2017-2018学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试理科数学试题（Word版）

2017-2018学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试理科数学试题（Word版）

辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试 高二理科数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王立国 校对人：毕晓昕 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.下列说法正确的是（　　）‎ Ａ．若，则是函数的极值.‎ Ｂ．若是函数的极值，则在处有导数.‎ Ｃ．函数至多有一个极大值和一个极小值.‎ Ｄ．定义在上的可导函数，若方程无实数解，则无极值.‎ ‎2.用反证法证明命题“，如果可被整除，那么，至少有个能被整除．”则假设的内容是（　　）‎ Ａ．，都能被整除 Ｂ．，都不能被整除 Ｃ．不能被整除 Ｄ．，有1个不能被整除 ‎3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（　　）‎ ‎4.下列计算错误的是（　　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎5.如右图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) ‎ A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 ‎6.已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（　　）‎ Ａ．0 Ｂ． Ｃ．０或 Ｄ．0或1‎ ‎7.定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中，可能是下列（　　）的运算的结果（ ）‎ ‎ ‎ Ａ．， Ｂ．，‎ Ｃ．， Ｄ．，‎ ‎8.函数的图象关于原点对称，则在上（　　）‎ Ａ．单调递增 ‎ Ｂ．单调递减 Ｃ．单调递增，单调递减 ‎ Ｄ．单调递减，单调递增 ‎9.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，‎ 不同选课方案共有（ ）．‎ A．84种 B．168种 C．42种 D．336种 ‎10.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比某公式．‎ 如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝(　　) ‎ A．4 B． C．2 D． ‎11.定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数的零点个数为（ ）‎ A.5 B‎.3 C.4 D.2‎ ‎12.已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“分界点”．已知函数满足，，则函数的“分界点”的个数为（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．无数个 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题纸相应位置上。‎ ‎13.由与直线所围成图形的面积为 ．‎ ‎14.已知函数（＞0）若对任意两个不相等的正实数、都有＞2恒成立，则的取值范围是 . ‎ ‎15.若一个五位数abcde满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201,45412）则称这个五位数符合正弦规律，那么符合正弦规律的五位自然数有 个.‎ ‎16.已知为自然对数的底数，若函数满足, ,使成立,则正整数的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）．‎ ‎（1）写出此数列的前5项；‎ ‎（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.‎ ‎ ‎ ‎（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？‎ ‎（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费更少，且所得无盖的盒子的容积 ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数．讨论函数的单调性．‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知，函数，若.‎ 证明：.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设，若函数在定义域内存在两个零点.‎ 求实数的取值范围。‎ 辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试 高二理科数学科试卷 参考答案：‎ 选择：ＤＢＣＤＣ，ＣＢＢＡＤ，ＢＡ ‎13-16：9，，2892，5 ‎ ‎17.解：‎ 注：其他方法酌情给分 ………10分 ‎18.解：（1）由已知，，分别取，‎ 得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以数列的前5项是：，． ………4分 ‎（2）由（1）中的分析可以猜想．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，公式显然成立．‎ ‎②假设当时成立，即，那么由已知，‎ 得，‎ 即，‎ 所以，‎ 即，‎ 又由归纳假设，得，‎ 所以，即当时，公式也成立．‎ 由①和②知，对一切，都有成立．………12分 ‎19.解：（1）设切去的正方形边长为，则焊接成的盒子的底面边长为4－2，高为.所以 ‎=(4－2)2·=4(－4+4),(0<<2) ………5分 ‎∴=4(3－8+4). ………5分 令=0得x1= ,x2=2（舍去）而=12(－)(－2)又当<时，>0,‎ 当<<2时，<0∴当=时盒子容积最大，最大容积是………9分 方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子 ‎ ‎ ‎ 图a 图b 图c 新焊成的盒子的容积为：3×2×1=6,显然>故此方案符合要求。………12分 ‎20.解：函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，‎ 当m≥0时，f′(x)>0在x∈(0，＋∞)时恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．… 2分 当m<0时，‎ ‎①m≤－1，f′(x)≤0在x∈(0，＋∞)时恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，……5分 ‎②当－1f(x1)＝0.‎ 从而x2>－x1，于是x0＝>.故，f′(x0)<0. ………12分 ‎22.解：（Ⅰ）的定义域为 ‎,,‎ ‎, ‎ 所以函数在点处的切线方程为………3分 ‎（Ⅱ）在定义域内存在两个零点，即在有两个零点。‎ 令 ⅰ.当时，‎ 在上单调递增 由零点存在定理，在至多一个零点，与题设发生矛盾。‎ ⅱ.当时，则 ‎+‎ ‎0‎ ‎ ‎ 单调递增 极大值 单调递减 因为，当，，所以要使在内有两个零点，则即可，得，又因为，所以 综上：实数的取值范围为.………12分