数学（理）卷·2019届福建省莆田市第二十四中学高二理科上学期期中考试（2017-11）
莆田第二十四中 2017-2018 年度上学期期中试卷
高二数学（理科）
一、单项选择（每题 5 分共 60 分）
1、 ABC 中，若 30,2,1 Bca ，则 ABC 的面积为（ ）
A．
2
1 B．
2
3 C．1 D． 3
2、已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则 =（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3、设 a，b 为非零实数，且 a＜b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＞a b B．a2＜b2 C． 2 2
1 1
a b
4、以下列函数中，最小值为 2 的是（ ）
A. 3 3x xy B. 1y x x
C. 1lg (0 1)lgy x xx
D. 1sin (0 )sin 2y x xx
5、命题“ 2, 2 2 0x R x x ”的否定为（ ）
A. 2, 2 2 0x R x x B. 2, 2 2 0x R x x
C. 2, 2 2 0x R x x D. 2, 2 2 0x R x x
6、设命题 p ：方程 2 3 1 0x x 的两根符号不同；命题q ：方程 2 3 1 0x x 的两根之
和为 3，判断命题“ p ”、“ q ”、“ p q ”、“ p q ”为假命题的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7、已知向量 0,2,1 , 1,1, 2a b ，则a 与b 的夹角为（ ）
A. 0 B.
4
C.
2
D.
8、“ ”是“方程 为双曲线的方程”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9、设 f(x)＝xlnx，若 f′(x0)＝2，则 x0 的值为( )
A．e2 B．e C．ln2
2 D．ln2
10、如图所示，在直三棱柱 中， ， ，点 E、F
分别是棱 AB、BB1 的中点，当二面角 C1-AA1-B 为 450 时，直线 EF 和 BC1 所成的角为（ ）
A. 450 B. 600 C. 900 D. 1200
11、在 ABC 中， o60A ， 4 3a ， 4 2b ，则 B 等于( )
A. o45 B. o135 C. o45 或 o135 D. 以上答案都不对
12、设数列{an}是等差数列，若 a2+a4+a6=12，则 a1+a2+…+a7 等于（ ）
A．14 B．21 C．28 D．35
二、填空题（每道题 5 分，共 20 分）
13、不等式 22 9 9 0x x 的解集为 .
14、变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最小值为 ．
15、在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 顶点 A(-3,0)和 C(3,0)，顶点 B 在椭圆
2 2
125 16
x y 上，则 sin sin
2sin
A C
B
.
16、写出下列函数的导数（1）
xey x
的导数为 ．
（2） 2(2 1)(3 1)y x x 的导数为 ．
三、解答题（注释）
17、在等差数列 na 中， 10 23a ， 25 22a ，
（Ⅰ）求该数列的通项公式
（Ⅱ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？
18、已知函数 3 2( )f x x bx cx d 的图象过点 (0,2)P ，且在点 ( 1, ( 1))M f 处的切线
方程为6 7 0x y ．
（1）求 ( 1)f 和 '( 1)f 的值；
（2）求函数 ( )f x 的解析式．
19 、 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 中 ，
2ABC ， D 是 棱 AC 的 中 点 ， 且
1 2AB BC BB .
(1)求证： 1 1/ /AB BC D平面 ；
(2)求异面直线 1AB 与 1BC 所成的角．
20、已知点 A 是抛物线 2 2x y 上位于第一象限的点，焦点 F ，且 5
2AF ，过 ,A F 的
直线l 交抛物线于点 B .
（Ⅰ）求直线l 的方程；
（Ⅱ）在抛物线 AOB 部分上求一点 P ，使 P 到直线l 距离最大，并求出最大值.
21、四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．
(1)证明：PB∥平面 AEC；
(2)设 ，三棱锥 的体积 ，求二面角 D-AE-C 的大小
22、已知椭圆 C：x2＋2y2＝4.
