数学卷·2018届湖北省孝感市六校教学联盟联考高二上学期期中考试数学理试卷 （解析版）

数学卷·2018届湖北省孝感市六校教学联盟联考高二上学期期中考试数学理试卷 （解析版）

2016-2017 学年湖北省孝感市六校教学联盟联考高二（上）期 中数学试卷（理科） 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．近年来，随着私家车数量的不断增加，交通违法现象也越来越严重，孝感市交警大队在某 天 17：00～20：00 这一时段内，开展整治酒驾专项行动，采取蹲点守候随机抽查的方式，每 隔 3 分钟检查一辆经过的私家车．这种抽样方法属于（　　） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．定点抽样 2．某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两 个事件是（　　） A．至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 B．恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 C．至少有 1 名男生和都是女生 D．至多有 1 名男生和都是女生 3．如图程序的输出结果为（　　） A．（4，3） B．（7，7） C．（7，10） D．（7，11） 4．从 1003 名学生中选出 50 个代表，先用简单随机抽样剔除 3 人，再将剩下的 1000 人均分 成 20 组，采用系统抽样方法选出 50 人，则每个人被选中的概率均为（　　） A． B． C． D． 5．在[﹣1，2]内，任取一个数，使“﹣2＜x＜ ”的概率是（　　） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1524 石，验 得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．1365 石 B．338 石 C．168 石 D．134 石 7．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 13 人，则 n 等于（　　） A．660 B．720 C．780 D．800 8．用秦九昭算法计算多项式 f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，x=﹣4 时，V3 的值为 （　　） A．﹣742 B．﹣49 C．18 D．188 9．从一个含有 40 个个体的总体中抽取一个容量为 7 的样本，将个体依次随机编号为 01， 02，…，40，从随机数表的第 6 行第 8 列开始，依次向右，到最后一列转下一行最左一列开始， 直到取足样本，则获取的第 4 个样本编号为（　　） （下面节选了随机数表第 6 行和第 7 行） 第 6 行 84 42 17 56 31 07 23 55 06 82 77 04 74 43 59 76 30 63 50 25 83 92 12 06 第 7 行 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38． A．06 B．10 C．25 D．35 10．某公司过去五个月的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有下列对应数据： x 2 4 5 6 8 y 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中 y 的第一个数据丢失．已知 y 对 x 呈线性相关关系，且回归方程为 =6.5x+17.5，则下列说法： ①销售额 y 与广告费支出 x 正相关； ②丢失的数据（表中 处）为 30； ③该公司广告费支出每增加 1 万元，销售额一定增加 6.5 万元； ④若该公司下月广告投入 8 万元，则销售额为 70 万元． 其中，正确说法有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．已知数据 x1，x2，x3，…，x100 是杭州市 100 个普通职工的 2016 年 10 月份的收入（均不 超过 2 万元），设这 100 个数据的中位数为 x，平均数为 y，方差为 z，如果再加上马云 2016 年 10 月份的收入 x101（约 100 亿元），则相对于 x、y、z，这 101 个月收入数据（　　） A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 C．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 D．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 12．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则判断框内可以填（　　） A．k＞98？ B．k≥99？ C．k≥100？ D．k＞101？ 　 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．306、522、738 的最大公约数为　　． 14．二进制数 101101110（2）化为十进制数是　　，再化为八进制数是　　（8）． 15．天气预报说，未来三天每天下雨的概率都是 0.6，用 1、2、3、4 表示不下雨，用 5、6、 7、8、9、0 表示下雨，利用计算机生成下列 20 组随机数，则未来三天恰有两天下雨的概率大 约是　　． 757 220 582 092 103 000 181 249 414 993 010 732 680 596 761 835 463 521 186 289． 16．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值得 个数是　　个． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10 分）甲、乙两人练习罚球，每人练习 6 组，每组罚球 20 个，命中个数的茎叶图如图： （1）求甲命中个数的中位数和乙命中个数的众数； （2）通过计算，比较甲乙两人的罚球水平． 18．（12 分）袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共 12 个．从中任取一球， 得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ． （1）试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； （2）从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率． 