数学卷·2018届湖南省长沙市麓山国际实验学校高二上学期开学数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届湖南省长沙市麓山国际实验学校高二上学期开学数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高二（上）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎2．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0‎ C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0‎ ‎3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．2+ B．4+ C．2+2 D．5‎ ‎5．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（　　）‎ A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12‎ ‎6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎7．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎9．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2] D．[1，2]‎ ‎11．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）‎ A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎12．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）‎ A．13 B．15 C．19 D．21‎ ‎14．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=　　．‎ ‎16．若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于　　．‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　．‎ ‎18．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（每题14分，共70分）‎ ‎19．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x ‎（1）求f（x）最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．‎ ‎（1）求a4的值．‎ ‎（2）证明：{an﹣1﹣an}为等比数列；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式．‎ ‎21．在△ABC中，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．‎ ‎22．如图所示，已知直二面角α﹣AB﹣β，P∈α，Q∈β，PQ与平面α，β所成的角都为30°，PQ=4，PC⊥AB，C为垂足，QD⊥AB，D为垂足，求：‎ ‎（1）直线PQ与CD所成角的大小 ‎（2）四面体PCDQ的体积．‎ ‎23．已知函数f（x）=（）x，其反函数为y=g（x）．‎ ‎（1）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；‎ ‎（3）是否存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高二（上）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．‎ ‎【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，‎ N={x|lgx≤0}=（0，1]，‎ 得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0‎ C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；‎ 若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；‎ ‎{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；‎ 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，S=0‎ S=cos，i=2‎ 不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3‎ 不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4‎ 不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5‎ 不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6‎ 满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．2+ B．4+ C．2+2 D．5‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=‎ 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．‎ ‎【解答】解：根据三视图可判断直观图为：‎ OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，‎ EA=2，EC=EB=1，OA=1，‎ ‎∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，‎ 运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=‎ ‎∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．‎ S△BCO=2×=．‎ 故该三棱锥的表面积是2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（　　）‎ A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ ‎∴圆心坐标为（1，1），半径为1，‎ ‎∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，‎ ‎∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，‎ 即，解得：b=2或b=12．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；‎ 对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；‎ 对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；‎ 对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．‎ ‎【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，‎ 由余弦定理可得，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即有4=b2+12﹣4×b，‎ 解得b=2或4，‎ 由b＜c，可得b=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．‎ ‎【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，‎ 不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，‎ x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2] D．[1，2]‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点．‎ ‎【分析】由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在[0，]上两个交点，数形结合可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+） 与直线y=m在[0，]上两个交点．‎ 由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．‎ 令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，‎ 如图：‎ 要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）‎ A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 则A（2，0），B（1，1），‎ 若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，‎ 此时，目标函数为z=2x+y，‎ 即y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，‎ 若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，‎ 此时，目标函数为z=3x+y，‎ 即y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，‎ 故a=2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】表面展开图．‎ ‎【分析】圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的弧长就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．‎ ‎【解答】解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，‎ 则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎13．已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）‎ A．13 B．15 C．19 D．21‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，‎ 可得A（0，0），B（，0），C（0，t），‎ ‎∵，∴P（1，4），‎ ‎∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），‎ ‎∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），‎ 由基本不等式可得+4t≥2=4，‎ ‎∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，‎ 当且仅当=4t即t=时取等号，‎ ‎∴的最大值为13，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），‎ ‎∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），‎ 由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，‎ 设h（x）=f（x）+f（2﹣x），‎ 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，‎ 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，‎ 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，‎ 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，‎ 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，‎ 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．