数学卷·2018届广东省汕头市濠江区金山中学高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市濠江区金山中学高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若z=1+2i，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i ‎2．函数f（x）=x2+2x+m（x，m∈R）的最小值为﹣1，则等于（　　）‎ A．2 B． C．6 D．7‎ ‎3．若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；‎ ‎②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；‎ ‎③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，‎ ‎④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（　　）‎ A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③‎ ‎5．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（　　）‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（　　）‎ A．24 B．96 C．144 D．210‎ ‎7．设函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜1‎ ‎8．设θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（　　）‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎9．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎10．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）=，若0＜x1＜x2＜1，则（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．无法判断与的大小 ‎12．已知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（　　）‎ A．（1，2） B．（1，+∞） C．（0，2） D．（2，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|=　　．‎ ‎14．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为　　．‎ ‎15．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是　　．‎ ‎16．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成角分别为α，β，则有cos2α+cos2β=1，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成角分别为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．‎ ‎（Ⅰ）若b=2，求c边的长；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．‎ ‎18．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．‎ ‎（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明所得的结论．‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=的中点．‎ ‎（1）求证：EM∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小．‎ ‎20．如图，已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2 的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C，D分别为长轴的左右端点，O为坐标原点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣kx+k（k∈R）．‎ ‎（1）试讨论函数y=f（x）的单调性；‎ ‎（2）若该函数有两个不同的零点x1，x2，试求：（i）实数k的取值范围；（ii）证明：x1+x2＞4．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若z=1+2i，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：z=1+2i，则===i．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．函数f（x）=x2+2x+m（x，m∈R）的最小值为﹣1，则等于（　　）‎ A．2 B． C．6 D．7‎ ‎【考点】二次函数的性质；定积分．‎ ‎【分析】由二次函数的图象为开口向下的抛物线，根据顶点坐标公式求出顶点的纵坐标即为二次函数的最小值，让求出的最小值等于﹣1列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出f（x），把确定出的解析式代入到定积分中，即可求出定积分的值．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=x2+2x+m（x，m∈R）的最小值为﹣1，‎ 得到==﹣1，解得m=0，‎ 所以f（x）=x2+2x，‎ 则∫12f（x）dx=（x3+x2）|12=（+4）﹣（+1）=．‎ 故选B ‎　‎ ‎3．若直线y=m与y=3x﹣x3‎ 的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】利用导数，求出y=3x﹣x3的极值，由此结合已知条件能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵y=3x﹣x3，‎ ‎∴y′=3﹣3x2，‎ 令y′=0，得x=±1，‎ ‎∵x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0；‎ x∈（﹣1，1）时，y′＞0；x∈（1，+∞）时，y′＜0．‎ ‎∴当x=1时，y取极大值2，‎ 当x=﹣1时，y取极小值﹣2，‎ ‎∵直线y=m与y=3x﹣x2的图象有三个不同交点 ‎∴m的取值范围为﹣2＜m＜2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；‎ ‎②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；‎ ‎③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，‎ ‎④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（　　）‎ A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β．‎ ‎【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：‎ ‎①若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；‎ ‎②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；‎ ‎③若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；‎ ‎④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，‎ 则由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β，故④正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（　　）‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．‎ ‎【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．‎ 继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（　　）‎ A．24 B．96 C．144 D．210‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．‎ ‎【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，‎ 方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×A44=96种．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=ax3﹣x2（a＞‎ ‎0）在（0，3）内不单调，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜1‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调⇔函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内存在极值⇔f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax2﹣2x=0在（0，3）内有解．即可得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f′（x）=ax2﹣2x．（a＞0）．‎ ‎∵函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内不单调，‎ ‎∴函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0）在（0，3）内存在极值，‎ ‎∴f′（x）=0在（0，3）内有解，即ax2﹣2x=0在（0，3）内有解．‎ ‎∵x≠0，∴可化为ax﹣2=0，∴，‎ ‎∵x∈（0，3），∴，即．‎ ‎∴实数a的取值范围是a．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．设θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（　　）‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】把 sinθ+cosθ=两边平方可得，sinθ•cosθ=﹣＜0，可判断θ为钝角，cosθ＜0，从而判断方程所表示的曲线．‎ ‎【解答】解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，平方可得2sinθcosθ=﹣＜0，‎ 所以，θ∈（，），且sinθ＞0，且cosθ＜0，且sinθ＞|cosθ|，可得 从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．‎ ‎【解答】解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，根据表示的几何意义是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率问题．由图象可得结论．‎ ‎【解答】解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数 ‎∵f（4）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1‎ ‎∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0‎ 又因为表示的是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率．‎ 所以当（﹣1，﹣2）与A（0，4）相连时斜率最大，为6，‎ 当（﹣1，﹣2）与B（2，0）相连时斜率最小为，‎ ‎∴的取值范围是（，6）‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=，若0＜x1＜x2＜1，则（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．