湖北省黄冈市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学（文）试卷

湖北省黄冈市实验高中2020届高三第四次模拟考试数学（文）试卷

文 科 数 学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．麒麟是中国传统瑞兽．古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞．有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人．如图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计．现将图案剪成长，宽的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估计值为（ ）．‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎（第3题） （第4题）‎ ‎4．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为22，则k可取的最小正整数为（ ）‎ A．41 B．6 C．7 D．42‎ 5． 已知四边形ABCD为平行四边形，，，M为CD中点，，则（ ） ‎ ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎6．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．函数在的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）‎ A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．在上单调递增 ‎10．空间中，m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎11．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点，分别在双曲线的两条渐近线上，轴，，四边形为梯形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 频率/组距 x ‎0.15‎ ‎0.05‎ 学习时长(h)‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎11‎ O ‎13．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数的值为______.‎ ‎14．2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得 全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停 课不停学”。为了解高三学生每天居家学习时长，从 某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进 行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如右图 所示）。已知学习时长在的学生人数为25，则的值______．‎ 15． 已知球的内接正方体的棱长为1，点在线段上，过点垂直于的平面截球所得的截面圆的面积为，则线段的长为__________．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ‎（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S ‎（2）若b：c＝2：3，求 ‎18．（本小题满分12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.‎ ‎（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；‎ ‎（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？‎ 附：相关系数公式，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： . ‎ 19． ‎（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，且点在底面上的投影H恰为CD的中点. ‎ ‎（1）棱BC上存在一点N，使得AD⊥平面，试确定点N的位置，说明理由；‎ ‎（2）求三棱锥的体积 .‎ ‎20．（本小题满分12分）已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. ‎ ‎（1）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（2）点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由 . ‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，且，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。‎ 答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ 以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上一点，此时参数，将射线绕坐标原点逆时针旋转交曲线于点，记曲线的上顶点为，求的面积。‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，A为不等式的解集．‎ ‎（1）求集合A；‎ ‎（2）已知，若、、为正实数，且，求证：．‎ 答案 ‎1.【答案】C ‎【解析】由，‎ 则，‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】欧拉公式，‎ 在中，，‎ 所以 ‎，‎ 对应点的坐标为，所以在第四象限，‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】依题意，矩形面积，设黑色部分的面积为，‎ 由几何概型的概率计算公式可得，，解得.‎ ‎4【答案】C ‎【解析】第一次进入循环后：，，第二次进入循环后：，，‎ 第三次进入循环后：，，因为该程序运行后输出的结果为22，‎ 所以，满足条件，，不满足，‎ 所以正整数k的最小值为7‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎.【答案】D ‎6【解析】在等差数列中，由，得，，，‎ 在等比数列中，由，得，，，‎ 则.‎ ‎7【答案】D ‎【解析】因为，所以，‎ 因为，，所以,.‎ 综上；故选D.‎ ‎8【答案】D ‎【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、,‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，‎ 所以其最小正周期为，则.‎ 所以.‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 可得的图象，‎ 又因为是奇函数，令，‎ 所以.又，‎ 所以.‎ 故.‎ 当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；‎ 当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；‎ 在上，，单调递增，故C正确；‎ 在上，，单调递减，故D错误.‎ ‎10.【解析】 选项 A错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面； 选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直；选项D正确，由得又故选D.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】设，所以，直线的方程为，‎ 直线的方程为，解得，‎ ‎，又直线的方程为，‎ 则，，又因为，‎ 所以，，‎ ‎，.‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】在定义域内单调递增，，‎ 即，即是方程的两个不同根，∴， 设， ∴时，；时，， ∴是的极小值点，‎ 的极小值为：， 又趋向0时，趋向；趋向时，趋向， 时，和的图象有两个交点，方程有两个解， ∴实数的取值范围是．‎ ‎13.【解析】依题可得，，设两曲线的公共点为，则，‎ 解得．‎ ‎ 14.【解析】由频率分布直方图的性质，可得，解得，‎ 所以学习时长在的频率，解得.‎ ‎15【答案】或 ‎【解析】由题意，球O的半径为，截面圆的半径为，‎ 则球心O到截面的距离，‎ 线段的长为或 ‎ ‎16【解析】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，‎ 所以圆的方程为，‎ 且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，‎ 故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，‎ 故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，‎ 由，解得，‎ 故a的取值范围为(，4).‎ 故答案为：‎ ‎17【解析】（1）由，得，∴． ‎ ‎∵，∴，∴． ‎ ‎（2）∵，，∴，‎ 故可设，， ， ‎ 则， ‎ ‎∴‎ ‎18【解析】（1）因为，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎（2），．‎ ‎∴．‎ 当时，．‎ ‎∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．‎ ‎19【解析】（1）当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明.‎ 分别连结NH，，BH，‎ ‎∵在底面上的投影H恰为CD的中点，∴⊥平面ABCD，‎ 又BC⊂平面ABCD，∴⊥BC，‎ 在△HBC中，，故△HBC为等边三角形，‎ 又点N为棱BC的中点，∴NH⊥BC，‎ 又⊥BC，∩NH=H，，NH⊂平面，‎ ‎∴BC⊥平面，‎ 又由平行四边形ABCD得AD//BC，‎ ‎∴AD⊥平面，点N即为所求.‎ ‎（2）∵平面//平面，‎ ‎∴到平面的距离即为A到平面的距离，‎ 过A作AM⊥CD于点M，‎ 又⊥平面ABCD，∴⊥AM，‎ 又，∴AM⊥平面，‎ ‎，，‎ 又，‎ 所以 ‎20【解析】（1）由题意得，解得， ‎ 所以抛物线的方程为，准线方程为.‎ ‎（2）由（1）知，. ‎ 假设存在圆使得AB恰为其切线，设，，‎ 则直线PA的的方程为，即. ‎ 由点到PA的距离为r，得，‎ 化简，得，‎ 同理，得.‎ 所以，是方程的两个不等实根，‎ 故，.‎ 易得直线AB的方程为，‎ 由点到直线AB的距离为r，得，‎ 所以，‎ 于是，，‎ 化简，得，即.‎ 经分析知，，因此.‎ ‎21.【解析】（1）解:当时,,‎ 所以,‎ 设,则,所以在上单调递增,‎ 即在上单调递增,‎ 因为,‎ 所以当时,；当时,,‎ 因此在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以.‎ ‎（2）证明:,则,所以在上单调递增,因为,‎ 所以当时,；当时,,‎ 因此,在上单调递减,在上单调递增,‎ 由,不妨设,则,,‎ 令 ‎,‎ 则 ‎，‎ 当时，，‎ 故,所以在上单调递增；‎ 所以当时，即时,，‎ 因此, ‎ 又,所以,‎ 因为,,在上单调递增,‎ 所以,即,故.‎ ‎22【解析】（1）由，--------------------------------------------1分 所以的普通方程为，---------------------------2分 由-----------------------------------------------------3分 可得--------------------4分 ‎（2）设点的横坐标为，则由已知可得，‎ 且直角坐标，极坐标，-----------------------------------------------------6分 其中，极坐标，-------------------------------------8分 ‎，----------------------------------------------------------------9分 所以---------------------------------------------------10分 ‎23【解析】（1）‎ 当时，，‎ 由，解得，∴；‎ 当时，，‎ 由，解得，∴；‎ 当时，，‎ 由，解得，∴．‎ 综上，的解集．‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 所以，，‎ 故，又、、为正实数，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，，等号成立，‎ ‎∴，即．‎