数学卷·2018届江西省南昌十中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届江西省南昌十中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省南昌十中高二（上）期中数学试卷（解析版）‎ ‎　‎ 一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．过点A（4，a）和B（5，b）的直线与直线y=2x+m平行，则|AB|=（　　）‎ A．2 B． C．5 D．‎ ‎2．抛物线x=2ay2的准线方程是x=2，则a的值是（　　）‎ A． B． C．﹣4 D．4‎ ‎3．下列在曲线（θ为参数）上的点是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在极坐标系中，圆C1：ρ=4cosθ与圆C2：ρ=2sinθ相交于A，B两点，则|AB|=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎6．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎7．已知F1，F2为双曲线C：x2﹣2y2=1的左右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2=120°，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎9．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b的距离为2，则b取值范围为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[﹣2，2）‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎11．过双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D．‎ ‎12．已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2=1上的动点，且=0，则•的取值是（　　）‎ A．[，1] B．[1，9] C．[，9] D．[，3]‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．过点（，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是　　．‎ ‎14．椭圆上的点到直线的距离的最大值是　　．‎ ‎15．设P是抛物线x2=8y上一动点，F为抛物线的焦点，A（1，2），则|PA|+|PF|的最小值为　　．‎ ‎16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），若过其右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17．（10分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）‎ 求圆ρ=3cosθ被直线（t是参数）截得的弦长．‎ ‎18．（12分）已知双曲线C1与椭圆C2： =0有相同焦点，且经过点（，4）．‎ ‎（1）求此双曲线C1的标准方程；‎ ‎（2）求与C1共渐近线且两顶点间的距离为4的双曲线方程．‎ ‎19．（12分）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1．‎ ‎（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若直线分别与双曲线的两支各有一个公共点，求实数k的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）已知动圆M过定点F（1，0），且与直线x=﹣1相切．‎ ‎（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F且斜率为2的直线交轨迹C于S，T两点，求弦ST的长度；‎ ‎（3）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．‎ ‎22．（12分）已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，F1在以为圆心，1为半径的圆C2上，且|QF1|+|QF2|=2a．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）过点P（0，1）的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省南昌十中高二（上）期中数学试卷（解析版）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1．过点A（4，a）和B（5，b）的直线与直线y=2x+m平行，则|AB|=（　　）‎ A．2 B． C．5 D．‎ ‎【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】利用平行线的性质可得b﹣a=2，再利用两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵过点A（4，a）和B（5，b）的直线与直线y=2x+m平行，‎ ‎∴=2，可得b﹣a=2．‎ ‎∴|AB|===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的斜率之间的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线x=2ay2的准线方程是x=2，则a的值是（　　）‎ A． B． C．﹣4 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程即可求之．‎ ‎【解答】解：抛物线x=2ay2的标准方程是y2=x，则其准线方程为x=﹣=2，‎ 所以a=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式，考查抛物线标准方程中的参数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．下列在曲线（θ为参数）上的点是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】θ=45°时，x=，y=1，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：θ=45°时，x=，y=1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．