（I）求椭圆 C 的离心率；
（II）设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB
长度的最小值．
参考答案
一、单项选择
1、A 2、B 3、C 4、A 5、A 6、C 7、C
8、B 9、B 10、B 11、A 12、C
二、填空题
13、【答案】 14、【答案】﹣6
15、【答案】 5
6
16、【答案】 6
2
三、解答题
17、【答案】（Ⅰ） max 17 442S S ；（Ⅱ）{|an|}前 n 项和为
2
2
3 103 , 172 2{3 103 884, 182 2
n n n
n n n
.
试题分析：（1）通过解方程组 1
1
9 23{ 24 22
a d
a d
，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知，对 n 的值分 n≤17、n≥18 两种情况进行讨论即可
试题解析：
(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d， 由 得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53， 令 an>0，得 n< ，
∴当 n≤17，n∈N 时，an>0；当 n≥18，n∈N 时，an<0， ∴{an}前 17 项和最大．
max 17 17 50 17 8 3 442S S .
(Ⅱ)当 n≤17，n∈N 时，
|a1|＋|a2|＋＋|an|＝a1＋a2＋＋an＝na1＋ 1
2
n n d
＝－ n2＋ n，
∴当 n≤17，n∈N 时，{|an|}前 n 项和为－ n2＋ n，
当 n≥18，n∈N 时，
|a1|＋|a2|＋＋|an|＝a1＋a2＋＋a17－a18－a19－－an＝2(a1＋a2＋＋a17)－
(a1＋a2＋＋an)＝ n2－ n＋884，
当 n≥18，n∈N 时，{|an|}前 n 项和为 n2－ n＋884.
18.【答案】（1） ( 1) 1f ， '( 1) 6f ；
（2） 3 2( ) 3 3 2f x x x x ．
试题分析：（1）由导数的几何意义并结合已知条件即可得出， '( 1)f 等于 ( )f x 在点
( 1, ( 1))M f 处的切线方程的斜率，而点 ( 1, ( 1))M f 在切线方程上即可得出 ( 1)f
的值；（2）首先由 ( )f x 过点 (0,2)P 可求出 d 的值，然后求出函数 ( )f x 的导函数 '( )f x ，
并由 '( 1) 6f 可得等式3 2 6b c ，再由 ( 1) 1f 可得等式 1 1b c d ，于是联
立方程组即可得出 , ,b c d的值，最后代入即可得出所求的函数 ( )f x 的解析式．
试题解析：（1）∵ ( )f x 在点 ( 1, ( 1))M f 处的切线方程为6 7 0x y ，故点( 1, ( 1))f
在切线 6 7 0x y 上，且切线斜率为6 ，得 ( 1) 1f 且 '( 1) 6f ．
（2）∵ ( )f x 过点 (0,2)P ，∴ 2d ，∵ 3 2( )f x x bx cx d ，∴ 2'( ) 3 2f x x bx c ，
由 '( 1) 6f 得3 2 6b c ，又由 ( 1) 1f ，得 1 1b c d ，联立方程
2
3 2 6
1 1
d
b c
b c d
得
3
3
2
b
c
d
，故 3 2( ) 3 3 2f x x x x ．
考点：1、导数的几何意义；2、导数的计算．
19、【答案】(1)见解析；(2)
3
.
试题分析：
(1)利用题意结合线面平行的判断定理由 OD∥AB1 即可证得结论；
(2)建立空间直角坐标系，结合题意可得异面直线 1AB 与 1BC 所成的角为
3
.
试题解析：
(1)如图，连接 B1C 交 BC1 于点 O，连接 OD.
∵O 为 B1C 的中点，D 为 AC 的中点， ∴OD∥AB1.
∵AB1？平面 BC1D，OD 平面 BC1D， ∴AB1∥平面 BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系 B－xyz.
则 B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．∴ ＝(0，－2,2)、 ＝(2,0,2)．
cos〈 ， 〉＝ ＝ ＝ ，
设异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为θ，则 cosθ＝ ，∵θ∈(0， )，∴θ＝ .
