甘肃省天水市一中2018-2019学年高二上学期第一学段考试数学试题

甘肃省天水市一中2018-2019学年高二上学期第一学段考试数学试题

天水一中高二级2018—2019学年度第一学期第一学段考试 数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分）‎ ‎1.若，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质结合特殊值法对A、B二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C、D进行判断.‎ ‎【详解】A：根据不等式的性质可知当，时，能得到.例如当，，显然，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；‎ B：当时，显然不成立，故本选项说法不正确；‎ C：，故本选项说法不正确；‎ D：‎ ‎，故本选项说法是正确的.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了不等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎2.在△中，，，，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给条件两边一角，由余弦定理可得，代入计算即可得到所求的值.‎ ‎【详解】因为，由余弦定理可得，‎ 即，整理得，‎ 解得或（舍去），故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.‎ ‎3.若，满足 ，则的最大值为（ ）‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面直角坐标系内，画出可行解域，平移直线，当直线在可行解域内经过一点时在纵轴上的截距最大，求出该点的坐标，代入目标函数中即可.‎ ‎【详解】不等式组表示的可行解域如下图所示：‎ 平移直线，当直线在可行解域内经过点时在纵轴上的截距最大，点的坐标是方程组的解，解得的坐标为，因此的最大值为：‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了求线性目标函数的最大值问题，考查了数形结合思想和数学运算能力.‎ ‎4.数列满足：，则等于 A. 98 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知数列为首项为3、公差等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 数列的通项公式 ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列判断和通项公式，根据条件判断数列为等差数列是解题关键，属于基础题.‎ ‎5.在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（ ）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理化为角的关系，再根据诱导公式以及两角和与差关系化简得角的关系，进而确定三角形的形状.‎ ‎【详解】因为所以,即三角形一定是等腰三角形，选C.‎ ‎【点睛】判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎6.等比数列中，，则等于( )‎ A. 16 B. ±‎4 ‎C. -4 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用等比中项求解．‎ 详解：，因为为正，解得．‎ 点睛：等比数列的性质：若，则．‎ ‎7.在递增等比数列中，，则（　 　）‎ A. B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由递增等比数列的性质有 ，又 ‎ ‎ ，故选B.‎ ‎8.在数列中，，则的值为 A. -2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，得.‎ 所以.‎ 即数列以3为周期的周期数列.‎ 所以.‎ 故选B.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．‎ ‎9.若两个正实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立条件．‎ ‎【详解】∵两个正实数x，y满足=1，‎ ‎∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，‎ 故x+2y的最小值是8．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“‎1”‎的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．‎ ‎10.已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理化简后可得 ‎，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为为锐角三角形，所以，‎ ‎，‎ ‎ ，故,选B.‎ ‎【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎11.在中，已知，则角= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据三角形的正弦定理，则可知的三个角所对应的三个边的比，根据三角形的余弦定理，则有，故．‎ 考点：1．正弦定理；2．余弦定理．‎ ‎12.在等差数列中，若，则的值等于________.‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的下标的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】是等差数列，‎ ‎，‎ 解得：，所以.‎ 故答案为：180‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的下标的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.‎ ‎13.在中，已知，，的外接圆半径为1，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用正弦定理，结合三角形面积公式、特殊角的三角函数值进行求解即可 ‎【详解】因为的外接圆半径为1，所以由正弦定理可知；，解得 ‎，，因为，所以，因此，即，所以三角形的面积为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了三角形面积的求法，考查了数学运算能力.‎ ‎14.已知、是半径为2的圆的两条互相垂直的弦，垂足为，若，则四边形的面积的最大值为______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用圆的垂径定理，结合矩形的性质、勾股定理、基本不等式进行求解即可.‎ ‎【详解】过圆心做，垂足分别为，因为，所以四边形是矩形，因此有，设圆的半径为，即 ‎，由垂径定理可知：‎ 即，‎ 因此四边形的面积为， ‎ 而（当且仅当时，取等号），因此四边形的面积的最大值为6.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了圆的垂径定理的应用，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）若，，求，．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．‎ ‎（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）在中，‎ 由正弦定理，得． ‎ 又因为在中．‎ 所以． ‎ 法一：因为，所以，因而．‎ 所以，‎ 所以． ‎ 法二：即， ‎ 所以，因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 而，‎ 所以　，①‎ 由余弦定理，得，‎ 即， ② ‎ 把①代入②得.‎ ‎【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎16.在中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小.‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将余弦定理与已知等式相结合求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小；（2）将代入可得，利用基本不等式即可得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.‎ ‎17.已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析: （1）根据数列的递推关系式以及等比数列的定义,得出是一个等比数列,根据基本量运算求解即可;(2)先求出等差数列的通项公式,代入 ‎,根据错位相减法求出数列的前n项和.‎ 试题解析:‎ ‎（1）∵，∴，∴，‎ ‎∴是首项为，公比为3等比数列，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）由（1）知，，∴，则，‎ ‎∴，‎ 令，①‎ ‎，②‎ ‎①②得 ‎∴.∴.‎ 点睛: 用错位相减法求和应注意的问题 :(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. ‎ ‎18.已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，若数列的前项和，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；‎ ‎（2）利用放缩法、裂项相消法进行证明即可.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以有 或（舍去），所以；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题考查了求等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了用放缩法和裂项相消法证明数列不等式，考查了数学运算能力.‎