在极坐标系中，圆C1：ρ=4cosθ与圆C2：ρ=2sinθ相交于A，B两点，则|AB|=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】可由这两圆的极坐标方程，在方程的两边同乘以ρ即可得出其平面直角坐标系下的方程，两圆的方程相减，可得公共弦的方程，根据勾股定理即可求出|AB|的值．‎ ‎【解答】解：由ρ=4cosθ得，ρ2=4ρcosθ；‎ ‎∴x2+y2=4x；‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4；‎ ‎∴该圆表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆；‎ 由ρ=2sinθ得，ρ2=2ρsinθ；‎ ‎∴x2+y2=2y；‎ ‎∴x2+（y﹣1）2=1；‎ ‎∴该圆表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆；‎ 两圆的方程相减，可得公共弦的方程为2x﹣y=0，‎ ‎（2，0）到直线的距离d=，∴|AB|=2=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】‎ 考查圆的极坐标方程的表示，以及极坐标和直角坐标互化的公式，以及圆的标准方程，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x ‎∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）‎ 又∵双曲线的方程为 ‎∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，‎ 化成一般式得：．‎ 因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==‎ 故选：B ‎【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，当l⊥x轴时，得到|AB|最短．‎ ‎【解答】解：过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，当l⊥x轴时，得到|AB|最短，‎ 将（c，0）代入双曲线方程，可得|AB|==8，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．已知F1，F2为双曲线C：x2﹣2y2=1的左右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2=120°，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F1 （﹣，0），F2（，0），由余弦定理可得 PF1•PF2，由S=PF1•PF2sin120°，求得△F1PF2的面积即为所求 ‎【解答】解：由题意可得双曲线C：x2﹣2y2=1，a=1，b=，c=，‎ 得F1 （﹣，0），F2（，0），‎ 又F1F22=6，|PF1﹣PF2|=2，‎ 由余弦定理可得：‎ F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos120°=（PF1﹣PF2）2+3PF1•PF2=4+3PF1•PF2=6，‎ ‎∴PF1•PF2=‎ ‎∴△F1PF2的面积S=PF1•PF2sin120°=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF1•PF2的值，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】=tan60°=⇒4b2=3c2⇒4（c2﹣a2）=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2．‎ ‎【解答】解：如图，∵ =tan60°，‎ ‎∴=，‎ ‎∴4b2=3c2，‎ ‎∴4（c2﹣a2）=3c2，‎ ‎∴c2=4a2，‎ ‎∴=4，‎ ‎∴e=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎9．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b的距离为2，则b取值范围为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[﹣2，2）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求 ‎ 圆上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，‎ ‎∴圆心坐标为（2，2），半径为3，‎ 要求圆上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为2‎ 则圆心到直线的距离d=≤，‎ ‎∴﹣2≤c≤2‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=4x联立可得x=，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵，‎ ‎∴|PQ|=4d，‎ ‎∴直线PF的斜率为±‎ ‎∵F（1，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），‎ 与y2=4x联立可得x=（另一根舍去），‎ ‎∴|QF|=d=1+=‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．过双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长FM交双曲线C1于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（　　）‎ A． B． C． +1 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出NF′的长度及判断出NF′垂直于NF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：如图，记右焦点为F′，‎ 则O为FF′的中点，‎ ‎∵M为NF的中点，‎ ‎∴OM为△FF′N的中位线，‎ ‎∴NF′=2OM=2a，‎ ‎∵M为切点，‎ ‎∴OM⊥NF，‎ ‎∴NF′⊥NF，‎ ‎∵点N在双曲线上，‎ ‎∴NF﹣NF′=2a，‎ ‎∴NF=NF′+2a=4a，‎ 在Rt△NFF′中，有：NF2+NF′2=FF′2，‎ ‎∴16a2+4a2=4c2，即5a2=c2，‎ ‎∴离心率e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2=1上的动点，且=0，则•的取值是（　　）‎ A．