19．（12 分）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4 的 4 张标签，随机地选取两张标签，根据下 列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： （1）标签的选取是无放回的； （2）标签的选取是有放回的． 20．（12 分）某制造厂商 10 月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取 n 个进行检查，测得每个 球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如表频率分布表： 分组 频数 频率 [39.95，39.97） 6 P1 [39.97，39.99） 12 0.20 [39.99，40.01） a 0.50 [40.01，40.03） b P2 合计 n 1.00 （1）求 a、b、n 及 P1、P2 的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）； （2）已知标准乒乓球的直径为 40.00mm，直径误差不超过 0.01mm 的为五星乒乓球，若这批 乒乓球共有 10000 个，试估计其中五星乒乓球的数目； （3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是 40.00）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数． 21．（12 分）为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某农科所记录了 5 组昼夜温差与 100 颗种子发芽数，得到如表资料： 组号 1 2 3 4 5 温差 x（°C） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求出线性回归方程， 再对被选取的 2 组数据进行检验． （1）若选取的是第 1 组与第 5 组的两组数据，请根据第 2 组至第 4 组的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得 到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式： = = ， = ﹣ ） 22．（12 分）（1）在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M，求事件“|AM|≤1”的概率； （2）某班在一次数学活动中，老师让全班 56 名同学每人随机写下一对都小于 1 的正实数 x、 y，统计出两数能与 1 构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有 12 对，请据此估计 π 的 近似值（精确到 0.001）． 　 2016-2017 学年湖北省孝感市六校教学联盟联考高二（上） 期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．近年来，随着私家车数量的不断增加，交通违法现象也越来越严重，孝感市交警大队在某 天 17：00～20：00 这一时段内，开展整治酒驾专项行动，采取蹲点守候随机抽查的方式，每 隔 3 分钟检查一辆经过的私家车．这种抽样方法属于（　　） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．定点抽样 【考点】收集数据的方法． 【专题】综合题；转化思想；演绎法． 【分析】根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有 相同的间隔，得到的一系列样本． 【解答】解：∵每隔 3 分钟检查一辆经过的私家车， ∴这是一个系统抽样； 故选 B． 【点评】本题考查系统抽样方法，考查抽样方法是哪一个抽样，主要观察个体得到的方法是 不是符合系统抽样．本题是一个基础题． 　 2．某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两 个事件是（　　） A．至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 B．恰有 1 名男生和恰有 2 名男生 C．至少有 1 名男生和都是女生 D．至多有 1 名男生和都是女生 【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】转化思想；分析法；概率与统计． 【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事 件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案． 【解答】解：至少有 1 名男生和至少有 1 名女生，两者能同时发生，故 A 中两个事件不是互 斥事件，也不是对立事件； 恰有 1 名男生和恰有两名男生，两者不能同时发生，且不对立，故 B 是互斥而不对立事件； 至少有 1 名男生和全是女生，两个事件不可能同时发生，且两个事件的和事件是全集，故 C 中两个事件是对立事件， 至多有 1 名男生和都是女生，两者能同时发生，故 A 中两个事件不是互斥事件，也不是对立 事件； 故选：B． 【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的 关系．属于基础题． 　 3．如图程序的输出结果为（　　） A．（4，3） B．（7，7） C．（7，10） D．（7，11） 【考点】赋值语句． 【专题】计算题；试验法；算法和程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作 用是计算 X，Y 的值并输出（X，Y）． 【解答】解：程序在运行过程中各变量的结果如下表示： 第一行 X=4 第二行 Y=3 第三行 X=X+Y=7 第四行 Y=X+Y=10 故程序的输出结果为（7，10）． 故选：C． 【点评】本题考查赋值语句，考查顺序结构，求解本题的关键是从图形中看出程序解决的是 什么问题以及程序中提供的运算方法是什么，然后根据所给的运算方法进行正确推理得出答 案． 　 4．从 1003 名学生中选出 50 个代表，先用简单随机抽样剔除 3 人，再将剩下的 1000 人均分 成 20 组，采用系统抽样方法选出 50 人，则每个人被选中的概率均为（　　） A． B． C． D． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计． 