四川省成都外国语学校2013届高三12月月考数学（理）试题

四川省成都外国语学校2013届高三12月月考数学（理）试题

成都外国语学校高2013级高三12月月考 理 科 数 学 试 题 命题人：张玉忠 审题人：方兰英 试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置， ‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；‎ ‎ 3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；‎ ‎ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；‎ ‎ 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。‎ 第Ｉ卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知向量，，且//，则等于 A． B．2 C． D．‎ ‎3．“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.命题P：若x,y∈R.则｜x｜+ ｜y｜＞1是｜x+y｜ >1的充分而不必要条件；‎ ‎ 命题q ：函数y=的定义域是（一∞，一1］U［3，＋∞），则 A. “pVq”为假 　　B.“pq”为真 C.“”为真 　D.“”为真 ‎5．已知函数，则 A．函数的周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 ‎6．已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若∥，则； ②若，则∥； ③若，则∥；‎ ‎④若∥，则． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎7．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ x y ‎2‎ ‎3‎ ‎－1‎ O ‎4‎ ‎8.已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。‎ 当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为（ ）‎ A.2　　 B.3　　　 C.4　　 D.5‎ ‎9．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎10．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则( )‎ A、有最大值而无最小值 B、有最小值而无最大值 C、无最大值也无最小值 D、是与平面无关的常数 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题纸的相应位置上。）‎ ‎11．输入x=2，运行右图的程序输出的结果为 。‎ ‎12．若展开式的常数项为60，则常数的值为 ．‎ ‎13.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围_______‎ ‎14.若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_ ‎ ‎15．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：‎ ‎ ①第二列中的必成等比数列； ②第一列中的不一定成等比数列；‎ ‎ ③； ④若9个数之和大于81，则 >9．‎ ‎ 其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分。）‎ ‎16．（本题满分12分） 已知向量，‎ 设函数＋（1）若，f(x)=,求的值； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求f(B)的取值范围．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：‎ 根据上表：‎ ‎（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；‎ ‎ （2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如右图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1，‎ ‎ PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA ^平面ABCD； （Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？‎ 若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．‎ ‎19 （本小题满分12分）函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如果函数在区间上存在零点，求的取值范围. ‎ ‎20．（本小题满分13分）已知数列满足，（）。‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的前n项和；‎ ‎ （Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。‎ ‎21．(本小题满分14分)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）记函数的图像为曲线.设点是曲线上不同两点.‎ ‎ 如果在曲线上存在点使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.‎ 试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.‎ 题及答案 一．选择题（每小题5分，共50分）‎ ‎1．设集合，，则B A． B． C． D． ‎ ‎2．已知向量，，且//，则等于A A． B．2 C． D．‎ ‎3．“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的B A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.命题P：若x,y∈R.则Ixl + lyl＞1是Ix+yl >1的充分而不必要条件；‎ ‎ 命题q ：函数y=的定义域是（一∞，一1］U［3，＋∞），则D A. "pVq"为假 　　B. "pq"为真 ‎ C. “”为真 　D.“”为真 ‎5．已知函数，则C A．函数的周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称 ‎6．已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若∥，则；②若，则∥；‎ ‎ ③若，则∥；④若∥，则．‎ ‎ 其中真命题的个数为B A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎7．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（ B ）‎ A． B． C． D．‎ x ‎－1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ x y ‎2‎ ‎3‎ ‎－1‎ O ‎4‎ ‎8.已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。‎ 当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为（ C）‎ A.2　　 B.3　　　 C.4　　 D.5‎ ‎9．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为B A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎10．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则(D )‎ A、有最大值而无最小值 B、有最小值而无最大值 C、无最大值也无最小值 D、是与平面无关的常数 ‎11．输入x=2，运行下面的程序输出的结果为 1 。‎ 12． 若展开式的常数项为60，则常数的值为 4 ‎ ‎13.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围是____[-1,1]_____‎ ‎14.若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_ ‎ ‎15．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：‎ ‎ ①第二列中的必成等比数列； ‎ ‎②第一列中的不一定成等比数列；‎ ‎ ③； ‎ ‎④若9个数之和大于81，则 >9．‎ ‎ 其中正确的序号有 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）．‎ 三．简答题 ‎16．（本题满分12分）‎ ‎ 已知向量，设函数＋‎ ‎（1）若，f(x)=,求的值；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求f(B)的取值范围．‎ ‎18、解：（1）依题意得，………………………………2分 由得：，，‎ 从而可得，………………………………4分 则……6分 ‎（2）由得：，从而，……………………10分 故f(B)=sin()　………………………………12分 ‎17、解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，‎ 则………………………………………………………4分 ‎（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5‎ ‎……………………………………………………………9分 所以随机变量的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 故………………………12分 ‎18、解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 , ‎ ‎ PA2 + AD2 = PD2, 即：PA ^ AD ---2分 ‎ 又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D, ‎ ‎ PA ^ 平面ABCD -------4分 ‎（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，‎ 从而EG ^ 平面ABCD，‎ 且AG = 2GD , EG = PA = , ------5分 连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，‎ 连接EH．GH ^ AC , EH ^ AC , ‎ Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角． -----6分 tanÐEHG = = ．二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------8分 ‎（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, = （1,1,0）, ‎ ‎ = （0 , , ） ---9分 设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则 ‎ ，即：， 令y = 1 , ‎ 则 = （- 1,1, - 2 ） -------------10分 假设侧棱PC上存在一点F, 且＝ ， ‎ ‎（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则× ＝ 0．‎ 又因为：＝ + ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,‎ × ＝+ 1- - 2 = 0 , = ,‎ 所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC． ----------------12分 ‎19 （本小题满分12分）函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如果函数在区间上存在零点，求的取值范围. ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当时，则 ‎．‎ 因为，所以时，． …………………………3分[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎（Ⅱ）当时， ,显然在上有零点, 所以时成立.……4分 ‎ 当时，令, ‎ 解得． ………………………………………5分 ‎（1） 当时, ‎ 由，得；‎ ‎ 当 时,．‎ 由，得，‎ 所以当 时, 均恰有一个零点在上.………………7分 ‎（2）当，即时，‎ 在上必有零点. ………………………………………9分 ‎（3）若在上有两个零点, 则 或 …………………13分 解得或．‎ 综上所述，函数在区间上存在极值点，实数的取值范围是 或. ………………………………………14分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知数列满足，（）。‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，求的前n项和；‎ ‎ （Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。‎ ‎20、解：（Ⅰ）∵，∴，‎ ‎ 又∵，∴数列是首项为3，公比为-2的等比数列，‎ ‎=，即。………………………………4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎ ==。………8分 ‎（Ⅲ）∵=，∴，‎ ‎ 当n≥3时，=‎ ‎ =‎ ‎ =,……………12分 ‎ 又∵，∴对。……………………………13分 函数在和上单调递增 。。。。。。。。。。。6分 综上所述:⑴当时,函数在上单调递增 ‎⑵当时,函数在和上单调递增 ‎⑶当时,函数在上单调递增；‎ ‎⑷当时,函数在和上单调递增 ………….7分[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎ ‎ ‎ 依题意得：.‎ 化简可得： ， 即=. ….11分 ‎ ‎ 设 ()，上式化为：,. ‎ 令,.因为,显然，所以在