2020版高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式测评 新人教A版选修4-5

2020版高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式测评 新人教A版选修4-5

第四讲 用数学归纳法证明不等式 测评 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.n=1 B.n=2 ‎ C.n=3 D.n=4‎ 解析由n≥3,n∈N知,应验证n=3.‎ 答案C ‎2.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N+)的第(2)步中,假设当n=k时原等式成立,则在n=k+1时需要证明的等式为(　　)‎ A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)‎ B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)‎ C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)‎ D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)‎ 12‎ 解析用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时,‎ 当n=1时左边所得的项是1+2=3,右边=2×12+1=3,命题成立.‎ 假设当n=k时命题成立,即1+2+3+…+2k=2k2+k.‎ 则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),‎ 故从“k→k+‎1”‎需增添的项是2k+1+2(k+1),‎ 因此1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).‎ 答案D ‎3.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=(　　)‎ A.k+1 B.1·(k+1)+(k+1)·1‎ C.1+2+3+…+k D.1+2+3+…+k+(k+1)‎ 解析依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,‎ 则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,‎ ‎∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1‎ ‎=1+2+3+…+k+(k+1).‎ 答案D ‎4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1时的情况,只需展开(　　)‎ A.(k+3)3 B.(k+2)3‎ C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3‎ 解析当n=k+1时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除”,根据归纳假设,当n=k时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除”,所以只需展开(k+3)3.‎ 12‎ 答案A ‎5.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是(　　)‎ A.假设当n=k时命题成立 B.假设当n=k(k∈N+)时命题成立 C.假设当n=k(k≥5)时命题成立 D.假设当n=k(k>5)时命题成立 解析由数学归纳法的步骤可知,选项C正确.‎ 答案C ‎6.用数学归纳法证明“Sn=+…+>1(n∈N+)”时,S1等于(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析当n=1时,S1=.‎ 答案D ‎7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明(　　)‎ A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除 C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除 解析由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.‎ 答案D 12‎ ‎8.设0<θ<,已知a1=2cos θ,an+1=,则猜想an为(　　)‎ A.2cos B.2cos C.2cos D.2sin 解析a1=2cos θ,a2==2cos,a3==2cos,猜想an=2cos.‎ 答案B ‎9.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是(　　)‎ A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3)‎ B.f(n)=‎2f(n-1)(n≥2)‎ C.f(n)=‎2f(n-1)-1(n≥2)‎ D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)‎ 解析分别取n=1,2,3,4验证,‎ 得f(n)=‎ 答案A ‎10.用数学归纳法证明“34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除”时,若当n=k时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为(　　)‎ A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1)‎ B.34×34k+1+52×52k 12‎ C.34k+1+52k+1‎ D.25(34k+1+52k+1)‎ 解析由于34(k+1)+1+52(k+1)+1=81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1=56×34k+1+25(34k+1+52k+1),故应选A.‎ 答案A ‎11.下列说法正确的是(　　)‎ A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题 B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题 C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真 D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题 解析由数学归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.‎ 答案D ‎12.若命题A(n)(n∈N+)在n=k(k∈N+)时成立,则有当n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N+)时成立,则有(　　)‎ A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立 D.以上说法都不正确 解析数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.‎ 答案C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ 12‎ ‎13.