【分析】由题意得该抽样满足随机抽样的条件，由此能求出每个人被选中的概率． 【解答】解：从 1003 名学生中选出 50 个代表， 先用简单随机抽样剔除 3 人，再将剩下的 1000 人均分成 20 组， 采用系统抽样方法选出 50 人， 则每个人被选中的概率均为 ． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意随机抽样的性质的合理 运用． 　 5．在[﹣1，2]内，任取一个数，使“﹣2＜x＜ ”的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】几何概型． 【专题】概率与统计． 【分析】本题利用几何概型求概率，解得区间长度，求比值即得． 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度， 区间[﹣1，2]的长度为 3，“﹣2＜x＜ ”长度为 ， 由几何概型公式得 x 恰好在“﹣2＜x＜ ”的概率是为 = ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 　 6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1524 石，验 得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．1365 石 B．338 石 C．168 石 D．134 石 【考点】简单随机抽样． 【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计． 【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1524× =168 石， 故选：B． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． 　 7．（2014•文登市二模）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从 高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 13 人，则 n 等于（　　） A．660 B．720 C．780 D．800 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】根据分层抽样的定义，建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：∵高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二 被抽取的人数为 13 人， ∴ ， 解得 n=720， 故选：B． 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立分层是解决本题的关键，比较基础． 　 8．用秦九昭算法计算多项式 f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，x=﹣4 时，V3 的值为 （　　） A．﹣742 B．﹣49 C．18 D．188 【考点】秦九韶算法． 【专题】综合题；方程思想；演绎法；算法和程序框图． 【分析】把所给的多项式写成关于 x 的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到 外进行运算，得到要求的值． 【解答】解：∵f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3 =（（2x+5）x+6）x+23）x﹣8）x+10）x﹣3， ∴v0=2， v1=v0x+5=2×（﹣4）+5=﹣3， v2=v1x+6=﹣3×（﹣4）+6=18， v3=v2x+23=18×（﹣4）+23=﹣49， ∴V3 的值为﹣49； 故选 B． 【点评】本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式， 不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以． 　 9．从一个含有 40 个个体的总体中抽取一个容量为 7 的样本，将个体依次随机编号为 01， 02，…，40，从随机数表的第 6 行第 8 列开始，依次向右，到最后一列转下一行最左一列开始， 直到取足样本，则获取的第 4 个样本编号为（　　） （下面节选了随机数表第 6 行和第 7 行） 第 6 行 84 42 17 56 31 07 23 55 06 82 77 04 74 43 59 76 30 63 50 25 83 92 12 06 第 7 行 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38． A．06 B．10 C．25 D．35 【考点】简单随机抽样． 【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计． 【分析】找到第 6 行第 8 列的数开始向右读，依次寻找号码小于 500 的即可得到结论． 【解答】解：找到第 6 行第 8 列的数开始向右读， 第一个数是 63，不成立， 第二个数 10，成立， 第三个数 72，不成立， 第四个数 35，成立， 第五个数 50，不成立， 这样依次读出结果，68，27，70，47，44，35，97，63，06 合适的数是 27，35，06， 其中 35 前面已经重复舍掉， 故第四个数是 06． 故选：A 【点评】本题主要考查抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出 现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的． 　 10．某公司过去五个月的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有下列对应数据： x 2 4 5 6 8 y 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中 y 的第一个数据丢失．已知 y 对 x 呈线性相关关系，且回归方程为 =6.5x+17.5，则下列说法： ①销售额 y 与广告费支出 x 正相关； ②丢失的数据（表中 处）为 30； ③该公司广告费支出每增加 1 万元，销售额一定增加 6.5 万元； ④若该公司下月广告投入 8 万元，则销售额为 70 万元． 其中，正确说法有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】线性回归方程． