2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二6月阶段性测试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二6月阶段性测试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二6月阶段性测试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎2．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数解析式求得，分别将和代入函数解析式和导函数解析式，进而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值和导数值的求解问题，属于基础题.‎ ‎3．设下列关系式成立的是( ) ‎ A B C D ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意，由于,结合三角函数的定义和三角函数知道大小关系可知，1表示的大于45度的角，那么正弦值大于余弦值，因此可知，选A.‎ ‎【考点】三角函数 点评：解决该试题的关键是根据微积分基本定理得到原函数，求解定积分的值，属于基础题。‎ ‎4．已知点P是曲线上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是（）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ,故选D.‎ ‎【考点】导数的几何意义、基本不等式.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题也着重了导数的运算.‎ ‎5．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∵是函数是极大值点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴当时，，当时，‎ ‎∴当时取极小值为 故选A.‎ 点睛：本题主要考查函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.‎ ‎6．已知f（x）＝ln（＋1），g（x）＝－m，若∈[0，3]，∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2），则实数m的取值范围是 ‎ A．[，＋∞） B．（－∞，] C．[，＋∞） D．（－∞，－]‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时， 。当时，。依题意可得，解得，故选A ‎7．直线与相切,实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用切线斜率等于导数值可求得切点横坐标，代入可求得切点坐标，将切点坐标代入可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 与相切 切点横坐标为：‎ 切点纵坐标为：，即切点坐标为：‎ ‎，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用切线斜率求得切点坐标.‎ ‎8．已知函数,,在上的最大值为,当 时, 恒成立,则的取值范围是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用导数研究在上的单调性，从而可求得，即，将问题转化为在上恒成立；求得后，研究的符号即可确定的符号，从而得到单调性；分别在和两种情况下进行讨论，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递增，在上单调递减 ‎，即：‎ 则时，恒成立 又 令，则 ‎①当，即时，在上恒成立，即 在上单调递增 ，解得：‎ ‎②当，即时 令，解得：，‎ ‎⑴若，即时，在上恒成立 在上单调递增 ，解得：‎ 即：‎ ‎⑵若，即时 当时，；当时，‎ 则在上单调递减；在上单调递增 ‎ ，不合题意 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的最值、恒成立问题的求解.关键是能够明确导函数的符号由二次函数决定，通过对二次函数图象的讨论，来确定原函数的单调性，讨论主要从判别式、根与区间端点的大小关系的角度来进行.‎ ‎9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D ‎10．已知函数的定义域为,为函数的导函数,当时, ‎ 且，，则下列说法一定正确的是(    )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用二倍角余弦公式可求得；构造，根据奇偶性定义可求得为奇函数；通过，结合奇偶性可求得在上单调递增，从而可得，代入可整理出结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 令 为上的奇函数 又，则当时，‎ 在上单调递增 根据为奇函数，可知在上单调递增 ‎，即：‎ 即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的单调性确定大小关系的问题，关键是能够准确构造函数，并通过奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，进而根据导函数的正负，结合函数的奇偶性可确定函数的单调性.‎ ‎11．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为3，则的取值范围是(   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将问题变为，即有个整数解的问题；利用导数研究的单调性，从而可得图象；利用恒过点画出图象，找到有个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：，即：‎ 令，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 ‎，且，‎ 由此可得图象如下图所示：‎ 由可知恒过定点 不等式的解集中整数个数为个，则由图象可知：‎ ‎，即，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系.‎ ‎12．已知函数，其中，为自然对数底数，若，是的导函数，函数在内有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用可将导函数整理为，则，此时讨论的符号.当和时，可求出在上单调，不合题意；当可知在上单调递减；在上单调递增，从而可得不等式组，从而可求得范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知： ‎ 又，即 则 ‎①当时，，即，此时在上单调递增 在内不可能有两个零点，不合题意 ‎②当时，，即，此时在上单调递减 在内不可能有两个零点，不合题意 ‎③当时，令，则 当时，；当时，‎ 则在上单调递减；在上单调递增 若在内有两个零点 则，，‎ 令，则 当时，；当时，‎ 则在上单调递增；在上单调递减 ‎，即 对恒成立 由得：；由得：‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数在某一段区间内的零点个数求解参数范围的问题，关键是能够根据参数的取值范围去讨论导函数的符号，从而确定所求函数的单调性；分类讨论时，通常以函数单调和不单调来进行情况的区分.‎ 二、填空题 ‎13．分别在曲线与直线上各取一点与,则的最小值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过导数的几何意义可求解出与平行的 的切线的切点坐标，可将所求最小值转化为切点到直线的距离，利用点到直线距离公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设曲线在处的切线斜率为 则：，解得： 切点坐标为：‎ 的最小值即为切点到直线的距离 ‎，即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线上的点到直线上的点的距离的最小值问题，关键是能够将问题转化为与直线平行的切线的切点到直线的距离的求解问题，考查了导数几何意义的应用.‎ ‎14．曲线与直线和所围成的平面图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】交点坐标为 转化为对y的积分，‎ 所求面积为： ‎ ‎15．