2020届高三数学3月“二诊”模拟考试试题 文（含解析）

2020届高三数学3月“二诊”模拟考试试题 文（含解析）

成都龙泉中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题 数 学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】求解一元二次不等式可得：，‎ 结合交集的定义有：‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴复数在复平面内对应的点为，在第一象限。选A。 ‎ ‎3. 某人从甲地去乙地共走了500，途经一条宽为的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽大约为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由长度形的几何概型公式结合题意可知，河宽为： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎4. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】求解指数不等式可得：，‎ - 17 -‎ 据此可得“”是“”的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 设直线l1：2x－my＝1，l2：(m－1)x－y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎6. 如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④不是棱柱 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，选D．‎ 考点：空间几何体的结构特征．‎ ‎7. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则 - 17 -‎ A. +为，，…，的和 B. 为，，…，的算术平均数 C. 和分是，，…，中最大的数和最小的数 D. 和分是，，…，中最小的数和最大的数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由程序框图可知，该程序的作用是将最大的数赋值给，最小的数赋值给，故选项正确.‎ 考点：算法与程序框图.‎ 视频 ‎8. 如图，在四棱锥C－ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. 72π B. 84π C. 128π D. 168π ‎【答案】B ‎【解析】由底面的几何特征易得，‎ 由题意可得：,由于AB∥OD，异面直线CD与AB所成角为30°故∠CDO=30°，‎ 则，‎ 设三棱锥O-BCD外接球半径为R，‎ - 17 -‎ 结合可得：‎ ‎，‎ 该球的表面积为：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎9. 锐角的面积为2，角的对边为，且，若恒成立，则实数的最大值为 A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合余弦定理可得：，‎ 整理可得：，‎ ‎，‎ 则△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，‎ 据此可得：，‎ 结合勾股定理可得：，‎ 据此可得：实数的最大值为4 .‎ 本题选择C选项.‎ ‎10. 设函数的图像关于直线对称，且它的最小正周期为，则 A. 的图像经过点 B. 在区间上是减函数 C. 的图像的一个对称中心是 D. 的最大值为A - 17 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．‎ 专题：三角函数的图像与性质．‎ 分析：根据周期求出ω，根据函数图象关于直线x=对称求出φ，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确 解答：解：由题意可得=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．‎ 再由函数图象关于直线x=对称，故f（）=Asin（+φ）=±A，故可取φ=．‎ 故函数f（x）=Asin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z，故选项B不正确．‎ 由于A不确定，故选项A不正确． 令2x+=kπ，k∈z，可得 x=-，k∈z，‎ 故函数的对称中心为 （-，0），k∈z，故选项C正确．‎ 由于A的值的符号不确定，故选项D不正确．‎ 故选C 点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．‎ ‎11. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上的两点，若,为坐标原点，则 的面积 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示,根据抛物线的定义,，‎ 结合可知|AB|=2|AE|,‎ - 17 -‎ 由抛物线的对称性,不妨设直线的斜率为正,‎ 所以直线AB的倾斜角为60°,直线AB的方程为，‎ 联立直线AB与抛物线的方程可得，‎ 所以，‎ 而原点到直线AB的距离为，‎ 所以.‎ 当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求得.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎12. 已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，若函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数与的图象关于轴对称，所以，函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，所以函数和函数在上单调性相同，因为和函数的单调性相反，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在 - 17 -‎ 上恒成立，得，即实数的取值范围是，故选B.‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若复数的共轭复数满足，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：，则.‎ ‎14. 设实数满足则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ A(2,0)，‎ 联立,解得B(2,6).‎ 的几何意义为可行域内的动点与定点(−3,1)连线的斜率。‎ ‎∵kPA=−,kPB=1.‎ ‎∴y−1x+3的取值范围是[−,1].
