数学（理）卷·2018届河北省定州二中高二上学期第三次月考（2016-12）

数学（理）卷·2018届河北省定州二中高二上学期第三次月考（2016-12）

定州二中高二第三次月考理科数学试卷 考试时间90分钟 分值120分 ‎ Ⅰ卷（共5小题，共20分）‎ ‎1.（本小题4分）双曲线上一点P到它的一个焦点距离等于1，那么点P到另一个焦点的的距离等于（ ）‎ A.7 B.9 C.15 D.17‎ ‎2.（本小题4分）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．（本小题4分）曲线与的（ ）‎ A.长轴长相等 B.短轴长相等 ‎ C.离心率相等 D.焦距相等 ‎4．（本小题4分）与圆及圆都外切的圆的圆心在( )‎ A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 ‎ C.一条抛物线上 D.一个圆上 ‎5.（本小题4分） 在棱长为1正方体中，点E，F，G分别为的中点，则所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ Ⅱ卷（共8小题，共40分）‎ ‎6．（本小题4分）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎7．（本小题4分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎8．（本小题4分）抛物线y＝－x2的准线方程是(　　)‎ A．x＝ B．y＝2 C．y＝ D．y＝－2‎ ‎9．（本小题4分）抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)‎ A. B. C. D．3‎ ‎10．（本小题4分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ ‎ ‎ A．EF至多与A1D、AC之一垂直 ‎ B．EF与A1D、AC都垂直 C．EF与BD1相交 ‎ D．EF与BD1异面 ‎11．（本小题8分）已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．‎ ‎12．（本小题12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.‎ ‎(1)证明：AC⊥BC1；‎ ‎(2)求二面角C1ABC的余弦值大小．‎ Ⅲ卷（共8题，共60分）‎ ‎13．（本小题5分）经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为 .‎ ‎14．（本小题5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为 .‎ ‎15．（本小题5分）若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.‎ ‎16．（本小题5分）已知A(1,2,0)、B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当·取最小值时，点P的坐标为________.‎ ‎17．（本小题5分）已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是________.‎ ‎18．（本小题11分）已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．‎ ‎(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．‎ ‎19．（本小题12分）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．‎ ‎(1)求证：AB⊥CD；‎ ‎(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．‎ ‎20.（本小题12分）已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点.‎ ‎(1)求证：OA⊥OB；‎ ‎(2)是否存k使△OAB的面积等于，若存在求k的值，若不存在说明理由高二数学理科参考答案 ‎ 1-5 DADBD 6-10 CDBAB ‎11．解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．‎ ‎∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．‎ 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①‎ ‎∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．‎ ‎∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．‎ ‎12.解：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，‎ 则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．‎ ‎(1)证明：＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，‎ 所以·＝0.故AC⊥BC1.‎ ‎(2)解：平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ ‎＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，‎ 由得 令x＝4，则y＝3，z＝3，n＝(4，3，3)，‎ 故cos〈m，n〉＝＝.‎ 即二面角C1ABC的余弦值为.‎ ‎13． 2 14. 15.　2 16．　(，0,0) 17．　2‎ ‎18．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．‎ ‎∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，‎ 则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4．‎ ‎(2)∵sin B－sin A＝sin C，‎ ‎∴由正弦定理得 ‎|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，‎ 即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．‎ ‎∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2， a＝1，‎ ‎∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．‎ ‎19．解　(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.‎ ‎(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．‎ 由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.‎ 以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，‎ 则＝(1,1,0)，＝，＝(0,1，－1)．‎ 设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，‎ 则即 取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)．‎ 设直线AD与平面MBC所成角为θ，‎ 则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，‎ 即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.‎ ‎20．[解析]　(1)如图所示，由，消去x得，ky2＋y－k＝0.‎ 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－.‎ ‎∵A、B在抛物线y2＝－x上，‎ ‎∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2.‎ ‎∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.‎ ‎(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.‎ 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．‎ ‎∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ‎＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，‎ ‎∴S△OAB＝·1·‎