函数在区间上存在极值点,则实数的取值范围为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用导数求得的单调性；首先求解出在上无极值点的情况下的范围，即在上单调时的范围，取补集可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：‎ 当和时，；当时，‎ 则在，上单调递增；在上单调递减 若在上无极值点，则或或 时，在上无极值点 当时，在上存在极值点 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数在某一区间内极值点的个数求解参数取值范围的问题.处理此类问题时，可根据二次函数的图象来进行讨论，也可以利用函数在区间内是否单调来确定参数的取值范围.‎ ‎16．已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当时， ，故当时， ，当时， ，所以函数在上递增在上递减，当时有最大值 ，同理可知，当时，函数为减函数， 作出 大致图象如下图： ‎ 因为恰好有4个不相等的实数解，则关于的一元二次方程必有一大于的根和一大于0小于的根，设， ；则原问题等价于有两根，且 ， 故需满足，解得，故填. ‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程； ‎ ‎(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为：；的直角坐标方程为直线；（2）的最小值为 .‎ ‎【解析】（1）由公式消元后可化参数方程为普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（2）设, 用点到直线距离公式计算出距离后再由三角函数的性质求得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，‎ ‎， ‎ 即的普通方程为：. ‎ 曲线的极坐标方程为可化为：‎ ‎. ‎ 由,可得的直角坐标方程为直线.‎ ‎（2）设, ‎ 则点到直线的距离为 ‎ ‎ ‎ 当时,的最小值为 ‎ 此时可取,故．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直角坐标与极坐标互化、椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,考查数学运算核心素养等，体现基础性与综合性．‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式求最小值，再解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以或或，‎ 即或或，‎ 从而 ‎（2）因为，‎ 所以 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值不等式以及绝对值三角不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．设函数 ‎（1）判断函数的单调性;‎ ‎（2）若方程在区间上恰有两个不同的实根,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】（1）求导后，通过二阶导可知单调递增，又，可得的符号，进而确定的单调性；（2）将问题转化为，，且与恰有两个不同交点；通过导数来得到的图象，根据数形结合可知当时，恰有两个不同交点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：，则 在上单调递增，又 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 ‎（2）由得：‎ 即：在上恰有两个不同的实根 设，，则与恰有两个不同交点 则 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 又，，‎ 由此可得图象如下图所示：‎ 由图象得：当，即时，与恰有两个不同交点 即时，方程在区间上恰有两个不同的实根 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求解函数的单调性、根据方程在某一区间内根的个数求解参数范围的问题，解决方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.‎ ‎20．已知函数 ‎（1）求在处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意的恒有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）分别求得和，根据导数几何意义和直线点斜式可求得切线方程；（2）将问题转化为在上单调递增，即恒成立；通过分离变量的方式可知；利用导数求出的最小值从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：‎ 当时，，‎ 在处的切线方程为：，即：‎ 所求切线方程为：‎ ‎（2）由得：‎ 设 ‎ 恒成立等价于在上单调递增 即对恒成立 ‎ 令，则 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据导数几何意义求解参数方程、恒成立问题的求解.解决本题中恒成立问题的关键是能够构造出函数，将问题转化为新函数单调递增的问题，进而变为导函数符号恒定的问题，通过分离变量的方式可求得结果.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）当时，求证：； ‎ ‎（2）若时，恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）2.‎ ‎【解析】（1）构造函数，通过求导可知当，在上单调递增，可得，进而证得结论；（2）构造函数，将问题变为；求导后分别在和两种情况下讨论的单调性，从而得到最值，根据最值大于零的讨论可求得整数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令 当时， 在上单调递增 ‎，即在上恒成立 当时，‎ ‎（2）令 ‎①当时，，即在上单调递增 ‎，即在上恒成立 ‎②当时，令，解得：‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 设，则 当时， 在上单调递减 ‎，，‎ 则当时，，不满足题意 当时，，此时在上恒成立 整数最大值为 综上所述：整数最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题的求解.解题关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题，通过对函数最值的讨论可证明不等式或求解出参数的取值范围.‎ ‎22．已知 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，是否存在实数，使得成立，若存在求出，若不存在说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；（2）‎ ‎【解析】（1）分别在和两种情况下判断的正负，根据导函数与函数单调性的关系可得到单调性；（2）令，，只需即可；分成和两种情况来进行讨论；当时，可证得当时，，当时存在的情况；当时，可证得当时，，当时存在的情况，从而可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：‎ ‎①当时，，则在上单调递增 ‎②当时，令，解得：‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增 ‎（2）当时，‎ 则等价于：‎ 设，‎ 则 令 则，，‎ ‎①当时， 单调递增 即 ‎⑴当时，，此时 单调递减 ‎ 单调递增 ‎，即 在上单调递减 此时恒成立 ‎⑵当时，，‎ 若，则 单调递增 ‎ 单调递减 ‎ 即 在上单调递增 ‎ 此时，不满足题意 若，则 ，使得 当时，，此时单调递增 即当时，，单调递减 ‎ 即 在上单调递增 ‎ 此时，不满足题意 ‎②当时， 单调递增 ‎⑴当时， 单调递增 ‎ 单调递增 ‎，即 在上单调递增 ‎，此时恒成立 ‎⑵当时，，‎ ‎，使得 当时，，此时单调递减 即当时，，单调递减 ‎ 即 在上单调递减 ‎ 此时，不满足题意 当时，；当时，‎ 存在实数，使得成立，则：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在函数问题中的综合应用问题，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题，采用构造函数的方式，根据可将问题转化为函数单调性的确定问题，计算量和难度较大，对学生分析问题的能力要求较高，属于难题.‎