湖南省湘阴第一中学2012届高三上学期第一次月考数学（文）试题

湖南省湘阴第一中学2012届高三上学期第一次月考数学（文）试题

湖南省湘阴第一中学2012届高三上学期第一次月考数学（文）试题 一、填空题 ‎1、从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃‎8”‎，事件B为“抽得为黑桃”，则事件“A＋B”的概率值是_____________（结果用最简分数表示）．‎ ‎2、函数f（x）＝＋的定义域是 ．‎ ‎3、若 （是虚数单位），则的共轭复数=_____________ ．‎ ‎4、从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）．现用分层抽样的方法从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ．‎ ‎5、某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________．‎ ‎6、函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）在闭区间上的图象如图所示，则= ．‎ ‎7、若圆关于直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）对称，则的取值范围是___ ．‎ ‎8、某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，‎ 表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案第2012棵树种植点的坐标应为______________．‎ ‎9、如图所示，直线与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则实数和满足的一个等式是_____________．‎ ‎10、设，是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：‎ ‎ （1）若l⊥， ，则；（2）若，，则；‎ ‎ （3）若，，则 ；（4）若，，则 则其中命题正确的是_____________．‎ ‎11、如图，两座相距‎60m的建筑物AB、CD的高度分别为‎20m、‎50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是 ．‎ ‎12、若，且当时，恒有，则以,为坐标的点所形成的平面区域的面积等于___________．[‎ ‎13、已知函数．若且，则的取值范围是 ．‎ ‎14、设集合，，则“”是“a＝‎1”‎的___________条件．（从如下四个中选一个正确的填写:充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）‎ 二、解答题 ‎15、‎ 某公司为帮助尚有26．8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为1200元，该店应交付的其它费用为每月13200元．‎ ‎ （1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；‎ ‎ （2）若该店只安排20名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？‎ ‎16、‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于、两点，的面积为4，的周长为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线，都相切．若存在，求出点的坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎17、‎ 数列{an}满足：‎ ‎（n＝1，2，3，…，）．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）若，试问是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．‎ ‎18、‎ 已知函数是定义在上的奇函数,当时, （其中是自然对数的底数, ）．‎ ‎ （1）求的解析式;‎ ‎ （2）设，，求证：当时，恒成立；‎ ‎ （3）是否存在负数，使得当时，的最大值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎19、已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点．‎ ‎ （1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎ （2）求弦的长度．‎ ‎20、设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．‎ ‎ （1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；‎ ‎ （2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．‎ ‎21、 在中，角所对的对边长分别为；‎ ‎ （1）设向量，向量，向量，若，求的值；‎ ‎（2）若，证明:．‎ ‎22、如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落入或或．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，，，则分别设为l，2，3等奖．‎ ‎（1）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随机变量为获得 等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；‎ ‎ （2）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．‎ ‎23、 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC和BD的中点．‎ ‎ （1）证明：EF∥平面PAD；‎ ‎ （2）证明：平面PDC⊥平面PAD．高&考%资(源#网 ‎24、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，⊥平面，，，．