2020高中数学奇偶性的应用
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课时分层作业(十二) 奇偶性的应用
(建议用时：40 分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( )
【导学号：37102172】
A．y＝|x| B．y＝1－x
C．y＝1
x
D．y＝－x2＋4
A [选项 B 中，函数不具备奇偶性；选项 C 中，函数是奇函数；选项 A，D 中的函数是偶函数，
但函数 y＝－x2＋4 在区间(0,1)上单调递减．故选 A.]
2．已知 f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则 f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关
系是( )
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
C [∵函数 f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上
是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即 f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选 C.]
3．若函数 f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1 是偶函数，则函数 f(x)的单调递增区间为( )
【导学号：37102173】
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
A [因为函数为偶函数，所以 a＋2＝0，a＝－2，即该函数 f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，
0]上单调递增．]
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图 1312，下列说法正确的是( )
图 1312
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是 7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
C [根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这
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个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是 7；在其定义域内最小
值不是－7.故选 C.
]
5．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)
f(1)>f(2)＝f(－2)．]
三、解答题
9．(1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝2x，求 f(x)的解析式；
(2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝2x，求函数 f(x)，g(x)的解析式.
【导学号：37102176】
[解] (1)设 x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝2(－x)＝－2x，
又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，
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∴f(－x)＝－f(x)＝－2x，
∴当 x<0 时，f(x)＝2x.
又 f(－0)＝－f(0)，解得 f(0)＝0 也适合上式．
∴f(x)＝2x，x∈R.
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由 f(x)＋g(x)＝2x.①
用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x，
∴f(x)－g(x)＝－2x，②
(①＋②)÷2，得 f(x)＝0；
(①－②)÷2，得 g(x)＝2x.
10．已知 f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式 f(1－x)
＋f(1－2x)<0.
[解] ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由 f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)2x－1，
解得 00 时，f(x)有最大值1
4
.
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法二(直接法)：当 x>0 时，－x<0，
所以 f(－x)＝－x(1－x)．
又 f(－x)＝－f(x)，
所以 f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－
x－1
2 2
＋1
4
，
所以 f(x)有最大值1
4
.故选 B.]
2．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，则 f(7.5)
等于( )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
B [由 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)
＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]
3．如果函数 F(x)＝
2x－3，x>0，
f x ，x<0
是奇函数，则 f(x)＝________.
【导学号：37102178】
2x＋3 [当 x<0 时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，
又 F(x)为奇函数，故 F(－x)＝－F(x)，
∴F(x)＝2x＋3，即 f(x)＝2x＋3.]
4．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则f x
x
<0
的解集为________．
{x|－33} [∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f(3)＝f(－3)＝0.当 x>0 时，f(x)<0，解得 x>3；
当 x<0 时，f(x)>0，解得－30，求实数 m 的取值范围.
【导学号：37102179】
[解] (1)因为函数 f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，
所以 f(0)＝0，解得 b＝0.
(2)因为函数 f(x)在[0,2]上是增函数，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)在[－2,2]上是单调递增
的，
因为 f(m)＋f(m－1)>0，
所以 f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，
所以 m－1>－m，①
又需要不等式 f(m)＋f(m－1)>0
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在函数 f(x)定义域范围内有意义．
所以
－2≤m≤2，
－2≤m－1≤2
②
解①②得1
2
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