2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

‎2019学年度第三学段高一年级模块考试试卷 数学必修V 一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．请将答案填涂在机读卡上）‎ ‎1．等差数列中，已知，，则（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，‎ 则由，，得，‎ 解得，，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎2．等差数列的前项和为，，则等于（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质可知，‎ ‎，‎ 所以，．‎ 故选．‎ ‎3．设是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前项和为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为，，‎ 则，解得，‎ ‎∴数列的前项和．‎ 故选．‎ ‎4．若，，则下列不等式恒成立的（）．‎ - 14 -‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】项，当，时，，故错误；‎ 项，当，时，，故错误；‎ 项，因为函数是定义域上的增函数，所以当时，，故正确；‎ 项，因为，所以，此时无意义，故错误．‎ 故选．‎ ‎5．设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）．‎ ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵，，三点共线，‎ ‎∴与共线，‎ ‎∴，化简得，即，‎ ‎∴或．‎ 故选．‎ ‎6．已知，，，四个实数成等差数列，，，，，五个实数成等比数列，则的值等于（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有 ‎，解得，，‎ - 14 -‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎7．设，，向量，，且，，则（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，且，‎ ‎∴，解得，‎ 又∵，，且，‎ ‎∴，解得 ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎8．在中，角，，所对边分别为，，，已知，，，则向量在向量上的投影为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，在上的投影为．‎ 故选．‎ ‎9．单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，是单位向量，且，的夹角为，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ - 14 -‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎10．已知等差数列中，，公差，则使其前项和取得最大值的自然数是（）．‎ ‎ A．或 B．或 C．或 D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】∵在等差数列中，，公差，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴使其前项和取得最大值的自然数是或．‎ 故选．‎ ‎11．在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点处观察塔顶，其仰角约为，然后沿南偏西方向走了大约米来到处，在处观察塔顶其仰角约为，由此可以估算出雷峰塔的高度为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，建立数学模型，如图所示，‎ 其中，，，‎ - 14 -‎ 设塔高为，则，，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，即，‎ 化简得，即，‎ 解得，即雷峰塔的高度为．‎ 故选．‎ ‎12．如图，在中，，，是的中点，则（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵是边的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎13．已知向量，，，设是直线上任意一点（为坐标原点），则的最小值是（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵是直线上任意一点，‎ ‎∴设，，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的最小值为．‎ - 14 -‎ 故选．‎ ‎14．中，已知，，，为线段的中点，且，则的值为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即为直角三角形，‎ 以为原点，为轴，为轴建立如图直角坐标系，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ 又∵，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，，‎ 又是中点，‎ - 14 -‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在题目中的横线上）‎ ‎15．已知数列满足，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎16．已知数列的前项和为，则其通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵已知数列的前项和，‎ ‎∴当时，，‎ 当时，，‎ - 14 -‎ 经检验，时，不满足上述式子，‎ 故数列的通项公式．‎ ‎17．数列中，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵在数列中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴．‎ ‎18．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量与的夹角为，且，，‎ ‎∴，‎ 又，且，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，‎ 故．‎ ‎19．设两个向量，满足，，、的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量，满足，，，的夹角为，‎ - 14 -‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令即，解得，‎ 令，即，解得，‎ ‎∴当时，向量与共线，‎ ‎∴若向量与向量的夹角为锐角，则，且，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎20．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则__________；__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】∵，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ 三、解答题（本大题共5小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎21．（本题满分分）‎ - 14 -‎ 在游学活动中，在处参观的第组同学通知在处参观的第组同学：第组正离开处向的东南方向游玩，速度约为米/分钟．已知在的南偏西方向且相距米，第组同学立即出发沿直线行进并用分钟与第组同学汇合．‎ ‎（）设第组同学行进的方位角为，求．‎ ‎（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）‎ ‎（）求第组同学的行进速度为多少？‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（）假设第组同学与第组同学在处汇合，如图，建立数学模型，‎ 则，米，‎ ‎∴，是等腰三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎（）在中，由余弦定理可得：‎ ‎．‎ ‎∴，‎ 故第组同学的行进速度为米/分钟．‎ ‎22．（本题满分分）‎ 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．‎ ‎（）求与．‎ ‎（）证明：．‎ - 14 -‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）设等差数列的公差为，则由，得：‎ ‎，解得（舍去）或，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，从而，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎23．（本题满分分）‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（）证明数列为等差数列，求出数列的通项公式．‎ ‎（）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）当时，得，‎ 当时，，‎ ‎，‎ - 14 -‎ 两式相减得，即，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎（）由（）知，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴不等式等价于，‎ 记，‎ 时，，‎ ‎∴当时，，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴的取值范围是：．‎ ‎24．（本题满分分）‎ 数列的前项和为，．‎ ‎（）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式．‎ ‎（）设，求数列的前项和．‎ ‎（）数列中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）数列的前项和为，，，‎ ‎∴，‎ 两式相减得：，即，‎ - 14 -‎ ‎∴，即，‎ 又当时，，得，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）由题意，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎．‎ ‎（）假设存在，，，且，使得，，成等比数列，则，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵是奇数，，也是奇数，‎ ‎∴是奇数，‎ 又是偶数，‎ 故不成立，‎ 故数列中不存在三项，可以构成等比数列．‎ ‎25．（本题满分分）‎ 设数列的前项和为，若对于任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．‎ - 14 -‎ ‎（）若数列的前项和为，证明：是“数列”．‎ ‎（）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（）证明：当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴对任意的，是数列中的第项，‎ ‎∴数列是“数列”．‎ ‎（）依题意，，，‎ 若是“数列”，则对任意的，都存在使得，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴对任意的，且，‎ ‎∴．‎ - 14 -‎