高二数学上学期期中试题理(9)
银川一中2018/2019学年度(上)高二期中考试
数学(理科)试卷
一、选择题(每小题5分,共60分)
1．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 ( )
A．2 B． -4 C． -2 D．4
2．下列说法错误的是（ ）
A．对于命题，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若命题为假命题，则都是假命题
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
3．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．离心率为 D．渐近线方程为
4．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．6 B．8
C．14 D．30
5．抛物线上的动点到其焦点的距离的最
小值为1，则（ ）
A． B．1
C．2 D．4
6．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则
7．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A． B． C． D．
- 15 -
8． 已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )
A． B．
C． D．
9．设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆，点是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围。王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“”是真命题，求范围。你认为，两位同学题中范围是否一致？__________（填“是”、“否”中的一种）
- 15 -
14．如图，在直三棱柱中，若，，，
则________.（用表示）
15． 已知椭圆的左右焦点为，离心率
为，若为椭圆上一点，且，则___________
16．若关于x,y的方程表示的是曲线C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1
4或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则.
其中正确的命题是_____.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)
设实数x满足，实数x满足.
（1）若，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18．(12分)
如图所示，已知空间四边形的每条边和对角
线都等于1，点分别是的中点，设
, 为空间向量的一组基底，
计算：
（1）;（2）.
19．(12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，的周长为16，的周长为12.
（1）求椭圆的标准方程与离心率；
（2）若直线与椭圆交于两点，且是线段的中点，求直线的一般方程.
20．(12分)
- 15 -
已知是椭圆与抛物线的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值
21．(12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2
的等边三角形且垂直于底，,
，是的中点。
（1）证明：直线平面；
（2）点在棱上，且直线与底面
所成角为，求二面角的余弦值。
22．(12分)
如图，已知离心率为的椭圆
过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点.
（1）求椭圆方程；
（2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.
- 15 -
参考答案
1．D
【解析】
解析：由题设可得，解之得，应选答案D。
2．C
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题知A正确；由于可得，而由得或，所以“”是“”的充分不必要条件正确；命题为假命题，则不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.
3．D
【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；
对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；
对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为
，则C错误；
对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.
故选：D.
点睛：本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的标准方程a、b的值.
4．D
【解析】
【分析】
执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．
【详解】
由程序框图可知：
k=1，s=2
k=2，s=6
- 15 -
k=3，s=14
k=4，s=30
k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．
故选：D．
【点睛】
本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．
5．C
【解析】
【分析】
由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.
【详解】
抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，
很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．D
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
逐一考查所给的说法是否正确：
因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A错误；
因为仅表示与的模相等，与方向无关，选项B错误；
因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法，选项C错误；
∵，∴，∴与共线，故 ，选项D正确.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．C
- 15 -
【解析】∵ 抛物线的焦点为
∴
∴
故选C
8．D
【解析】
【分析】
根据点点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】
由题意，点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且,则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
9．B
【解析】 为椭圆上任意一点,且A,B为焦点， ，又，，所以点的轨迹方程为.
点晴：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.
10．C
【解析】
【分析】
根据椭圆几何性质得短轴端点（设为M）对长轴张角最大，即得,再根据,解得离心率的最小值.
【详解】
设M为椭圆短轴一端点，则由题意得,即,
因为，所以，
- 15 -
,
选C.
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
11．D
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围．
【详解】
双曲线的渐近线方程为y=±x，
∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，
当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，
把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，
令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．
∴1＜k＜．
故选：D．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线相切的等价条件，属于中档题．
12．D
【解析】设是平面的一个法向量，则由题设，即，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D。
- 15 -
13．
14．
【解析】.
考点：空间向量的运算.
15．4
16．②
【解析】对于①，若C为椭圆，则有，解得且．所以①不正确．
对于②，若C为双曲线，则有，解得t>4或t<1，所以②正确．
对于③，当时，该曲线方程为，表示圆，所以③不正确．
对于④，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则，解得，所以④不正确．
综上只有②正确．
答案：②
17．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）为真，则两者都为真，分别求解两个命题，结果取交集.
（2）是的充分不必要条件，即可以推导出，而不能推导出.则命题中的集合是命题中的集合的子集.
【详解】
(1)由得，
当时,，即为真时，.
由,得,得，即q为真时，.
若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.
(2)由得,，.
由,得,得.
设,,若p是q的充分不必要条件，
则是的真子集，故，所以实数的取值范围为.
【点睛】
将命题之间的充分必要性转化为集合之间的关系是解此类题的基本思路.
- 15 -
18．(1) ；（2） .
【解析】试题分析：(1）根据的模与夹角，利用数量积公式先求的值，在根据
可得结果；（2）由先平方，再开平方即可.
试题解析：(1） ，则，
（2）.
19．(1) 椭圆E的标准方程为，离心率 (2)
【解析】试题分析：（1）由直线交椭圆于， 两点， 的周长为16， 的周长为12，可得， ，再结合，即可求出， ， 的值，从而求出椭圆的标准方程与离心率；（2）由（1）知，易知直线的斜率存在，设为，设，利用点差法，即可求出，从而求出直线的一般方程.
试题解析：（1）由题知，解得
∴椭圆E的标准方程为，离心率.
（2）由（1）知，
易知直线的斜率存在，设为，设,则
，
∴，
又是线段CD的中点
- 15 -
∴
，
故直线的方程为，化为一般形式即： .
点睛：当遇到直线与椭圆的相交弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系，从而可以求出直线方程.
20．（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.
【详解】
（Ⅰ）抛物线：一点
，即抛物线的方程为，
又在椭圆：上
，结合知（负舍）， ，
椭圆的方程为，抛物线的方程为.
- 15 -
（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，
①当时，，直线的方程，，故
②当时，直线的方程为，由得.
由弦长公式知 .
同理可得.
.
令，则，当时，，
综上所述：四边形面积的最小值为8.
【点睛】
在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围
21．（1）见解析；（2）
- 15 -
【解析】试题分析：（1） 取的中点，连结， ，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量： ， ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．
试题解析：（1）取中点，连结， ．
因为为的中点，所以, ,由得，又
所以．四边形为平行四边形， ．
又， ，故
（2）
由已知得,以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则， ， ， ，
,则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，
即（x-1）²+y²-z²=0
又M在棱PC上，设
- 15 -
由①，②得
所以M，从而
设是平面ABM的法向量，则
所以可取m=（0，-，2）.于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
22．（I）（II）
【解析】
【分析】
（1）由题意知，，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）易知直线的斜率是存在的，故设直线方程为，由方程组联立方程组，得，利用题设条件推导出，从而，因直线AB不过点，知，故，由此证明直线过定点．
【详解】
- 15 -
（1）依题意：有
解得，所以椭圆的方程为
（2）易知直线的斜率是存在的，故设直线方程为
由得：
设，则
设得
即
得
代入可得：即
即
即
因直线AB不过点，知，故
所以直线过定点
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
- 15 -
