高中数学必修4：1_1_2弧度制（教、学案）

高中数学必修4：1_1_2弧度制（教、学案）

‎1. 1.2‎‎ 弧度制 ‎ 【教学目标】‎ ‎ ① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ‎ ‎ ② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.‎ ‎③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.‎ ‎ 【教学重难点】‎ ‎ 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. ‎ ‎ 难点：弧度的概念及其与角度的关系.‎ ‎ 【教学过程】‎ ‎（一）复习引入.‎ ‎ 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 ‎ 提出问题：‎ ‎①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？‎ ‎② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？‎ ‎③ 角的范围是什么？如何分类的？‎ ‎（二）概念形成 ‎ 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？‎ ‎1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：‎ ‎(1)角的弧度制是如何引入的？‎ ‎ (2)为什么要引入弧度制？好处是什么？‎ ‎ (3)弧度是如何定义的？‎ ‎ (4)角度制与弧度制的区别与联系?‎ ‎2．学生动手画图来探究：‎ ‎(1)平角、周角的弧度数 ‎ (2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？‎ ‎ (3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？‎ ‎3．角度制与弧度制如何换算？‎ ‎ ‎ rad 1=‎ 归纳：把角从弧度化为度的方法是： ‎ 把角从度化为弧度的方法是： ‎ 一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 ‎30°‎ ‎90°‎ ‎120°‎ ‎150°‎ ‎270°‎ ‎0‎ 例1、把下列各角从度化为弧度：‎ ‎(1) （2） (3) (4)‎ 解：(1) （2） (3) (4) ‎ 变式练习：把下列各角从度化为弧度：‎ ‎ (1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º ‎ 解：(1) （2） (3) ‎ 例2、把下列各角从弧度化为度：‎ ‎（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)‎ 解：（1）108 º (2)200.5 º (3)114.6 º (4)45 º 变式练习：把下列各角从弧度化为度：‎ ‎ （1） （2）— （3）‎ ‎ 解：（1）15 º （2）-240 º （3）54 º 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.‎ 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：‎ 因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．‎ 扇形面积公式：．‎ 说明：以上公式中的必须为弧度单位． ‎ 例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。‎ 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4‎ 变式练习：‎ ‎1、半径为‎120mm的圆上，有一条弧的长是‎144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。‎ 答案：‎ ‎2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　2 　倍。‎ ‎3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 ‎4cm2 　．‎ ‎4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角 的弧度数为　　 　．‎ (三） 课堂小结：‎ ‎1、弧度制的定义；‎ ‎2、弧度制与角度制的转换与区别；‎ ‎3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；‎ ‎（四）作业布置 习题‎1.1A组第7，8，9题。‎ ‎（五）课后检测 ‎1．在中，若，求A，B，C弧度数。‎ 答案：A= B= C=‎ ‎2．直径为‎20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？‎ 答案：‎ ‎3．选做题 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。‎ 答案：‎ ‎〖板书设计〗‎ ‎1.1.2‎‎ 弧度制 ‎（一）复习引入 （二） 概念形成 例1 例2‎ ‎（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式 例3‎ ‎ 小结：‎ ‎ ‎ ‎1.1.2‎‎ 弧度制 课前预习学案 一、预习目标：‎ ‎ 1.了解弧度制的表示方法；‎ ‎2.知道弧长公式和扇形面积公式.‎ 二、预习内容 ‎ 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？‎ ‎ 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：‎ 1、 角的弧度制是如何引入的？‎ 2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？‎ 3、 弧度是如何定义的？‎ 4、 角度制与弧度制的区别与联系?‎ 三、提出疑惑 ‎1、平角、周角的弧度数？‎ ‎2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？‎ ‎3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？‎ 课内探究学案 一、学习目标 ‎1.理解弧度制的意义；‎ ‎2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；‎ ‎3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；‎ ‎4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。‎ 二、重点、难点 弧度与角度之间的换算；‎ 弧长公式、扇形面积公式的应用。‎ 三、学习过程 ‎（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？‎ ‎（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。‎ ‎<我们规定> 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。‎ 练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？‎ ‎<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？‎ 由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：‎ ‎ ，的正负由 决定。‎ 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。‎ ‎<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。‎ 例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 ‎ ．‎ ‎（三）角度与弧度的换算 ‎ ‎ rad 1=‎ 归纳：把角从弧度化为度的方法是： ‎ ‎ 把角从度化为弧度的方法是： ‎ ‎<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 ‎30°‎ ‎90°‎ ‎120°‎ ‎150°‎ ‎270°‎ ‎0‎ 例1、把下列各角从度化为弧度：‎ ‎(1) （2） (3) (4)‎ 变式练习：把下列各角从度化为弧度：‎ ‎ (1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º 例2、把下列各角从弧度化为度：‎ ‎（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)‎ 变式练习：把下列各角从弧度化为度：‎ ‎（1） （2）— （3）‎ ‎（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.‎ （五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：‎ 因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．‎ 扇形面积公式：．‎ 说明：以上公式中的必须为弧度单位． ‎ 例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。‎ 变式练习 1、半径为‎120mm的圆上，有一条弧的长是‎144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。‎ ‎2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　 　倍。‎ ‎3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　 　．‎ ‎4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角 的弧度数为　　 　．‎ （六） 课堂小结：‎ ‎1、弧度制的定义；‎ ‎2、弧度制与角度制的转换与区别；‎ ‎3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；‎ ‎（七）作业布置 习题‎1.1A组第7，8，9题。‎ 课后练习与提高 ‎1．在中，若，求A，B，C弧度数。‎ ‎2．直径为‎20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？‎ ‎3．选做题 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。‎ ‎ ‎