2018-2019学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考数学(理)试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考数学(理)试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考数学(理)试题 一、单选题 ‎1．下面抽样方法是简单随机抽样的是(　　)‎ A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查 C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好)‎ ‎【答案】D ‎【解析】A中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．‎ 故选D ‎2．甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别将甲、乙的数据列出，计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题甲次测评成绩为：10,11,14,21,23,23,32,34，‎ 所以甲的平均成绩为=21；‎ 乙次测评成绩为：12,16,21,22,23,23,33,34，‎ 所以乙的中位数为 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图平均数与中位数计算，熟记运算性质，熟练计算是关键，是基础题.‎ ‎3．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（ ）‎ 附：第6行至第9行的随机数表 ‎2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950‎ ‎3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732‎ ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ A．3 B．16 C．38 D．20‎ ‎【答案】D ‎【解析】由简单随机抽样，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，按题目要求取出结果 ‎【详解】‎ 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，‎ 则选出的第3个个体的编号为20， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单随机抽样，属简单题 ‎4．在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴根据正弦定理，即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴或 故选C ‎5．从编号为00到29的30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为(　　)‎ ‎9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640‎ ‎5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814‎ ‎2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815‎ ‎5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702‎ ‎9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488‎ A．76,63,17,00 B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,07‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用随机数表法直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，如果读到的数比29大，则去掉不要，所以选取的前4个的号码分别为：17，00，02，07．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机数表法得到样本号码的基础知识，是基础题．‎ ‎6．等差数列中，，当其前n项和取得最大值时，n=（ ）‎ A．8 B．9 C．16 D．17‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合等差数列的前n项和可以推测出a9＜0，a8＞0，结合等差数列的单调性即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意，S16＞0，即a1+a16＝a8+a9＞0，S17＜0，即a1+a17＝2a9＜0，所以a9＜0，a8＞0，所以等差数列{an}为递减数列，且前8项为正数，从第9项以后为负数，所以当其前n项和取得最大值时，n＝8．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的性质以及等差数列的单调性，属于基础题．‎ ‎7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次判定，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 对于A：事件“至少有一个黑球”与“都是黑球” ，这两个事件可能同时发生，所以不正确；‎ 对于B中：“至少有一个黑球”与“都是红球”这两个事件是互斥事件又是对立事件，所以不正确；‎ 对于C中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，所以不正确；‎ 对于D中，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念及其应用，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎8．七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设正方形的边长为4，则正方形的面积为，‎ 此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，‎ 所以阴影部分的面积为，‎ 根据几何概型，可得概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎9．袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：‎ ‎232‎ ‎321‎ ‎230‎ ‎023‎ ‎123‎ ‎021‎ ‎132‎ ‎220‎ ‎001‎ ‎231‎ ‎130‎ ‎133‎ ‎231‎ ‎031‎ ‎320‎ ‎122‎ ‎103‎ ‎233‎ 由此可以估计事件A发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】事件A即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解 ‎【详解】‎ 事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为，故选C ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。‎ ‎10．在各项均为正数的等比数列 中，则（ ）‎ A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值9 D．有最小值9‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等比数列的通项结合均值不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：各项均为正数的等比数列 当且仅当即时“=”成立.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式，考查均值不等式，属于基础题.‎ ‎11．锐角中，角的对边分别是且 ,.则边长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可把边角的混合关系转化为角的三角函数的关系，从而得到，再利用正弦定理得到，结合的范围可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理有，‎ 所以，因为，所以，‎ 故，因，所以.‎ 由正弦定理有，故，因，‎ 故，所以，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.‎ ‎12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是(　　)‎ A．3 971 B．3 972 C．3 973 D．3 974‎ ‎【答案】D ‎【解析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共1+2+3+…+n个数，运算即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…‎ 则第n组有n个数且最后一个数为n2，‎ 则前n组共1+2+3+…+n个数，‎ 设第2019个数在第n组中，‎ 则，‎ 解得n＝64，‎ 即第2019个数在第64组中，‎ 则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为___________________.‎ ‎【答案】0.40‎ ‎【解析】由题意知射手在一次射击中不够8环的对立事件是射手在一次射击中不小于8环，射手在一次射击中不小于8环包括击中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的，可以做出在一次射击中不小于8环的概率，从而根据对立事件的概率得到要求的结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知射手在一次射击中不够8环的对立事件是射手在一次射击中不小于8环，‎ ‎∵射手在一次射击中不小于8环包括击中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的，‎ ‎∴射手在一次射击中不小于8环的概率是0.20+0.30+0.10＝0.60，‎ ‎∴射手在一次射击中不够8环的概率是1﹣0.60＝0.40，‎ 故答案为：0.40．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件和对立事件的概率，解题的突破口在理解互斥事件的和事件的概率是几个事件的概率的和，属于基础题．‎ ‎14．