数学理卷·2019届湖北省宜昌市第一中学高二上学期10月阶段性检测（2017-10）

数学理卷·2019届湖北省宜昌市第一中学高二上学期10月阶段性检测（2017-10）

宜昌市一中2016级高二数学（理）10月月考试题 ‎（时间120分钟 满分150分） 命题：王家福 审题：钟卫华 ‎★祝考试顺利★‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1．我校现有教职工320人，其中专任教师有248人，教辅人员48人，后勤人员24人，‎ 第2题图 现用分层抽样从中抽取一容量为40的样本，则抽取教辅人员（ B ）人.‎ A．4 B．6 C．8 D．31‎ ‎2．中国诗词大会节目是央视首档全民参与的弘扬传统文化活动，如图是2016年 中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图 ‎（其中为数字中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，则一定有（B ）.‎ A．B．C．D．的大小与的值有关 ‎3.将区间内的均匀随机数转化为区间内的均匀随机数,需要实施的变换（D ）.‎ A．B． C．D．‎ ‎4.华为公司在2017年8月9日推出的一款手机，已于9月19日正式上市。据统计发现该产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：‎ 广告费用（百万元）‎ ‎ 4‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 5‎ 销售额（百万元）‎ ‎44‎ ‎ 25‎ ‎ 37‎ ‎ 54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预测广告费用为6百万元时 销售额为( C )‎ A．61．5百万元 B．62．5百万元 C．63．5百万元 D．65．0百万元 ‎5．将参加夏令营的100名学生编号为：001，002，…，100，采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，且在第一段随机抽得的号码为003，这100名学生分住在三个营区，从001到015在第I营区，从016到055住在第II营区，从056到100在第III营区，则第II个营区被抽中的人数应为( C ).‎ A．6 B．7C．8 D．9‎ ‎6.已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ B ）.‎ A ． B． C. D．‎ ‎7．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（ C ）.‎ A．B．C．D．‎ ‎8.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为 ，若直角三角形的两条直角边的长分别为，则（ B ）.‎ A．B． C． D．‎ ‎9.一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当且时称为“凹数”;若，且互不相同，则“凹数”的个数为（ A ）.‎ ‎ A．B．C．D．‎ ‎10. 设，若，则展开式中系数最大的项是(　　).‎ A． B. C. D．‎ ‎11.设正四面体的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点的概率为 ( A ).‎ A． B． C． D．‎ ‎12.下列说法正确的个数有（ ）.‎ ‎（1）在空间直角坐标系中，点关于平面 的对称点为 ‎，则点关于原点的对称点的坐标为.‎ ‎（2）（3）1908和4187的最大公约数是53.‎ ‎（4）用秦九韶算法计算多项式 ‎（5）古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A的概率为.‎ A．B．C．D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_01．‎ ‎7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198‎ ‎3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481‎ ‎14.我校交通车在6：45，7：30发车（由老校区开往新校区），某老师在6：30至7：30之间到达老校区乘坐校车到新校区，且到老校区的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是:‎ ‎15.已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范:‎ ‎16.我校开展的高二“学工学农”某天的活动安排中，有采茶，摘樱桃，摘草莓，锄草，栽树，喂奶牛共六项活动可供选择，每个班上午，下午各安排一项（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则该天甲，乙两个班的活动安排方案的种数为：630.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. （本题满分12分）我校新校区为调研学生在餐饮中心，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分，‎ 整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：‎ ‎（1）.在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；‎ ‎（2）．从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；‎ ‎（3）．如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.‎ ‎（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于的频率为，‎ 所以，对餐厅评分低于的人数为.‎ ‎（2）对餐厅评分在范围内的有人，设为；‎ 对餐厅评分在范围内的有人，设为.‎ 从这人中随机选出人的选法为：，，，，，，，，，，共种.‎ 其中，恰有人评分在范围内的有：，，，，，，共6种.故人中恰有人评分在范围内的概率为.‎ ‎（3）从两个餐厅得分低于分的数所占的比例来看，由（1）得，抽样的人中，餐厅评分低于的人数为，所以，餐厅得分低于分的人数所占的比例为.‎ 餐厅评分低于的人数为，所以，餐厅得分低于分的人数所占的比例为.‎ 所以会选择餐厅用餐.‎ ‎18.（本题满分12分）高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰；‎ ‎（1）若要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，14个理科班中选两个班级，有多少种不同的选法？‎ ‎（2）年级组拟在选出的三个班级中再选5名学生，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有多少种？‎ ‎（3）选中的这5名学生和三位年级负责人徐主任，陈主人，付主任排成一排合影留念，规定这3位老师不排两端，且老师顺序固定不变，那么不同的站法有多少种？‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎19．（本题满分12分）宜昌大剧院和宜昌奥体中心将是人们健康生活的最佳场所，若两处在同一直角坐标系中的坐标分别为，;假设至喜长江大桥所在的直线方程为直线.现为方便大家出行，计划在至喜长江大桥上的点处新增一出口通往两地，要使从处到两地的总路程最短.‎ ‎(1)求点的坐标.‎ ‎(2)一中高二体育特长生小陶和小陈相约某周日上午8时到9时在宜昌奥体中心会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.‎ ‎(1)点；(2)‎ ‎20.(本题满分12分) 设不等式确定的平面区域为确定的平面区域为V.（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，‎ 求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；‎ ‎（2设集合；集合 若从集合A到集合B可以建立个不同的映射？从集合B到集合A可以建立个不同的映射，求的值.‎ 解:（1）由题意可知平面U的整点为（0，0），（0，1），（0，-1），（0，,2），（0，-2），（-1，0），（1，0），（2，0），（-2，0），（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1），共13个；平面V的整点为（0，0），（0，1），（0，-1），（-1，0），（1，0），共5个；则P=‎ ‎（2）m=243;n=125‎ A B C D E F H P ‎21．（本题满分12分）四棱锥P－ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC = 60°，E、F分别是BC、PC的中点. (1)求证：平面AEF⊥平面PAD； (2)垂足为，斜线EH与平面PAD所成的角为45°，‎ 求二面角E－AF－C的正切值． 证：∵底面ABCD底面是菱形，∠ABC = 60° ∴△ABC是正三角形 又E为BC中点，∴AE⊥BC，∠BAE = 30° 2分 故∠EAD =∠BAD－∠BAE = 120°－30° = 90°，即AE⊥AD 4分 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE 又AD、PA相交于A，∴AE⊥平面PAD 而AE在平面AEF内，∴平面AEF⊥平面PAD 6分 ‎(2)解法一：由(1)知，AE⊥平面PAD，∴∠AHE是EH与平面PAD所成的角 ∵AH⊥PD，∠AHE = 45° 8分 过E作EQ⊥AC于Q点，过Q作QG⊥AF于G点，连结EG ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EQ 又EQ⊥AC，PA与AC相交于A，∴EQ⊥平面PAC ∵AF在平面PAC内，∴EQ⊥AF 又QG⊥AF，QG、EQ相交于Q，∴AF⊥平面EQG，进而AF⊥EG ∴∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角 10分 设AB = 2a，则， ∵，∴， ∴， ∴在直角三角形EQC中， 又，∴△ACF是正三角形，∠FAC = 60° ∴ ∴12分 ‎22．(本小题满分10分)设为数列的前项和．已知，‎ ‎（1）求的通项公式.‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ 解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①‎ 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②‎ ‎②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，‎ 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．‎ 由an＞0，得an＋1－an＝2.‎ 又a＋2a1＝4a1＋3，‎ 解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由an＝2n＋1可知，‎ bn＝＝ ‎＝.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝＝‎