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计． 【分析】对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①由题意，y 随着 x 的增大而增大，故销售额 y 与广告费支出 x 正相关，正确； ② =5，代入 =6.5x+17.5，可得 =50，∴丢失的数据为 30，正确； ③该公司广告费支出每增加 1 万元，销售额不一定增加 6.5 万元，不正确； ④若该公司下月广告投入 8 万元，则预测销售额为 70 万元，不正确． 故选 B． 【点评】本题考查统计知识，考查回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 11．已知数据 x1，x2，x3，…，x100 是杭州市 100 个普通职工的 2016 年 10 月份的收入（均不 超过 2 万元），设这 100 个数据的中位数为 x，平均数为 y，方差为 z，如果再加上马云 2016 年 10 月份的收入 x101（约 100 亿元），则相对于 x、y、z，这 101 个月收入数据（　　） A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 C．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 D．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 【考点】极差、方差与标准差． 【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计． 【分析】这 101 个月收入数据平均数大大增大，中位数由 变为 x51，方差变大． 【解答】解：∵数据 x1，x2，x3，…，x100 是杭州市 100 个普通职工的 2016 年 10 月份的收入 （均不超过 2 万元）， 设这 100 个数据的中位数为 x，平均数为 y，方差为 z， 马云 2016 年 10 月份的收入 x101（约 100 亿元）， ∴相对于 x、y、z，这 101 个月收入数据平均数大大增大， 中位数由 变为 x51，∴中位数可能不变， 方差变大， 故选：D． 【点评】本题考查平均数、中位数、方差的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注 意基本概念的合理运用． 　 12．运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则判断框内可以填（　　） A．k＞98？ B．k≥99？ C．k≥100？ D．k＞101？ 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 k=11 时，由题意，此 时满足条件，退出循环，输出 S 的值为 ，则可得判断框中应该填的条件． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 s=0，k=1 不满足条件，执行循环体，s= ，k=3 不满足条件，执行循环体，s= + ，k=5 … 观察规律可知： 不满足条件，执行循环体，s= + + +…+ = [（1﹣ ）+（ ﹣ ） +…+（ ﹣ ）]= （1﹣ ）= ，k=101 由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出 s 的值为 ， 则判断框内可以填 k≥100？． 故选：C． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键， 属于基础题． 　 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．306、522、738 的最大公约数为　18　． 【考点】用辗转相除计算最大公约数． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；算法和程序框图． 【分析】要求三个数的最大公约数，我们可以先求出前两个数的最大公约数，再求出所得公 约数与第三个数的最大公约数，即可得到答案． 【解答】解：∵306、522 的最大公约数是 18， 522、738 的最大公约数也为 18， 故 306、522、738 的最大公约数为 18． 故答案为：18． 【点评】本题考查的知识点是最大公因子，其中在求最大公约数时，要利用辗转相除法，或 更相减损术，这是解答本题的关键． 　 14．二进制数 101101110（2）化为十进制数是　54　，再化为八进制数是　66　（8）． 【考点】进位制． 【专题】计算题；转化思想；转化法；算法和程序框图． 【分析】要将 101101110（2） 化为十进制我们可以利用累加权重法，分别求出各数位上的 1 对应的权重，累加后即可得到答案；而要将所得的十进制再转化为 8 进制数，则可以使用除 8 求余法． 【解答】解：110110（2）=1×25+1×24+0×23+1×22+1×21+0×20=54（10）． 又∵54÷8=6…6 6÷8=0…6 ∴54（10）=66（8） 故答案为：45（10），66（8） 【点评】本题考查的知识点是进制之间的转化，熟练掌握十进制与其它进制之间的转化方法 （累加权重法，除 k 求余法）是解答本题的关键，属于基础题． 　 15．天气预报说，未来三天每天下雨的概率都是 0.6，用 1、2、3、4 表示不下雨，用 5、6、 7、8、9、0 表示下雨，利用计算机生成下列 20 组随机数，则未来三天恰有两天下雨的概率大 约是　0.4　． 757 220 582 092 103 000 181 249 414 993 010 732 680 596 761 835 463 521 186 289． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计． 【分析】利用列举法求出未来三天恰有两天下雨的基本事件个数，由此能求出未来三天恰有 两天下雨的概率． 【解答】解：未来三天恰有两天下雨的基本事件有： 582，092，993，010，761，835，186，289， ∴未来三天恰有两天下雨的概率大约是 p= ． 故答案为：0.4． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的性质的合理运 用． 　 16．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值得 个数是　1　个． 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图． 【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值，结合输入的 x 值与输出的 y 值相等，我们分类讨论后，即可得到结论． 