河南省驻马店市正阳县高级中学2019-2020学年高二上学期第三次素质检测数学（文）试题

河南省驻马店市正阳县高级中学2019-2020学年高二上学期第三次素质检测数学（文）试题

数学试题（文科）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知实数0＜a＜1，则下列正确的是（ ）‎ A. aa2 B. aa2 C. a2a D. a2a ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用作差法两两作比较 ‎【详解】先比较与的大小，可用，，，‎ ‎，；同理，，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小，属于基础题 ‎2.命题“对，都有”的否定为（ ）‎ A 对，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ ‎【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对，都有”的否定为：，使得． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎3.数列的前项和为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 裂项得到，计算前项和，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 前项和为：‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了数列的前项和，变换是解题的关键.‎ ‎4.在平面直角坐标系中，已知动点到两定点的距离之和是10，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得椭圆方程.‎ ‎【详解】由于动点到两定点的距离之和为，故点的轨迹为椭圆，所以，所以，所以点的轨迹方程为 ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程，属于基础题.‎ ‎5.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导,在导函数里取,解得,代入函数,再计算 ‎【详解】‎ 答案为B ‎【点睛】本题考查了导数的计算,属于简单题.‎ ‎6.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对双曲线的焦点位置进行分类讨论，得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】若方程表示焦点在轴上双曲线，则，解得；‎ 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程，解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.‎ ‎7.钝角三角形的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ）‎ A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据题设条件将三边设为，利用钝角三角形得到满足的不等式，从而得到的值.‎ 详解：设三边边长分别为，则所对的角为钝角，‎ 故，整理得到，‎ 所以，故三边为，选B.‎ 点睛：一般地， 中，对应的边为，则（1）为锐角（钝角）的等价条件是（）.‎ ‎8.抛物线的焦点坐标是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.‎ ‎【详解】因为可化为，‎ 所以，且焦点在轴负半轴，‎ 因此焦点坐标为 故选C ‎【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.‎ ‎9.设实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值是（　　　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作平面区域，化z=3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值．‎ ‎【详解】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下，‎ ‎，‎ 化z=3x+y为y=3x+z，‎ 从而可得当过点（3，1）时，有最小值，‎ 故z=3x+y的最小值为3×3+1=-8．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用．‎ ‎10.若角终边上的点在抛物线的准线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的准线方程，然后可以求出点的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角，利用诱导公式、特殊角的三角函数值求出的值.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为：，因为点在抛物线的准线上，所以，所以点在第二象限内，，‎ 所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数定义、诱导公式、特殊角的三角函数值，求出抛物线的准线方程是解题的关键.‎ ‎11.设正实数x，y满足，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用基本不等式，结合1的代换，即可得到所求最小值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，正实数x，y满足x+2y=1，‎ 则=+=2++≥2+2=6，当且仅当=，即x=，y=时取等号，‎ 故的最小值为6，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12.设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设，则依题有，当该圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率；当该圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率为；综上可知，选A.‎ 考点：1.椭圆的定义；2.双曲线的定义.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在△中，，则角等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求得，即可得．‎ ‎【详解】∵，∴，∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，掌握余弦定理的多种形式是解题基础．‎ ‎14.已知.若数列是递增数列，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列是递增数列，则 是单调递增的一次函数型的数列，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】，‎ ‎，解得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键．‎ ‎15.已知曲线，则其在点处的切线方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，那么切线的斜率，由点斜式可得切线方程为.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.