已知关于的不等式的解集是，则的解集为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式的解集与方程的根的关系，求得，进而化简不等式，得，进而得到，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，关于的不等式的解集是，‎ 则，解得，‎ 所以不等式，即为，‎ 即，即，解得 即不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系的应用，其中解答中熟记三个二次式之间的关系，以及一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎15．数列满足.，是的前项和，则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，进而有，两式相减即可得，证得和均为等差数列，由等差数列前n项和公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知：‎ 两式做差可得，‎ 当时，，即，‎ 是以为首项，以2位公差的等差数列，是以为首项，以2位公差的等差数列.‎ ‎ ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查递推关系求通项，考查等差数列前n项和公式，属于基础题.‎ ‎16．在中,角所对的边分别为且边上的高为,则的最大值是_____________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，三角形的面积： ‎ 由余弦定理： ‎ 可得： ‎ 所以 ‎ 所以的最大值为4‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.‎ 三、解答题 ‎17．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求理科综合分数的众数和中位数；‎ ‎（3）在理科综合分数为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在的学生中应抽取多少人？‎ ‎【答案】(1) (2)230， （3）5人 ‎【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x的值即可；‎ ‎（2）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；‎ ‎（3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，‎ 解得，∴直方图中的值为．‎ ‎（2）理科综合分数的众数是，‎ ‎∵，‎ ‎∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，‎ 则，‎ 解得，即中位数为．‎ ‎（3）理科综合分数在的学生有（位），‎ 同理可求理科综合分数为，，的用户分别有15位、10位、5位，‎ 故抽取比为，‎ ‎∴从理科综合分数在的学生中应抽取人．‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎18．某地随着经济的发展，居民收入逐年增大，下表是该地一农业银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表：‎ 为了研究方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表：‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）求关于的线性回归方程；‎ ‎（3）用所求回归方程预测，到2020年底，该地储蓄存款额大约可达多少？‎ ‎（附：线性回归方程：，，）‎ ‎【答案】（1）（2）（3）到2020年底，该地储蓄存款额大约可达13.2亿元．‎ ‎【解析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出y关于t的回归方程；‎ ‎（2）由t＝x﹣2012，代入（1）中回归方程求得y关于x的回归方程；‎ ‎（3）将x＝2020代入回归方程求得的值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意计算3，7.2，‎ tiyi＝120，55，‎ ‎∵1.2，‎ ‎7.2﹣1.2×3＝3.6，‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为1.2t+3.6；‎ ‎（2）∵t＝x﹣2012与1.2t+3.6，‎ ‎∴1.2（x﹣2012）+3.6，‎ 即y关于x的线性回归方程为1.2x﹣2410.8；‎ ‎（3）将x＝2020代入1.2x﹣2410.8，‎ 计算得1.2×2020﹣2410.8＝13.2，‎ 所以到2020年底，该地储蓄存款额大约可达13.2亿元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．‎ ‎19．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，设数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，,列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列和的通项公式；（2））由（1）知，，‎ ‎∴，利用分组求和与裂项相消法求和，结合等比数列范求和公式可得结果.‎ 详解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ ‎∵，，,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎20．某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标和，制成下图，其中“”表示男同学，“+”表示女同学.‎ 若，则认定该同学为“初级水平”，若，则认定该同学为“中级水平”，若，则认定该同学为“高级水平”；若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”.‎ ‎（1）从50名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；‎ ‎（2）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；‎ ‎（3）试比较这100名同学中，男、女生指标的方差的大小（只需写出结论）.‎ ‎【答案】（I） .（Ⅱ）.（Ⅲ）这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.‎ ‎【解析】（I）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标x＜0.6的有15人，由此能求出该同学为“初级水平”的概率；‎ ‎（Ⅱ）利用古典概型概率公式即可得到结果；‎ ‎（Ⅲ）由图可知，这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标的有15人，‎ 所以，从50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率为.‎ ‎（Ⅱ）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为，，.“高级水平”有3人，分别记为，，，所有可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中两人均为“高级水平”的共有3个，所以，所选2人均为“高级水平”的概率.‎ ‎（Ⅲ）由图可知，这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎21．为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为200米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点为线段向半圆外作等腰直角三角形（为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示．‎ ‎（1）若时，与出入口的距离为多少米？‎ ‎（2）设计在什么位置时，公园的面积最大？‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设，在中可表示，进而可表示，则在在中利用余弦定理即可得解.‎ ‎（2）设∠AOB＝α，利用余弦定理得到以及三角形的面积公式得到关于α的面积表达式，结合三角函数求最值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设则在中在中 则米 ‎（2）如图，设∠AOB＝α，则AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosα＝50000﹣40000cosα，‎ 又12500﹣10000cosα，又200×100sinα＝10000sinα，‎ ‎∴S四边形OACB＝S△ABC+S△AOB＝12500﹣10000cosα+10000sinα＝10000（sinα﹣cosα）+12500＝10000sin（）+12500，‎ ‎∴当sin（）＝1，即时，四边形OACB面积最大为（1000012500）m2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理以及三角形的面积公式结合的面积最值求法，关键是建立关系式，借助于三角函数的有界性求最值，属于中档题．‎ ‎22．已知数列的前项和为，满足， ，数列满足， ，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.‎ ‎（3）是否存在正正数，使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）不存在 ‎【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系得递推关系，结合等比数列定义可得通项公式，先对条件变形得新数列为一个等差数列，根据等差数列通项公式得的通项公式；（2）先根据错位相减法求出，化简可得恒成立，再根据数列单调性可得最小值为零，即得实数的取值范围；（3）先根据条件化简得，再利用奇偶分析法研究方程解的情况.‎ 试题解析：（1）当时，，所以．‎ 当时，，，‎ 两式相减得，‎ 从而数列为首项，公比的等比数列，‎ 从而数列的通项公式为．‎ 由两边同除以，‎ 得 从而数列为首项，公差的等差数列，所以，‎ 从而数列的通项公式为． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ 于是，‎ 所以 两式相减得，‎ 所以， ‎ 由（1）得， ‎ 因为对 ，都有，‎ 即恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 记，‎ 所以， ‎ 因为 ，‎ 从而数列为递增数列，所以当时取最小值，‎ 于是． ‎ ‎（3）假设存在正整数（），使成等差数列，则，‎ 即 ，‎ 若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.‎ 若为奇数，设，则，‎ 于是，即，‎ 当时，，此时与矛盾；‎ 当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.‎ 综上所述，满足条件的实数对不存在．‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