‎ 即h（x）=，‎ 作出函数h（x）的图象如图：‎ 当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，‎ 当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，‎ 故当b=时，h（x）=b，有两个交点，‎ 当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，‎ 由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，‎ 即h（x）=b恰有4个根，‎ 则满足＜b＜2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=　﹣　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】通过Sn+1﹣Sn=an+1可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：∵an+1=Sn+1Sn，‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，‎ ‎∴﹣=1，‎ 又∵a1=﹣1，即=﹣1，‎ ‎∴数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，‎ ‎∴=﹣n，‎ ‎∴Sn=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎16．若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】直线过点（1，1），+=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵直线过点（1，1），‎ ‎∴+=1．‎ 则a+b=（a+b）=2++≥2+=4，当且仅当a=b=2时取等号．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　（x﹣1）2+y2=2　．‎ ‎【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，‎ ‎∴m=1时，圆的半径最大为，‎ ‎∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2=2．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为　4　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．‎ g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点 g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；‎ 所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（每题14分，共70分）‎ ‎19．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x ‎（1）求f（x）最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．‎ ‎（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），‎ ‎∴它的最小正周期为=π．‎ ‎（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+×（﹣）=0，‎ 当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．‎ ‎　‎ ‎20．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．‎ ‎（1）求a4的值．‎ ‎（2）证明：{an﹣1﹣an}为等比数列；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【考点】等比关系的确定；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）通过4S4+5S2=8S3+S1，直接代入计算即可；‎ ‎（2）通过对4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1变形可知4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn，即4an+2+an=4an+1，整理得an+1﹣2an+2=（an﹣2an+1），进而计算可得结论；‎ ‎（3）通过（2）可知an+1﹣an=，两边同时乘以2n+1可知2n+1an+1=2nan+4，进而数列{2nan}是以2为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵a1=1，a2=，a3=，‎ ‎∴S1=1，S2=，S3=，‎ 又∵4S4+5S2=8S3+S1，‎ ‎∴S4=（8S3+S1﹣5S2）=（8•+1﹣5•）=，‎ ‎∴a4=S4﹣S3=﹣=；‎ ‎（2）证明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1，‎ ‎∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn，‎ ‎∴4an+2+an=4an+1，‎ 整理得：an﹣2an+1=2an+1﹣4an+2，‎ ‎∴an+1﹣2an+2=（an﹣2an+1），‎ 即an+2﹣an+1=（an+1﹣an），‎ 又∵=﹣=1，‎ ‎∴数列{an+1﹣an}是以1为首项、为公比的等比数列；‎ ‎（3）解：由（2）可知an+1﹣an=，‎ ‎∴an+1=an+，‎ ‎∴2n+1an+1=2nan+4，‎ 又∵2a1=2，‎ ‎∴数列{2nan}是以2为首项、4为公差的等差数列，‎ ‎∴2nan=2+4（n﹣1）=4n﹣2，‎ ‎∴an==．‎ ‎　‎ ‎21．在△ABC中，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．‎ ‎【考点】向量的模；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】（1）．变形出的表达式，求值即可．‎ ‎（2）由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可．‎ ‎【解答】解：（1）．得，﹣2•=4，‎ 故=2•+4，又•═2‎ 所以=8‎ ‎（2）由面积公式S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC 又•=|AB||AC|cos∠BAC=2‎ ‎∴cos∠BAC=‎ ‎∴sin∠BAC═=‎ ‎∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤‎ 等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，‎ 又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．‎ cos∠BAC=，即∠BAC=60°‎ 答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．‎ ‎　‎ ‎22．如图所示，已知直二面角α﹣AB﹣β，P∈α，Q∈β，PQ与平面α，β所成的角都为30°，PQ=4，PC⊥AB，C为垂足，QD⊥AB，D为垂足，求：‎ ‎（1）直线PQ与CD所成角的大小 ‎（2）四面体PCDQ的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）直接根据PC⊥β以及常用的结论：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ即可求出结果；‎ ‎（2）求出几何体的高与底面面积，即可求解几何体的体积．‎ ‎【解答】解：（1）直二面角α﹣AB﹣β，P∈α，Q∈β，PQ与平面α，β所成的角都为30°，PQ=4，PC⊥AB，C为垂足，QD⊥AB，D为垂足，设直线AB与CD所成的角为θ，则由PC⊥AB，cos∠DCQ===，‎ 可知PC⊥β知：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ=cos30°•=，‎ 故θ=45°；‎ ‎（2）由题意可知三棱锥的高为PC=2，底面CQD的面积为： CD•DQ==2，‎ 三棱锥的体积为： =．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=（）x，其反函数为y=g（x）．‎ ‎（1）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；‎ ‎（3）是否存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）函数f（x）=（）x，则其反函数为y=g（x）=．可得g（mx2+2x+1）=﹣，当m≤0时，舍去．当m＞0时，g（mx2+2x+1）的定义域为R，可得，解得m即可得出．‎ ‎（2）函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3=﹣2a+3，x∈[﹣1，1]时，令=t∈，y=（t﹣a）2+3﹣a2=u（t），对称轴t=a．对a与，3的大小分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎（3）存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）=﹣6x+12的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，可得，解出即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=（）x，则其反函数为y=g（x）==﹣log3x．‎ ‎∴g（mx2+2x+1）=﹣，‎ 当m≤0时，g（mx2+2x+1）的定义域不为R，舍去．‎ 当m＞0时，g（mx2+2x+1）的定义域为R，则，解得m＞1．‎ ‎∴实数m的取值范围是（1，+∞）．‎ ‎（2）函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3=﹣2a+3，‎ ‎∵x∈[﹣1，1]时，令=t∈，‎ ‎∴y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2=u（t），对称轴t=a．‎ 当a时，u（t）在t∈上单调递增，∴t=时，u（t）取得最小值u（）=．‎ 当a≥3时，u（t）在t∈上单调递减，∴t=3时，u（t）取得最小值u（3）=12﹣6a．‎ 当＜a＜3时，u（t）在t∈上单调递减，在t∈[a，3]上单调递增，∴t=a时，u（t）取得最小值u（a）=3﹣a2．‎ 综上可得：最小值h（a）=．‎ ‎（3）存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）=﹣6x+12的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，‎ 则，可得：m2﹣6m+24=0，由于△=36﹣96＜0，因此上述方程无解．‎ 于是假设不成立，‎ 因此不存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）=﹣6x+12的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]．‎ ‎　‎ ‎2017年1月1日