2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简集合A，B，进而求交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查集合的概念及运算，考查对数函数的值域及二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．若角的终边上一点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角函数的定义即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵角的终边上一点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎3．设,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用中间量隔开三个值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查实数大小的比较，考查指对函数的性质，属于常考题型.‎ ‎4．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：，利用正切型函数的图象即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，即 ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴函数的定义域为，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查正切型函数的定义域，考查利用正切函数图像解不等式，属于基础题.‎ ‎5．根据表格中的数据， 可以判定函数的一个零点所在的区间为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数，满足.‎ 由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.‎ 故选D.‎ 点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.‎ ‎6．函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令t＝x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，y＝log2t在上单调递增，即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：令t＝x2+2x﹣3＞0，可得x＜﹣3，或 x＞1，故函数的定义域为{x|x＜﹣3，或 x＞1}．‎ t＝x2+2x﹣3在上单调递减，在上单调递增，‎ 又在上单调递增，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎7．函数的部分图象大致是图中的（ ）‎ A．. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的奇偶性及函数值得符号即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：函数的定义域为R，‎ 即∴函数为奇函数，排除A，B，‎ 当时，，排除C，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 函数识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎8．在中，若，则的形状为（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不含角的等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），‎ ‎∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，‎ ‎∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，‎ ‎∴sinAcosB+cosAsinB＝1，‎ ‎∴sin（A+B）＝1，‎ ‎∴A+B＝90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．沿轴向左平移个单位 B．沿轴向右平移个单位 C．沿轴向左平移个单位 D．沿轴向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 将函数的图象沿轴向左平移个单位，‎ 即可得到函数的图象，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎10．是上的奇函数，满足，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的周期性与奇偶性可得，结合当时，，得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴的周期为4，‎ ‎∴，‎ 又是上的奇函数，当时，，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据函数的性质将未知解析式的区间上函数的求值问题转化为已知解析式的区间上来求，本题考查了转化化归的能力及代数计算的能力.‎ ‎11．已知，且满足，则值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可求得，然后将经三角变换后用 表示，于是可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 解得或．‎ ‎∵,‎ ‎∴．‎ ‎∴ ．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的目的，解题的关键进行三角恒等变换，考查变换转化能力和运算能力．‎ ‎12．已知，函数在上递减，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出f（x）的单调减区间A，令（，π）⊆A，解出ω的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：f（x）sin（ωx），‎ 令，解得x，k∈Z．‎ ‎∵函数f（x）sin（ωx）（ω＞0）在（，π）上单调递减，‎ ‎∴，解得ω2k，k∈Z．‎ ‎∴当k＝0时，ω．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的单调性与单调区间，考查转化能力与计算能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的值域为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用二倍角余弦公式可得令，结合二次函数的图象与性质得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 令，则 ‎∵在上单调递减，‎ ‎∴的值域为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．‎ ‎14．已知函数（）的部分图象如图所示，则的解析式是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由图可知，，得，从而，所以，然后将代入，得，又，得，因此，，注意最后确定的值时，一定要代入，而不是，否则会产生增根.‎ ‎【考点】三角函数的图象与性质.‎ ‎15．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，先明确值，该函数平移后为奇函数，根据奇函数性质得图象过原点，由此即可求得值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数的最小正周期为，‎ ‎∴，即，‎ 将的图象向左平移个单位长度，‎ 所得函数为，‎ 又所得图象关于原点对称，‎ ‎∴，‎ 即，又，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查奇偶函数的性质，要熟练掌握图象变换的方法．‎ ‎16．给出如下五个结论：‎ ‎①存在使 ② 函数是偶函数 ‎③最小正周期为 ④若是第一象限的角，且，则 ‎⑤函数的图象关于点对称 其中正确结论的序号为______________‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于①，，，故错误；‎ 对于②，，显然为偶函数，故正确；‎ 对于③，∵y＝sin（2x）的最小正周期为π，‎ ‎∴y＝|sin（2x）|最小正周期为．故正确；‎ 对于④，令 α，β，满足，但，故错误；‎ 对于⑤，令则故对称中心为，故错误.‎ 故答案为：②③‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数图象上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与轴交于点．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）用“五点法”画出（1）中函数在上的图象.‎ ‎【答案】（1）；（2）图见解析 ‎【解析】（1）根据条件中所给的函数的最高点的坐标，写出振幅，根据两个相邻点的坐标写出周期，把一个点的坐标代入求出初相，写出解析式；‎ ‎（2）利用五点法即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎,‎ 又，‎ ‎（2）‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，φ的取值是解决本题的关键．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】（1）周期，对称轴；（2）‎ ‎【解析】（1）化简函数，根据正弦函数的性质得到函数的最小正周期及对称轴方程；‎ ‎（2）由题可得，结合二倍角余弦公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎，,‎ ‎∴的最小正周期,‎ 令,可得,‎ ‎（2）由,得,可得:,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19．设函数，且，函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若方程－b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a的值即可， （2）对于同时含有的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．‎ 试题解析：解：（1）∵，且∴‎ ‎∵∴‎ ‎（2）法一：方程为令，则-‎ 且方程为在有两个不同的解。‎ 设，两函数图象在内有两个交点 由图知时，方程有两不同解。‎ 法二： 方程为，令，则 ‎∴方程在上有两个不同的解．设 解得 ‎【考点】求函数的解析式，求参数的取值范围 ‎【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．‎ ‎【答案】（1）．,  ．‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎（2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，‎ ‎==，‎ 所以的最小正周期：．‎ 由，解得 即函数的单调递减区间是  ．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，所以．‎ 要使f（x）在区间上的最小值为1，‎ 即在区间上的最小值为-1．‎ 所以，即．‎ 所以m的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若存在，使得成立，则求的取值范围；‎ ‎（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x），由存在，使得成立，只需fmax（x）≥a即可；‎ ‎（2）由函数图象变换可得，即求g（x）0的零点，由三角函数的对称性可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ 若存在，使得成立，‎ 则只需即可∵，∴，‎ ‎∴当，即时， 有最大值1，‎ 故. ‎ ‎（2）依题意可得，‎ 由得，‎ 由图可知，在上有4个零点： ，‎ 根据对称性有，‎ 从而所有零点和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，考查了数形结合思想，属中档题．‎ ‎22．已知函数，在区间上有最大值，最小值，设函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； ‎ ‎（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；‎ ‎（2）转化不等式f（2x）﹣k•2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；‎ ‎（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，‎ ‎∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上为增函数，‎ 故，可得 ，⇔．‎ ‎∴a＝1，b＝0‎ ‎（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x2≥k•2x，‎ k≤1‎ 令t，k≤t2﹣2t+1，‎ ‎∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）＝t2﹣2t+1，‎ ‎∴φ（t）min＝φ（1）＝0，‎ ‎∴k≤0．‎ ‎（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0‎ 得|2x﹣1|（2+3k）＝0，‎ ‎|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，‎ 令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），‎ ‎∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三个不同的实数解，‎ ‎∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，‎ t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，‎ 记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），‎ 则或　‎ ‎∴k＞0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想．‎