[，1] B．[1，9] C．[，9] D．[，3]‎ ‎【考点】圆锥曲线与平面向量；平面向量数量积的运算；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】利用=0，可得•=•（﹣）=，设A（2cosα，sinα），可得=（2cosα﹣1）2+sin2α，即可求解数量积的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵ =0，可得•=•（﹣）=，‎ 设A（2cosα，sinα），‎ 则=（2cosα﹣1）2+sin2α=3cos2α﹣4cosα+2=3（cosα﹣）2+，‎ ‎∴cosα=时，的最小值为；cosα=﹣1时，的最大值为9，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．过点（，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是　ρ•sinθ=1　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】先根据公式x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．‎ ‎【解答】解：由x=ρ•cosθ==1，y=ρ•sinθ==1，‎ 可得点（，）的直角坐标为（1，1），‎ ‎∵直线与极轴平行，‎ ‎∴在直角坐标系下直线的斜率为0．‎ ‎∴直线直角坐标方程为y=1，‎ ‎∴直线的极坐标方程是ρ•sinθ=1．‎ 故答案为：ρ•sinθ=1．‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了基本公式x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ，注意转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．椭圆上的点到直线的距离的最大值是　3　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设P点坐标是（2cosα，sinα），（0°≤α＜360°），利用点P到直线x﹣y+5=0的距离公式和三角函数的性质即可求出最大值．‎ ‎【解答】解：设P点坐标是（2cosα，sinα），（0°≤α＜360°）‎ ‎∴点P到直线x﹣y+5=0的距离d==≤=3，‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎15．设P是抛物线x2=8y上一动点，F为抛物线的焦点，A（1，2），则|PA|+|PF|的最小值为　4　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的标准方程 ‎ 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．‎ ‎【解答】解：抛物线标准方程x2=8y，p=4，焦点F（0，2），准线方程为y=﹣2．‎ 设p到准线的距离为d，则PF=d，‎ 所以求PA+PF的最小值就是求PA+d的最小值 显然，直接过A做y=﹣2的垂线AQ，当P是AQ与抛物线的交点时，PA+d有最小值 最小值为AQ=2﹣（﹣2）=4，‎ 故答案为4．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），若过其右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是　（1，）　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．‎ ‎【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，‎ 即＜tan45°=1，即b＜a ‎∴＜a，‎ 整理得c＜a，‎ ‎∴e=＜，‎ ‎∵双曲线中e＞1，‎ ‎∴e的范围是（1，）‎ 故答案为（1，）．‎ ‎【点评】本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17．（10分）（2013•镇江一模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）‎ 求圆ρ=3cosθ被直线（t是参数）截得的弦长．‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】通过消去参数t化直线的参数方程为普通方程，通过化圆的极坐标分为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离为0，然后得出结论即可．‎ ‎【解答】解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2+y2=3x，即；…‎ ‎，即：2x﹣y=3，…（6分） ‎ ‎，…（8分）‎ 即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•东湖区校级期中）已知双曲线C1与椭圆C2： =0有相同焦点，且经过点（，4）．‎ ‎（1）求此双曲线C1的标准方程；‎ ‎（2）求与C1共渐近线且两顶点间的距离为4的双曲线方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）双曲线C1与椭圆C2： =1有相同焦点，可以设出双曲线的标准方程（含参数a），然后根据经过点（，4），得到一个关于a的方程，解方程，即可得到a2的值，进而得到双曲线的方程．‎ ‎（2）设与C1共渐近线的双曲线方程为：，当λ＞0时，a2=4λ=4⇒λ=1．当λ＜0时，a2=﹣5λ=4⇒λ=﹣．‎ ‎【解答】解：（1）C2： =1的焦点为（0，±3），c=3，设双曲线C1的方程为：，‎ 把点（，4）代入得．‎ 得a2=4或36，而a2＜9，∴a2=4，∴双曲线方程为：．‎ ‎（2）设与C1共渐近线的双曲线方程为：，‎ 两顶点间的距离为4，⇒a=2‎ 当λ＞0时，a2=4λ=4⇒λ=1⇒双曲线方程为：．‎ 当λ＜0时，a2=﹣5λ=4⇒λ=﹣⇒双曲线方程为：．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的方程及性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•东湖区校级期中）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1．