20、（Ⅰ）3 4 2 0x y （Ⅱ）点 3 9,4 32P
，距离最大值为 5
8
试题分析：（1）根据抛物线的几何性质和抛物线的定义，求得焦点 10, 2F
和 2,2A ，
即可求得直线的方程；
（2）平移直线l 与抛物线相切，当 P 在切点处时，点 P 到直线l 的距离最大，设处点 P
的坐标，求得切点的坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解距离的最大值。
试题解析：
（Ⅰ）抛物线 2 2x y 的焦点为 10, 2F
，准线方程为 1
2y ，
设 , ( 0)A x y x ，则由抛物线定义得： 1 5
2 2AF y ， 2, 2y x 2,2A
所以直线l 的方程为： 3 1
4 2y x 即3 4 2 0x y
（Ⅱ）平移直线l 与抛物线相切，当 P 在切点处时，点 P 到直线l 的距离最大．
设切点 0 0,P x y ，由
2
2
xy 求导得： y x ，所以切线斜率 0
3
4k x ，
0 0
3 9,4 32x y ，显然 0B Ax x x ， 3 9,4 32P
直线 :3 4 2 0l x y ，所以 P 到直线l 的距离 0 03 4 2 5
5 8
x yd
所以所求的点 3 9,4 32P
，距 离最大值为 5
8
21.【答案】（1）见解析（2）
试题分析：（1）可先连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO，根据中位线性质可证明 EO//P，从而
可得结论；（2）由三棱锥 的体积 ，可得 ，以 A 为坐标原点， 的方向
为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 A—xyz,分别求出平面 DAE 与平面 ACE 的一个法
向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.
试题解析：（1）连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO
因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点
又 E 为的 PD 的中点，所以 EO//PB
EO 平面 AEC,PB 平面 AEC，所以 PB//平面 AEC
（2）因为 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直
如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 A—xyz,
三棱锥 的体积 ,
则 A(0,0,0)，D(0, ,0)，B( ,0,0)，E(0, , )，C( , ,0)，
则 =(0, , )， =( , ,0)，设 为平面 ACE 的法向量，
则 即
令 ，得 ， ，则 又 为平面
DAE 的法向量，
，
如图可得二面角 为锐角，所以二面角 为
【方法点晴】本题主要考查线面平行以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量
解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写
出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线
垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根
据定理结论求出相应的角和距离.
22.【答案】（I） 2
2
；（II） 2 2 .
试题分析：（I）把椭圆方程化成标准方程求出 , ,a b c 的值，由离心率的定义 ce a
即得
其值；（II）设出 ,A B 两点的坐标，利用向量垂直的条件找出 ,A B 坐标间的关系，用距
离公式表示出 AB ，消元后建立 AB 的函数关系，利用基本不等式求出最小值.
试题解析：(I)由题意，椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 2
x y .
所以 a2＝4，b2＝2，从而 c2＝a2－b2＝2.因此 a＝2，c＝ 2 .
故椭圆 C 的离心率 e＝ c
a
＝ 2
2
.
(II)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x0≠0.
因为 OA⊥OB，所以 0 ，即 tx0＋2y0＝0，解得 t＝ 0
0
2y
x
.
又 2 2
0 0 4x y ，所以 |AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝
2
20
0 0
0
2 2yx yx
＝
2
2 2 0
0 0 2
0
4 4yx y x
＝ 22
02 0
0 2
0
2 44 42
xxx x
＝
2
0
2
0
8 42
x
x
( 2
00 4x )．
因为
2
0
2
0
8 42
x
x
( 2
00 4x )，当 2
0 4x 时等号成立，所以|AB|2≥8.
故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .
考点：椭圆的方程、几何性质的应用.
【方法点晴】本题考查了椭圆的方程与性质及利用基本不等式求解最值等基础知识点，
对学生的运算和数据处理能力要求较高，属于中档题.解答本题的技巧是利用已知条件
设出 ,A B 的坐标，然后利用OA OB 寻求 ,A B 坐标间的关系，同时注意点 B 在椭圆上，
其坐标满足椭圆方程，可以进行消元处理，最终建立出关于 AB 与 2
0x 的函数关系式，
通过变形处理为两正数和的形式，利用基本不等式求出 AB 最小值.