；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）由（1）知：，又因为P圆心到直线l：x－2y=0的距离为：所以，‎ 当且仅当a=b时取“=”号，此时．此时或，.‎ 故所求圆的标准方程为或.‎ ‎20.解：（1）函数的定义域为， ，令，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以函数的单调递增区间为单调递减区间为；‎ ‎（2）因为，，要比较与的大小，‎ 即比较与大小，‎ 由（1）知，‎ 当，即时，=；‎ 当，即且时，；‎ ‎（3）,‎ ‎，令，‎ 当x≥e时，x>0，‎ 当0

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