数学（文）卷·2018届甘肃省兰州一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学（文）卷·2018届甘肃省兰州一中高二下学期期中考试（2017-04）

兰州一中2016-2017-2学期高二年级期中考试试题 数学（文科）‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分,考试时间100分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝ (　　)‎ ‎ A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i ‎2.曲线在处的切线的倾斜角是 (　　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为 (　　)‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设 (　　)‎ ‎ A.三个内角都不大于60° B.三个内角都大于60°‎ ‎ C.三个内角至多有一个大于60° D.三个内角至多有两个大于60°‎ ‎5.条件p：|x＋1|>2；条件q：，则¬ p是¬ q的 (　　)‎ ‎ A.必要不充分条件 B.充要条件 ‎ C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.三角形的面积，a﹑b﹑c 为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为 (　　)‎ A. ‎ ‎ B.‎ C. ‎ D.（，r为四面体内切球半径）‎ ‎7.函数（a＞0）在（0，2）上不单调，则a的取值范围是 (　　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 设函数 f（x）在定义域内可导，y = f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9.某程序框图如图所示，对应的程序运行后输出的S的值是 (　　) (第9题) ‎ ‎ A.2 B.3 C.4 D.5 ‎ ‎ 10.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足， ‎ ‎ 且为偶函数，，则不等式的解集为 (　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎11.已知的取值如下表：‎ x ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2.2‎ ‎ 3.8‎ ‎4.5‎ ‎5.5‎ 从散点图分析与线性相关，且回归方程为，则实数的值为___ __. ‎ ‎12. 设函数满足，则 .‎ ‎13.已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，‎ 则a＝ .‎ ‎14.观察下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，……，若类比上述方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等 于 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15.（本小题8分）已知复数满足: 求的值.‎ ‎16.（本小题8分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.‎ ‎17.（本小题8分）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值.‎ ‎18.（本小题10分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).‎ ‎(1)应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10](10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率； ‎ ‎(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎ 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 时间不超过4小时 时间超过4小时 总计 附：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.（本小题10分）设函数f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.‎ ‎(1)讨论函数h(x)＝的单调性；‎ ‎(2)如果对任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.‎ 兰州一中2016-2017-2学期高二年级期中考试试题 数学（文科答案）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A B C B C D C D A B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎11.-1.11 12.5 13.8 14.10‎ 三、解答题：本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15. （本小题8分）‎ 解：设， ‎ 而即 ……………………2分 则 ……………………5分 ‎ ……………………8分 ‎16. （本小题8分）‎ ‎ 解:(1)∵ρcos＝1，∴ρcos θ·cos ＋ρsin θ·sin ＝1.‎ 又∴x＋y＝1 ‎ ‎ 即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0. . ……………………2分 ‎ 令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.‎ ‎ ∴M(2，0)，N.‎ ‎ ∴M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为.……………………5分 ‎(2)由(1)知，M，N连线的中点P的直角坐标为，‎ ‎ P的极角为θ＝.‎ ‎ ∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R). ……………………8分 ‎17. （本小题8分）‎ 解:(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，‎ ‎ 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ ‎ 故有……………………2分 即 ‎ 化简得解得 ……………………4分 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，‎ ‎ f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2).‎ ‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ ‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，‎ ‎ 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；‎ ‎ 当x∈(－2，2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2，2)上为减函数；‎ ‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数.‎ ‎ 由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，‎ ‎ f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ ‎ 由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12. ……………………6分 ‎ 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ ‎ f(2)＝－16＋c＝－4，‎ ‎ 因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4. ……………………8分 ‎18. （本小题10分）‎ 解:(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据. ………………2分 ‎ (2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育 ‎ 运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. ……………………5分 ‎ (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时， ‎ ‎ 75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男 ‎ 生的，90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ ‎ …………………7分 结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841.所以，有95%‎ ‎ 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. ……………………10分 ‎19. （本小题10分） ‎ 解:(1)∵h(x)＝＋ln x，∴h′(x)＝－＋＝， ‎ ‎ ①当a≤0时，h′(x)＞0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎ ②当a＞0时，令h′(x)＞0，得x＞，即函数h(x)的单调递增区间为(，＋∞)；‎ ‎ 令h′(x)＜0，得0＜x＜，即函数h(x)的单调递减区间为(0，).……………4分 ‎ (2)由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x，‎ ‎ ∵g＝－，g＝－，g(2)＝1，∴g(x)max＝1.‎ ‎ 故对任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立.‎ ‎ 等价于当x∈时，f(x)＝＋xln x≥1恒成立，等价于a≥x－x2ln x恒成立，‎ ‎∴a≥u(x)max，记u(x)＝x－x2ln x，u′(x)＝1－2xln x－x，u′(1)＝0.‎ ‎ 令m(x)＝1－2xln x－x，m′(x)＝－3－2ln x，‎ ‎∵x∈，∴m′(x)＝－3－2ln x＜0，‎ ‎∴m(x)＝u′(x)＝1－2xln x－x在上递减，‎ 当x∈时，u′(x)＞0，当x∈(1，2]时，u′(x)＜0，‎ 即函数u(x)＝x－x2ln x在区间上递增，在区间(1，2]上递减，‎ ‎∴u(x)max＝u(1)＝1，从而a≥1，‎ 即a的取值范围为[1，＋∞) . ……………………10分