数学文卷·2018届福建省晋江市季延中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届福建省晋江市季延中学高二下学期期中考试（2017-04）

季延中学2017年春高二期中考试 数学(文)科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题者 陈政强 一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分） ‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点在（ ）‎ A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以”，你认为这个推理（ ）‎ A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的 ‎3．设有一个回归方程为变量增加一个单位时，则 ( )‎ A.平均增加2个单位 B.平均减少3个单位 ‎ C.平均减少2个单位 D.平均增加3个单位 ‎ ‎4．点的直角坐标是，则点的极坐标为 ( )‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D、‎ ‎5．已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是(　　)‎ A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角 ‎7．将参数方程化为普通方程为 ( )‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎8．极坐标方程表示的曲线为（ ）‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 ‎ ‎ C．一条直线和一个圆 D．一个圆 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．已知命题；命题，则命题的（ ）是命题.‎ ‎ A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎10．若，，则的大小关系是( )‎ A． B．‎ C． D．由的取值确定 ‎11.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“使得”的否定是：“均有” ‎ D．已知命题，命题，使得．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．‎ ‎12.设函数，则对任意实数，，是的( )‎ A．充分而非必要条件 B．充分必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 二．填空题(本题共4题，每题5分，共20分)‎ ‎13．若复数 (为虚数单位，)是纯虚数，则复数的模是 .‎ ‎14．在同一平面直角坐标系中，由曲线变成曲线的伸缩变换 . ‎ ‎15．在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为，若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，则= ______ ．‎ ‎16．已知，若均为正实数，则由以上等式，可推测 .‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分)‎ ‎17．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，，圆的方程为 ‎（1）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；‎ ‎（2）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值.‎ ‎18.（12分）‎ ‎． （Ⅰ）求； （Ⅱ）‎ ‎19.（12分）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动． （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？ 附： ‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．(满分12分) 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值。‎ ‎21．(本题12分)‎ 已知是全不相等的正实数，求证 ‎22．(本题12分)‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④；‎ ‎⑤．‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。‎ 一、CADCA CCCAC DB 二、13、 14、 15、 16、41‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 解：（1）由，可得：，所以 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为： ………………4分 ‎（2）在直角坐标系中 所以，直线AB的方程为：‎ 所以圆心到直线AB的距离，又圆C的半径为1，‎ 所以圆C上的点到直线AB的最大距离为 故面积的最大值为 ………………10分 ‎18.‎ ‎ ……………………………………2分 ‎ ……………………………………3分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎………………7分 ① 当时，满足,此时，解得；………………………9分 ② 当时，要使,当且仅当解得．……………11分 综上所述，实数的取值范围为． 12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：（1）根据题意，建立2×2列联表，如下； ‎ ‎ ‎ 看电视 运动 合计 女性 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 男性 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎60‎ ‎120‎ ‎ 6分 ‎（2）计算观测值； 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下， 没有找到充足证据证明“性别与休闲方式有关系”． 12分 ‎20．解：设直线为， 3分 代入曲线并整理得 ‎ 5分 则 8分 所以当时，即，的最小值为，此时。12分 ‎21法1：（分析法）‎ 要证 ‎ 只需证明 ‎ ‎ 即证 2分 而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数 ‎∴ 8分 ‎∴ ‎ ‎∴ 得证。 12分 证法2：（综合法）‎ ‎∵ a，b，c全不相等 ‎∴ 与，与，与全不相等。‎ ‎∴ ‎ 三式相加得 ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎22 解法一：(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos 15°＝＝1－＝． 3分 ‎(2)三角恒等式为sin2＋cos2(30°－)－sincos(30°－)＝．6分 证明如下：‎ sin2＋cos2(30°－)－sincos(30°－)‎ ‎＝sin2＋(cos 30°cos ＋sin30°sin)2－sin(cos 30°cos ＋sin30°sin)‎ ‎＝‎ ‎＝． 12分 解法二：(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为sin2＋cos2(30°－)－sincos(30°－)＝．‎ 证明如下：‎ sin2＋cos2(30°－)－sincos(30°－)‎ ‎＝－sin (cos30°cos＋sin30°sin)‎ ‎＝(cos60°cos2＋sin60°sin2)－‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎ ‎