【解答】解：由题意得该程序的功能是： 计算并输出分段函数 y= 的值， 又∵输入的 x 值与输出的 y 值相等， 当 x＜0 时，x=3x+5，解得 x=﹣2.5， 当 x≥0 时，x=e﹣x，无解． 故满足条件的 x 值共有 1 个． 故答案为：1． 【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中分析出函数的功能，将问题转化为分段函数函 数值问题，是解答本题的关键，属于基础题． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10 分）甲、乙两人练习罚球，每人练习 6 组，每组罚球 20 个，命中个数的茎叶图如图： （1）求甲命中个数的中位数和乙命中个数的众数； （2）通过计算，比较甲乙两人的罚球水平． 【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数． 【专题】对应思想；定义法；概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图中的数据计算甲的中位数乙的众数即可； （2）计算甲、乙的平均数与方差，比较即可得出结论． 【解答】解：（1）将甲的命中个数从小到大排列为 5，8，9，11，16，17， 所以甲的中位数是 ， 将乙的命中个数从小到大排列为 6，9，10，12，12，17， 所以乙的众数为 12； （2）甲命中个数的平均数为： ， 乙命中个数的平均数为： ， 甲的方差为： ， 乙的方差为： ， 因为 ， ， 所以甲乙两人的罚球水平相当，但乙比甲稳定． 【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据计算中位数、众数以及平均数与方差的应用问题， 是基础题目． 　 18．（12 分）袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共 12 个．从中任取一球， 得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ． （1）试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； （2）从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；转化法；概率与统计． 【分析】（1）从 12 个球中任取一个，记事件 A=“得到红球”，事件 B=“得到黑球”，事件 C=“得 到黄球”，事件 D=“得到绿球”，则事件 A、B、C、D 两两互斥，由此能求出得到黑球、黄球、 绿球的概率． （2）事件“得到红球或绿球”可表示为事件“A+D”，由互斥事件概率加法公式和对立事件概率 计算公式能求出得到的不是“红球或绿球”的概率． 【解答】解：（1）从 12 个球中任取一个， 记事件 A=“得到红球”，事件 B=“得到黑球”，事件 C=“得到黄球”，事件 D=“得到绿球”， 则事件 A、B、C、D 两两互斥， 由题意有： ， 即 ， 解得 ， ， ， ， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为 、 、 ． （2）事件“得到红球或绿球”可表示为事件“A+D”， 由（1）及互斥事件概率加法公式得： ， 故得到的不是“红球或绿球”的概率： ． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式 和对立事件概率计算公式的合理运用． 　 19．（12 分）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4 的 4 张标签，随机地选取两张标签，根据下 列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： （1）标签的选取是无放回的； （2）标签的选取是有放回的． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，无放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基 本事件可以通过列举得到共有 12 种结果．满足条件的事件也可以通过列举得到结果数，得到 概率． （2）本题是一个等可能事件的概率，有放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件可 以通过列举得到结果，两张标签上的数字为相邻整数基本事件，得到概率． 【解答】解：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 无放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，总数为 2×6 个 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{3，4}，总数为 2×3 个 ∴根据等可能事件的概率公式得到 P= = ； （2）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 有放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}， 和（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共有 2×6+4=16 个 为{1，2}，{2，3}，{3，4}，总数为 2×3 个 ∴根据等可能事件的概率公式得到 P= = 【点评】本题考查等可能事件的概率，考查利用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条 件的事件数，本题是一个基础题，第一问是一个不放回问题，第二问是一个放回问题，注意 题目的条件． 　 20．（12 分）某制造厂商 10 月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取 n 个进行检查，测得每个 球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如表频率分布表： 分组 频数 频率 [39.95，39.97） 6 P1 [39.97，39.99） 12 0.20 [39.99，40.01） a 0.50 [40.01，40.03） b P2 合计 n 1.00 （1）求 a、b、n 及 P1、P2 的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）； （2）已知标准乒乓球的直径为 40.00mm，直径误差不超过 0.01mm 的为五星乒乓球，若这批 乒乓球共有 10000 个，试估计其中五星乒乓球的数目； （3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是 40.00）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数． 