‎ ‎（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）若直线分别与双曲线的两支各有一个公共点，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程的判别式，即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1，可得2x2﹣（kx+1）2=1，整理得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．‎ ‎（1）只有一个公共点，当2﹣k2=0，k=±时，符合条件；当2﹣k2≠0时，由△=16﹣4k2=0，解得k=±2；‎ ‎（2）交于异支两点，＜0，解得﹣＜k＜．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将问题转化为方程根的问题，运用判别式解决，注意只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况，属于易错题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•东湖区校级期中）已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设M坐标为（x，y），利用直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，即可确定出M的轨迹方程；‎ ‎（2）设出C与D坐标，分别代入M的轨迹方程，整理由根据N为CD中点，求出直线l斜率，即可确定出直线l方程．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x，y），‎ ‎∵直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，‎ ‎∴=2，‎ 则动点M的轨迹方程为2x2﹣y2=2（x≠±1）；‎ ‎（2）由（1）得M的轨迹方程为2x2﹣y2=2（x≠±1），‎ 设点C（x1，y1），D（x2，y2），则有2x12﹣y12=2①，2x22﹣y22=2②，‎ ‎①﹣②得：2（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，‎ ‎∵N（，1）为CD的中点，‎ ‎∴x1+x2=1，y1+y2=2，‎ ‎∴直线l的斜率k=1，‎ ‎∴直线l的方程为y﹣1=x﹣，即2x﹣2y+1=0．‎ ‎【点评】此题考查了轨迹方程，直线的点斜式方程，熟练掌握运算性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•东湖区校级期中）已知动圆M过定点F（1，0），且与直线x=﹣1相切．‎ ‎（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F且斜率为2的直线交轨迹C于S，T两点，求弦ST的长度；‎ ‎（3）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知点M是以F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，进而求得抛物线方程．‎ ‎（2）直线方程为y=2（x﹣1），代入y2=4x，可得x2﹣3x+1=0，利用抛物线的定义，即可求弦ST的长度；‎ ‎（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0．利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB，可化为化为4+y1y2=0．又直线PQ的方程代入化简整理为y（y1+y2）+4=4x，令y=0，则x=1即可得到定点．‎ ‎【解答】（1）解：由已知，点M到直线x=﹣1的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，‎ ‎∴点M的轨迹方程为y2=4x；‎ ‎（2）解：直线方程为y=2（x﹣1），代入y2=4x，可得x2﹣3x+1=0，‎ 设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x2=3，∴|ST|=x1+x2+2=5；‎ ‎（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0．‎ ‎∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB，‎ ‎∴化为4+y1y2=0．‎ 直线PQ的方程为y﹣y1=（x﹣），‎ 化为y（y1+y2）+4=4x，令y=0，则x=1，‎ ‎∴直线PQ过定点（1，0）‎ ‎【点评】本题综合考查了抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•东湖区校级期中）已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，F1在以为圆心，1为半径的圆C2上，且|QF1|+|QF2|=2a．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）过点P（0，1）的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）圆C2的方程为（x+）2+（y﹣1）2=1，由此圆与x轴相切，求出a，b的值，由此能求出椭圆C1的方程．‎ ‎（2）设l1：x=t（y﹣1），则l2：tx+y﹣1=0，与椭圆联立，得（t2+2）y2﹣2t2y+t2﹣4=0，由此利用弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出△MAB面积的取值范围 ‎【解答】解：（1）圆C2的方程为（x+）2+（y﹣1）2=1，由此圆与x轴相切，切点为（，0），∴c=，‎ 且F1（﹣，0），F2（，0），又|QF1|+|QF2|=3+1=2a．‎ ‎∴a=2，b2=a2﹣c2=2，∴∴椭圆C1的方程为：．‎ ‎（2）当l1平行x轴的时候，l2与圆C2无公共点，从而△MAB不存在；‎ 设l1：x=t（y﹣1），则l2：tx+y﹣1=0．‎ 把x=t（y﹣1）代入椭圆C1：．得（t2+2）y2﹣2t2y+t2﹣4=0，‎ y1+y2=，y1y2=，‎ 则|AB|=|y1﹣y2|=，‎ 又圆心Q到l2的距离d12=⇒t2＜1．‎ 又MP⊥AB，QM⊥CD ‎∴M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d2，d2=．‎ ‎∴△MAB面积S=|AB|•d2=．‎ 令u=，∴s=f（u）==∈（]．‎ ‎∴△MAB面积的取值范围为（]．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，注意弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．属于中档题．‎ ‎　‎