故答案为：[−,1].‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15. 已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边于两点，设，则的最小值为____________．‎ - 17 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由已知可得 ‎,由 ‎.‎ 考点：1、向量的基本运算；2、基本不等式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查向量的基本运算和基本不等式，属于较难题型，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.本题还有一个难点是通过向量的几何运算求出.‎ ‎16. 设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：______．‎ ‎【答案】76‎ ‎【解析】由题意可得：，‎ 令可得，，‎ 则函数关于点中心对称，据此可得：‎ 则： .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ - 17 -‎ ‎17. 已知函数f(x)＝ln x－.‎ ‎(1)试讨论f(x)在定义域上的单调性；‎ ‎(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且.分类讨论可得：当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.当a<0时，f(x)在(0，－a]上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数.‎ ‎(2)由(1)可知：，分类讨论：①若a≥－1，f(x)min＝f(1)，可得，不合题意；②若a≤－e，f(x)min＝f(e)，可得，不合题意；③若－e0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.‎ 当a<0时，由f′(x)＝0得x＝－a，由f′(x)>0得，x>－a，由f′(x)<0得，x<－a，‎ ‎∴当a<0时，f(x)在(0，－a]上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数.‎ ‎(2)由(1)可知：f′(x)＝，‎ ‎①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).‎ ‎②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).‎ ‎③若－e0，‎ ‎∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.‎ 综上可知：a＝－.‎ ‎18. 某年级教师年龄数据如下表：‎ 年龄(岁)‎ 人数(人)‎ - 17 -‎ ‎22‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎2‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎2‎ 合计 ‎20‎ ‎(1)求这20名教师年龄的众数与极差；‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；‎ ‎(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．‎ ‎【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18.‎ ‎(2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；‎ ‎(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.‎ ‎(2)‎ - 17 -‎ ‎(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为的中点，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用直线平行于平面内的一条直线证得线面平行即可；‎ ‎(2)首先求得△PCE的面积，然后找到点P到平面的距离，利用体积公式求解三棱锥的体积即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设与相交于点，连接．‎ 由题意知，底面是菱形，则为的中点，‎ 又为的中点，所以，且平面，平面，‎ - 17 -‎ 则平面．‎ ‎（Ⅱ），‎ 因为四边形是菱形，所以，‎ 又因为平面，‎ 所以，‎ 又，所以平面，‎ 即是三棱锥的高，，‎ 则．‎ 点睛：推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．‎ ‎20. f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.‎ ‎(1)求f和f＋的值；‎ ‎(2)数列{an}满足：an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；‎ ‎(3)令bn＝，，证明Tn<2.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)令可得，令可得；‎ ‎(2)结合(1)中的结论倒序相加可得：，则数列是等差数列；‎ - 17 -‎ ‎........................‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为f＋f＝，所以2f＝，所以f＝.‎ 令x＝，则f＋f＝f＋f＝.‎ ‎(2)an＝f(0)＋f＋…f＋f(1)，‎ 又 an＝f(1)＋f＋…f＋f(0)，‎ 两式相加2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋[f(1)＋f(0)]＝，‎ 所以an＝，所以an＋1－an＝，故数列{an}是等差数列.‎ ‎(3) bn＝＝，‎ Tn＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋≤1＋＋＋…＋‎ ‎＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－<2.‎ ‎21. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，满足.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间）.‎ ‎(ⅰ)求证：；‎ ‎(ⅱ)是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设，由题意可得，所以. 结合椭圆的定义 - 17 -‎ 可得. 则椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）(ⅰ)设方程为，与联立可得. 则的斜率是.‎ 联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得 ，和中，由正弦定理得，，结合几何关系可得成立. ‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.假设存在直线，满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，则，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，则不存在直线满足题意.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，‎ 则=，所以. ‎ 因为=4，所以. ‎ 故椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）(ⅰ)设方程为，与联立，消得 ‎ , 由题意知，解得. ‎ 因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.‎ 设直线方程：，，联立，整理得，由，得，，； ‎ 直线、的斜率之和 ‎ ‎ - 17 -‎ ‎ ‎ 所以关于直线对称，即，‎ 在和中，由正弦定理得 ‎，，‎ 又因为，‎ 所以 故成立. ‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.‎ 假设存在直线，满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.‎ 所以，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，‎ 故不存在直线，满足题意.‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎【答案】（1）（为参数，）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．化为参数方程即（为参数，）；‎ - 17 -‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)．设圆心为G，结合(1)的结论可得GD与l的斜率相同，则，代入参数方程可得D的坐标为D.‎ 试题解析：‎ ‎(1)C的普通方程为 ‎(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为 ‎(t为参数，0≤t≤π)． ‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，即.‎ ‎23. 已知函数（其中，）．‎ ‎（1）若，，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）16‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题考查绝对值不等式的知识。（Ⅰ）将，代入不等式，根据零点分区间法将不等式转化为三个不等式组求解即可。（Ⅱ）先运用绝对值的三角不等式消去变量x，然后根据基本不等式证明。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当，时，不等式即为，‎ 等价于或或，‎ 解得或。‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎ ‎ ‎，‎ - 17 -‎ 当且仅当且，即时等号成立。‎ ‎∴ ．‎ ‎ ‎ - 17 -‎