点斜式求直线方程.‎ ‎16.下列命题中：‎ ‎①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；‎ ‎②当a＞0，b＞0时，；‎ ‎③函数的最小值为2；‎ ‎④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．‎ 其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎①，设，，进而利用三角函数求解；‎ ‎②③④均可利用基本不等式求解；‎ ‎【详解】解：①，设，，则 ‎，所以①正确；‎ ‎②当a＞0，b＞0时，+2≥+2≥2=4，当且仅当a=b=1时等号成立，所以②正确；‎ ‎③函数==+≥2=2，当且仅当，即时等号成立，故③不正确；‎ ‎④当且仅当同号时，，， 恒成立，所以可以同时为负，故④不正确；‎ 故答案为①②‎ ‎【点睛】考查基本不等式的“一正，二定，三相等”，及三角函数在求最值时的应用，属于中档题；‎ 三、解答题 ‎17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bsinA=cosB.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=2,△ABC的面积为，求a，c.‎ ‎【答案】（1）；（2）a＝c＝2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，利用正弦定理，将bsinAacosB转化为sinBsinAsinAcosB，即可求得角B的大小；‎ ‎（2）由（1）知B，由S△ABCacsinB，可求得ac＝4，再利用余弦定理可求得a+c＝4，从而可求得a，c．‎ ‎【详解】（1）△ABC中，bsinAacosB，‎ 由正弦定理得sinBsinAsinAcosB，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴sinA＞0，‎ ‎∴sinBcosB，‎ ‎∴tanB，‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴B．‎ ‎（2）∵S△ABCacsinBac，‎ ‎∴ac＝4，‎ 而b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac，‎ ‎∴（a+c）2＝16，‎ ‎∵a+c＞0，‎ ‎∴a+c＝4，‎ 解得a＝c＝2，‎ ‎∴a＝c＝2．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，求得B是关键，考查方程思想与运算能力，属于中档题．‎ ‎18.命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎(1) 若命题为真，求的取值范围；‎ ‎(2) 若命题为真，求取值范围．‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原题转化为方程有实数解，；（2）为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）∵有实数解，∴ ‎ ‎（2）∵椭椭圆焦点在轴上,所以，∴‎ ‎∵为真，，.‎ ‎【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎19.解关于x的不等式：.‎ ‎【答案】见试题解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，将不等式变形为，分五种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．‎ ‎【详解】将不等式变形为.‎ 当a <0时，有a < a2，所以不等式的解集为；‎ 当a =0时，a = a2=0，所以不等式的解集为；‎ 当0< a <1时，有a > a2，所以不等式的解集为； ‎ 当a =1时，a = a2=1，所以不等式的解集为； ‎ 当a >1时，有a < a2，所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.‎ ‎20.设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入切线方程得出，求出函数的导数，由列出有关、的方程组，解出、，可得出函数的解析式；‎ ‎（2）设点为函数图象上任意一点的坐标，利用导数求出函数在该点处的切线方程，求出切线与轴和直线的交点坐标，再利用三角形的面积来证明结论.‎ ‎【详解】（1）将点的坐标代入直线的方程得，‎ ‎，则，直线的斜率为，‎ 于是，解得，故；‎ ‎（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，‎ ‎，又，‎ 所以，曲线在点的切线方程为，‎ 即，‎ 令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，‎ 联立，解得，‎ 从而切线与直线的交点坐标为.‎ 所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为 故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查三角形的面积的计算，解题时要将切线方程求出来，并求出交点坐标，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.单调递增数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）aｎ＝2n；（2）4-（n+2）()n-1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）考察的公式得到，，整理得到，为等差数列，求通项；（2），利用错位相减法的基本方法，，从而解出．‎ 试题解析： ‎ ‎(1)，，‎ 当时，；‎ 当时，，即，又单调递增，‎ ‎ ，又也满足，‎ ‎（2），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得：‎ ‎，‎ 点睛：本题考察数列的基本方法，为基础题型．（1）需要掌握公式的应用，同时学会式子的化简；（2）需要学生对错位相减法非常熟悉，属于错位相减法的基本解题套路．‎ ‎22.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点.‎ ‎（1）求实数的值及抛物线的准线方程；‎ ‎（2）过点任作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、和、点，求两条弦的弦长之和的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆方程C:求出右焦点,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点坐标与的关系式即可求出,最后得抛物线的准线方程.‎ ‎（2）根据题意设、 的直线方程,将直线代入抛物线中,消得,根据韦达韦达定理求得,同理求得,将+用基本不等式不等式即可求出最小值.‎ ‎【详解】（1）由已知椭圆C整理得,‎ 所以焦点F的坐标为, 所以 ‎ 所以抛物线E的准线方程为：‎ ‎（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线的斜率为,方程为,‎ 则的斜率为,方程为 设、,由得 因为,所以,,‎ 所以同理得,‎ 所以 当且仅当即时取“等号”,所以两条弦的弦长之和的最小值为 ‎【点睛】本题考查抛物线及其标准方程的求法和抛物线的几何性质中的定点定值问题,根据垂直问题设斜率可以减少变量,从而方便求极值.‎ ‎ ‎