数学卷·2018届湖南省湘潭市一中高二上学期第四次月考（2017-01）

数学卷·2018届湖南省湘潭市一中高二上学期第四次月考（2017-01）

‎ 湘潭市第一中学2016-2017学年度第一学期高二数学第四次月考试题 ‎ ‎ 时量:120分钟 总分:150分 注意事项： ‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足条件：，则对应的点位于 （ ）‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎ 2. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 ( ) ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎3.设R，则“”是“直线与 直线平行”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．设变量满足约束条件，则的最大值是 （ ）‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10 ‎ ‎5.下列命题中正确的是 ( )‎ A．若,则 B．若为真命题,则也为真命题【来源：全,品…中&高*考+网】‎ C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 D．命题“若,则”的否命题为真命题 ‎6、设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ ）‎ ‎ A．4 B． C． D． 6 ‎ ‎7、甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有____种(用数字作答)． ( ) ‎ A.720 B.480 C.144 D.360‎ ‎8、在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 (　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) ‎ C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) ‎ ‎9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( ) ‎ A．152 B.126 C.90 D.54‎ ‎10、已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ）‎ A. B.3 C. D.‎ ‎12 、已知函数，方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共5个小题,每小题4分,共20分.‎ ‎13、计算的结果是_______．14、展开式中的系数为80，则实数a的值为________．15、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点 (均在第一象限内)，若，则双曲线的离心率为____________．‎ ‎16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎(1) ＝ ； (2) ＝ .‎ 三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 设命题：“方程有实数根”；命题：“”，若为假，为假，求实数的取值范围．‎ ‎18.在平面四边形中，。‎ （1） 求的长；‎ （1） 若，求的面积。‎ ‎19.已知数列{}，若,+1, 成等差数列，数列{+1}为公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{}满足，其前n项和为，试求满足的最小正整数n．‎ ‎20．在四棱锥P﹣ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．‎ ‎（1）求证：PC⊥BD；‎ ‎（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E﹣BCD的体积最大时，求二面角E﹣BD﹣C的大小．‎ ‎ ‎ ‎21．已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎ (1)若,求函数的极值；‎ ‎（2）若时，证明 ‎ (3)当时,不等式恒成立,试证明 ‎ 答案解析 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1.已知复数满足条件：，则对应的点位于 （ ）‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：D 解析：，‎ 复数对应点坐标为位于第四象限 ‎2. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 ( C ) ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎3.设R，则“”是“直线与直线平行”的 （ C ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．设变量x，y满足约束条件，则的最大值是 （ c ）‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10 ‎ ‎5.下列命题中正确的是( D )‎ A．若,则 B．若为真命题,则也为真命题 C．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 ‎6、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则 的面积为 （ D ）‎ ‎ A．4 B． C． D． 6 ‎ D．命题“若,则”的否命题为真命题 ‎7、甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有____种(用数字作答)．( B )‎ A.720 B.480 C.144 D.360‎ 解析：先在6个位置找3个位置，有C种情况，甲、乙均在丙的同侧，有4种排法，而剩下三人有A种情况，故共有4CA＝480种．‎ ‎8、在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为(　　)．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎9、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B.126 C.90 D.54‎ ‎【答案】B ‎【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确 ‎10、已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 ‎（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)‎ ‎【答案】A ‎11、已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）‎ A. B.3 C. D.‎ ‎12 、已知函数，方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ D ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析： 求导，令，‎ ‎∴在点处的切线方程为 方程有且只有一个实数根 ‎ 若 故当时，有一个实数根；时方程有两个不同实数根 ‎∴，选择D答案 ‎13、计算的结果是_______．‎ 答案：‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎14、展开式中的系数为80，则实数a的值为________．‎ 答案：2‎ 解析：展开式的通项公式为：，令，所以的系数为， .‎ ‎15、过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若＝4‎ ‎，则双曲线的离心率为____________．‎ 答案： 解析：取双曲线－＝1的一条渐近线其方程为，设，‎ ‎＝4则①‎ 点在双曲线上，∴②‎ 由①②及得 ‎16. 如下图(1)、(2)、(3)、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律 (小正方形的摆放规律相同)进行拼图，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎(1)f(6)＝ ；‎ ‎(2) f(n)= .‎ 解：(1)f(6)＝61.‎ ‎(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，‎ f(3)－f(2)＝8＝4×2，‎ f(4)－f(3)＝12＝4×3，‎ f(5)－f(4)＝16＝4×4，‎ ‎…‎ 由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.‎ 因为f(n＋1)－f(n)＝4n，‎ 所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，‎ f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)‎ ‎＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)‎ ‎＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)‎ ‎＝…‎ ‎＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4‎ ‎＝2n2－2n＋1.‎ 三、解答题 ‎17.解：对于命题P：若方程有实根，则，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解得或，即:或；……………………（2分）‎ 对于命题去q：若方程无实根，则，‎ 解得，即．………………………………………（4分）‎ 由于若为假，则，至少有一个为假；又为假，则真．所以为假，‎ 即假真，……………（7分）‎ 从而有解得．所以的范围是．…………（10分）‎ ‎18.解：（1）在中，由余弦定理可列得：‎ ‎，即：，………………3分 解得：.………………5分 （2） 由，易得：，………………6分 由，易得：，………………7分 故 ‎==，………………10分 故=.………………12分 ‎19.（1） （）. （5分）‎ ‎20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，‎ 由此推出PA⊥BD，‎ 又AC∩PA=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以推出PC⊥BD．‎ ‎（2）设PA=x，三棱锥E﹣BCD的底面积为定值，求得它的高，‎ 当，即时，h最大值为，三棱锥E﹣BCD的体积达到最大值为．‎ 以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则，令E（x，y，z），‎ ‎，，得，∴，‎ 设是平面EBD的一个法向量，，，‎ 则，得．‎ 又是平面BCD的一个法向量，‎ ‎∴，∴二面角E﹣BD﹣C为．‎ ‎21.(1)设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，‎ 得，……1分 而的周长为，……3分 当且仅当过点时，等号成立，‎ 所以，即，又离心率为，所以，……5分 所以椭圆的方程为.……6分 ‎（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.‎ 设，则，……7分 且，，所以②‎ ‎……9分 令，则②式可化为.‎ 当且仅当，即时，等号成立. ……11分 所以直线的方程为或……12分．‎ ‎22.解：(1)由题意得,‎ ‎∵函数的定义域为,‎ ‎ 由,.∴函数有极小值。‎ ‎ ………………4分 ‎ ‎ （2）易知要证即证在上恒成立，令 ‎ ‎ ‎ ………………8分 ‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴.‎ ‎ 当时,,∴.即时,恒成立.‎ 又由（2）知在上恒成立,‎ ‎∴在上恒成立.当时取等号,‎ ‎ ∴当时,,∴由上知.………………12分