用数学归纳法证明cos α+cos 3α+…+cos(2n-1)α=(sin α≠0,n∈N),在验证n=1时,等式右边的式子是　　　　　　. ‎ 解析当n=1时,右边==cos α.‎ 答案cos α ‎14.设f(n)=,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设当n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·　　　　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ 解析当n=k时,f(k)=,‎ 当n=k+1时,‎ f(k+1)=,‎ 所以f(k)应乘.‎ 答案 ‎15.用数学归纳法证明+…+,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是　. ‎ 12‎ 解析注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以当n=k+1时,应为+…+.‎ 答案+…+‎ ‎16.导学号26394070设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为　　　　　　　　. ‎ 解析由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),可知 当n>1时,令x=,所以>1+n·,‎ 所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b.‎ 当n=1时,M=N,故M≥N.‎ 答案M≥N 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).‎ 证明(1)当n=1时,‎ 左边=12-22=-3,‎ 右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即 ‎12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).‎ 当n=k+1时,‎ ‎12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2‎ 12‎ ‎=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2‎ ‎=-2k2-5k-3‎ ‎=-(k+1)(2k+3)‎ ‎=-(k+1)[2(k+1)+1],‎ 即当n=k+1时,等式成立.‎ 由(1)(2)可知,对任何n∈N+,等式成立.‎ ‎18.(本小题满分12分)求证:两个连续正整数的积能被2整除.‎ 证明设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.‎ ‎(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即k·(k+1)能被2整除.‎ 当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),‎ 由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除,所以(k+1)(k+2)能被2整除,‎ 故当n=k+1时命题成立.‎ 由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.‎ ‎19.(本小题满分12分)设函数fn(x)=x+x2+…+xn-2(n∈N,n≥2),当x>-1,且x≠0时,证明:fn(x)>0恒成立.(x+1)n=x0+x+x2+…+xn,,m,n∈N+,且n≥m 证明要证fn(x)>0恒成立,因为x>-1,且x≠0,所以只需证·x+·x2+…+xn>1+nx,‎ 即证(1+x)n>1+nx.‎ ‎(1)当n=2时,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即(1+x)k>1+kx.‎ 12‎ 当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,‎ 即当n=k+1时不等式成立.‎ 由(1)(2)可知,‎ 对任意n∈N,n≥2,(1+x)n>1+nx成立,‎ 即fn(x)>0恒成立.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知点的序列An(xn,0),n∈N+,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A‎1A2的中点,A4是线段A‎2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,….‎ ‎(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n≥3);‎ ‎(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.‎ 解(1)当n≥3时,xn=.‎ ‎(2)a1=x2-x1=a,‎ a2=x3-x2=-x2‎ ‎=-(x2-x1)=-a,‎ a3=x4-x3=-x3‎ ‎=-(x3-x2)=-a.‎ 由此推测an=a(n∈N+).‎ 12‎ 用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1时,a1=x2-x1=a=a,通项公式成立.‎ ‎②假设当n=k时,ak=a成立.‎ 当n=k+1时,‎ ak+1=xk+2-xk+1=-xk+1‎ ‎=-(xk+1-xk)=-ak=-a ‎=a,通项公式成立.‎ 由①②知,an=a(n∈N+)成立.‎ ‎21.导学号26394071(本小题满分12分)求证:tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(n-1)α·tan nα=-n(n≥2,n∈N+).‎ 证明(1)当n=2时,左边=tan α·tan 2α,右边=-2=-2=-2==tan α·tan 2α=左边,等式成立.‎ 12‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时等式成立,即tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(k-1)α·tan kα=-k.‎ 当n=k+1时,tan α·tan 2α+tan 2α·tan 3α+…+tan(k-1)α·tan kα+tan kα·tan(k+1)α=-k+tan kα·tan(k+1)α ‎=-k ‎=[1+tan(k+1)α·tan α]-k ‎=[tan(k+1)α-tan α]-k ‎=-(k+1),‎ 所以当n=k+1时等式成立.‎ 由(1)和(2)知,当n≥2,n∈N+时等式恒成立.‎ ‎22.导学号26394072(本小题满分12分)设{xn}是由x1=2,xn+1=(n∈N+)定义的数列,求证xn<.‎ 证明由题意可知,xk+1=>2·.‎ 12‎ xn>显然成立.‎ 下面用数学归纳法证明xn<.‎ ‎(1)当n=1时,x1=2<+1,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即xk<.‎ 当n=k+1时,xk+1=.‎ 由归纳假设,xk<,‎ 则.‎ ‎∵xk>,∴.‎ ‎∴xk+1=.即xk+1<.‎ ‎∴当n=k+1时,不等式xn<成立.‎ 由(1)(2)可知,xn<对一切n∈N+都成立.‎ 12‎