‎ ‎ （1）求证：⊥；‎ ‎ （2）求二面角的余弦值．‎ 以下是答案 一、填空题 ‎1、 答案:‎ 解析:该题考查古典概率以及互斥事件及其发生的概率.事件A发生的概率,事件B发生的概率,事件A、B是互斥事件,所以事件“A＋B”的概率为:‎ ‎2、答案:‎ 解析:该题考查函数性质以及解二次不等式和解不等式组,容易产生漏解.‎ ‎3、答案:i 解析:该题考查复数的运算及其概念,属于简单题.‎ ‎4、答案:3‎ 解析:该题考查抽样方法、总体分布的估计、总体特征数的估计.由 得,因此, [120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组学生人数分别为:所以, 从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ‎5、 答案:‎ 解析:该题考查算法中的选择结构,是简单题.‎ ‎6、 答案:3‎ 解析:该题考查三角函数的图像与性质,由图像得:‎ ‎7、 答案:‎ 解析: 该题考查直线与圆的位置关系和二次函数的性质;因为圆关于直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）对称,所以,点在直线2ax－by＋2＝0上,所以,a+b=1,‎ ‎8、 ‎ ‎9、 答案:‎ 解析:该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系,向量线性表示及坐标运算.可求出,设,则 ‎10、 答案:①②‎ 解析:考查直线与平面的平行、垂直的判定及性质,两平面的平行、垂直的判定及性质以及空间想象能力;‎ ‎11、答案:‎ 解析:考查解三角形及和差角公式;‎ ‎,而,‎ ‎12、 答案:1‎ 解析:该题考查线性规划以及数形结合,转化划归能力;设,因为, ，且当时，恒有,所以,‎ ‎13、 答案:‎ 解析:该题考查对数函数及其性质,还有基本不等式;因为函数．若且,所以,, ‎ ‎14、答案:必要不充分条件.‎ 解析:考查集合及其运算以及简易逻辑,是简单题.‎ 二、解答题 ‎15、 解析:该题考查函数性质及其应用、分类讨论,运用数学知识构造数学模型,将实际问题转化为数学问题加以解决的能力,本题是中档题.‎ 解:由题意设 ‎ 由图得:‎ ‎(1) 设该店的职工人数为x人;p=52时,q=3600件;‎ 则由题意得:‎ ‎(2) 设该店只安排20名职工经营x年的盈利为y元,‎ 则 当时,此时p=55,由得 当时,此时p=61;由得:,‎ 所以,该店最早可在3年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定55元 ‎16、 解析:该题考查直线与圆位置关系,直线与圆锥曲线位置关系,椭圆的标准方程,圆与圆位置关系,数形结合,运算能力,转化与化归能力,是中档题.‎ 解(1)由题意设椭圆的方程为,因为, 是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于、两点，的面积为4，的周长为 所以, ‎4a=,,所以,所求的椭圆方程 为.‎ ‎(2)假设存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线，都相切;‎ 设的半径为r, 点,因为与直线，都相切,所以,PQ为 的角平分线,‎ 解得 当时,直线的方程为:Q到直线的距离=‎ 所以存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线，都相切,点,圆的方程为:‎ ‎17、 解析:该题考查和与通项关系,数列的单调性,转化与化归以及不等式的恒成立问题,是较难题.‎ 解(1)设 则当时,‎ ‎.‎ ‎(2)假设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立;‎ 当时,由得 所以, 存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立.‎ ‎18、 解析:该题综合考查函数性质,对数函数,导数的运用,分类讨论,灵活运用有关知识分析问题解决问题的能力,是难题.‎ 解(1)当时,,又是奇函数,‎ ‎,‎ ‎(2)证明:当时,由得:在(0,1)上单调增,在(1,e)上单调减,所以,f(x)在上最大值f(1)=-1,‎ 因为,所以,,g(x)在(0,e)上单调减,‎ ‎ (3)假设存在负数，使得当时， 的最大值是,‎ 由得:‎ 所以, 在上单调增,在上单调减,‎ 所以,当即时, 在上单调增,所以,不符合题意.‎ 当即时, 在上单调增,在上单调减,‎ 所以,,‎ 所以存在负数，使得当时，的最大值是 ‎19、 解析:该题考查极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的位置关系,简单题.‎ ‎(1)由得:由得:y=x ‎(2)圆的圆心(3,0),半径=3,圆心到直线的距离 ‎=‎ ‎20、解析:该题考查矩阵的特征值与特征向量,矩阵的变换,逆矩阵,是简单题.‎ 解:由题意 ‎(1)由得:‎ 当取x=1,‎ 当,取y=1‎ 所以,特征值为2和3,特征值2对应的特征向量,特征值3对应的特征向量 ‎(2)由逆矩阵公式得:,‎ 设是椭圆上任意一点,P在下对应点,则 ‎,,所以, 椭圆在的作用下的新曲线的方程 为:‎ ‎21、 解析:该题综合考查解三角形,向量共线,三角函数的和差角公式;‎ ‎(1)解: 因为,‎ ‎(2)证明:所以由正余弦定理 得:‎ ‎22、 ‎ 解析:该题考查版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)‎ 离散型随机变量及其分布列,n次独立重复试验的模型及二项分布,离散型随机变量的均值,是较难题.‎ 解(1) 随机变量的可能取值为: 50％，70％，90％;‎ 其对应的概率分别为:分布列为:‎ ‎50％‎ ‎70％‎ ‎90％‎ P ‎(2)投一次获得1等奖或2等奖的概率为:, ‎ ‎ ‎ ‎23、 解析:该题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质,空间想象能力,逻辑推理能力,是简单题.‎ 证明(1)因为E、F分别为PC和BD的中点, ABCD为矩形,‎ 所以,F在AC上且是中点,所以, EF∥PA,‎ 又因为 所以, EF∥平面PAD.‎ ‎(2)因为ABCD为矩形,所以,,又因为平面PAD⊥平面ABCD,所以, ‎ ‎.‎ ‎24、 ‎ ‎(2)设面PBC法向量,,则 取则,‎ 设面PAC的法向量,,所以,‎ 取则,‎ ‎,所以, 二面角的余弦值.‎