【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图． 【专题】应用题；数形结合；定义法；概率与统计． 【分析】（1）由频率分布表，求出样本容量 n，再计算 a、b 与频率 P1、P2， 画出频率分布直方图； （2）求出直径落在[39.99，40.01]内的频率，计算对应的频数即可； （3）利用频率分布直方图计算平均数与中位数即可． 【解答】解：（1）由频率分布表可知： n=12÷0.20=60， a=60×0.50=30， b=60﹣6﹣12﹣30=12， 频率 P1=6÷60=0.10， 频率 P2=12÷60=0.20， 所以频率分布直方图如图所示： （2）五星乒乓球的直径落在[39.99，40.01]内，频率为 25×（40.01﹣39.99）=0.50； 故 10000 个乒乓球中“五星乒乓球”大约有： 10000×0.50=5000 个； （3）平均数为 ， 设中位数为 m，则 39.99＜m＜40.01 且 0.10+0.20+（m﹣39.99）×25=0.50， 所以 m=39.998， 即中位数为 39.998． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与中位数的应用问题，是 基础题目． 　 21．（12 分）为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某农科所记录了 5 组昼夜温差与 100 颗种子发芽数，得到如表资料： 组号 1 2 3 4 5 温差 x（°C） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求出线性回归方程， 再对被选取的 2 组数据进行检验． （1）若选取的是第 1 组与第 5 组的两组数据，请根据第 2 组至第 4 组的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得 到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式： = = ， = ﹣ ） 【考点】线性回归方程． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计． 【分析】（1）根据所给的数据，先做出 x，y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据 最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． （2）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，就认为得到的线性回归方程是 可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的． 【解答】解：（1）由题意： ， ， = ． ， 故回归直线方程为： ． （2）当 x=10 时， ，|22﹣23|=1＜2， 当 x=8 时， ，|17﹣16|=1＜2， ∴（1）中所得的回归直线方程可靠． 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是 可靠的，是一个综合题目． 　 22．（12 分）（1）在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M，求事件“|AM|≤1”的概率； （2）某班在一次数学活动中，老师让全班 56 名同学每人随机写下一对都小于 1 的正实数 x、 y，统计出两数能与 1 构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有 12 对，请据此估计 π 的 近似值（精确到 0.001）． 【考点】几何概型；模拟方法估计概率． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计． 【分析】（1）根据已知条件，求出满足条件的正方形 ABCD 的面积，及事件“|AM|≤1”对应 平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案． （2）以点 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两 个小于 1 的正数 x，y，所有基本事件构成区域 ，即正方形 ABCD 内部；事件 N=“以 x，y 与 1 为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域 ，即扇形 BAD 以外正方形 ABCD 以内的阴影部分，由几何概型 概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计 π 的值． 【解答】解：（1）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M，满足条件的点 M 落在 扇形 BAD 内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： ， 故事件“|AM|≤1”发生的概率为 ． （2）以点 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两 个小于 1 的正数 x，y，所有基本事件构成区域 ，即正方形 ABCD 内部； 事件 N=“以 x，y 与 1 为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域 ，即扇形 BAD 以外正方形 ABCD 以内的阴影部分； 由（1）知： ， 全班 56 名同学每人随机写下一对都小于 1 的正实数 x、y，可以看作在区域 Ω 中任取 56 个点； 满足“以 x，y 与 1 为边长能构成锐角三角形”的（x，y）共有 12 对，即有 12 个点落在区域 N 中， 故其概率为 ，用频率估计概率，有 ，即 ， ∴ ，即 π 的近似值为 3.143． 【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，几何概型 的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与 “大小”有关，而与形状和位置无关．