无法判断与的大小 ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】先求出f（x）=，再判断出=是减函数，由此能得到结果．‎ ‎【解答】解：∵f（x）==，‎ ‎∴=是减函数，‎ ‎∵0＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞‎ ‎﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（　　）‎ A．（1，2） B．（1，+∞） C．（0，2） D．（2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣1＞0，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＞﹣xf′（x），‎ ‎∴（ x•f（x））′＞0，故函数y=x•f（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ 由不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）得：‎ ‎（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），‎ 即（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），‎ ‎∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|=　　．‎ ‎【考点】复数求模；复数代数形式的加减运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：z1•z2=（2+i）（a+3i）=2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a=0，解得a=﹣6．‎ ‎∴z2=﹣6+3i．‎ ‎∴z1+z2=（2+i）+（﹣6+3i）=﹣4+4i．‎ ‎∴|z1+z2|=|﹣4+4i|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为　2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），‎ 又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即，‎ ‎∴x0+a=1，‎ ‎∴y0=0，x0=﹣1，‎ ‎∴a=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是　432　．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，剩下一名女生记作B，将A，B插入到3名男生全排列后所成的4个空中的2个空中，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，‎ 将A，B插入到3名男生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，‎ 故答案为：432‎ ‎　‎ ‎16．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成角分别为α，β，则有cos2α+cos2β=1，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成角分别为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=　2　．‎ ‎【考点】类比推理；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．‎ ‎【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．‎ 由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，‎ 则有cos2α+cos2β=1，‎ 我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，‎ ‎∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图 对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，‎ ‎∴cosα=，cosβ=，cosγ=，‎ ‎∴cos2α+cos2β+cos2γ=，‎ 令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2‎ 故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．‎ ‎（Ⅰ）若b=2，求c边的长；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．‎ ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】（ I） 由正弦定理化简已知可得a2﹣b2=c2﹣bc，代入a=2，b=2，即可解得c的值．‎ ‎（II） 由（I）可求cosA=，可求A=60°，又由基本不等式可得bc≤4，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】解：（ I） 由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为a=2且b=2，所以解得：c=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（II） 由（I）知，则A=60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为a=2，‎ ‎∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴，此时三角形是正三角形﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．‎ ‎（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明所得的结论．‎ ‎【考点】数列递推式；数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测an的值．‎ ‎（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即ak=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故an=2﹣都成立．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3‎ ‎∴a1=‎ ‎ 当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5‎ ‎∴a2=，‎ 同样令n=3，则可求出a3=‎ ‎∴a1=，a2=，a3=‎ 猜测an=2﹣‎ ‎（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；‎ ‎②假设n=k时，命题成立，即ak=2﹣，‎ 当n=k+1时，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，‎ 且a1+a2+…+ak=2k+1﹣ak ‎∴2k+1﹣ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，‎ ‎∴2ak+1=2+2﹣，即ak+1=2﹣，‎ 即当n=k+1时，命题成立．‎ 根据①②得n∈N+，an=2﹣都成立．‎ ‎　‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=的中点．‎ ‎（1）求证：EM∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C（3，﹣2，0），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0）．‎ ‎（1）求出平面ADF的一个法向量是，由，得，即可得EM∥平面ADF．‎ ‎（2）平面ADF的一个法向量是．可得平面ABF的法向量是．‎ cos＜＞=，即可求得二面角D﹣AF﹣B的大小．‎ ‎【解答】解：因为BE⊥平面ABD，AB⊥DB，故以B为原点，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），‎ C（3，﹣2，0），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0）．‎ ‎（1），，‎ 设平面ADF的一个法向量是，‎ 由，令y=3，则．‎ 又因为 所以，又EM⊄平面ADF，所以EM∥平面ADF．‎ ‎（2）平面ADF的一个法向量是．‎ 可得平面ABF的法向量是．‎ cos＜＞=，‎ ‎∵二面角D﹣AF﹣B为锐角，∴二面角D﹣AF﹣B的大小为．‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2 的正方形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C，D分别为长轴的左右端点，O为坐标原点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由于四边形F1AF2B是边长为2 的正方形，可得a=2，b=c，再利用a2=b2+c2即可解出b，c；‎ ‎（2）判断是定值4．设M（2，m），P（s，t），C（﹣2，0）．则直线CM的方程为：，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点M的坐标用m表示，再利用数量积运算即可得出是定值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形F1AF2B是边长为2 的正方形，∴a=2，b=c，‎ ‎∵a2=b2+c2，∴b=c=．‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）判断是定值4．下面给出证明：‎ 设M（2，m），P（s，t），C（﹣2，0）．‎ 则直线CM的方程为：，联立，‎ 化为（8+m2）x2+4m2x+4m2﹣32=0，‎ ‎∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16m4﹣4（8+m2）（4m2﹣32）＞0，化为1＞0．‎ ‎∴﹣2×s=，解得．‎ ‎∴．∴P．‎ ‎∴===4为定值．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣kx+k（k∈R）．‎ ‎（1）试讨论函数y=f（x）的单调性；‎ ‎（2）若该函数有两个不同的零点x1，x2，试求：（i）实数k的取值范围；（ii）证明：x1+x2＞4．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）（i）结合题意得到k＞0时，函数的单调性，从而求出k的范围即可；‎ ‎（ii）先求出两个根的范围，问题转化为数x2﹣x1=ln（x2﹣1）﹣ln（x1﹣1），令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，问题转化为证明y1+y2＞2，‎ 即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣kx+k，（k∈R），则f′（x）=ex﹣k，‎ 讨论：若k≤0，则f′（x）＞0，故f（x）在定义域上单调递增；‎ 若k＞0，令f′（x）＞0，解得x＞lnk；令f′（x）＜0，解得x＜lnk，‎ 综上：当k≤0时，f（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间；‎ 当k＞0时，f（x）的单调递增区间为（lnk，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lnk），‎ ‎（2）（i）由题意：由（1）可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；‎ k＞0时，令f（lnk）=elnk﹣klnk+k＜0，解得k＞e2，‎ 此时f（1）=e＞0；x→+∞时，f（x）→+∞＞0，‎ 因此会有两个零点，符合题意．‎ 综上：实数k的取值范围是（e2，+∞）；‎ ‎（ii）：由（i）可知：k＞e2时，此时f（1）=e＞0；x→+∞时，f（x）→+∞＞0，且f（2）=e2﹣k＜0，‎ 因此x1∈91，2），x2∈（2，+∞），‎ 由=kx1﹣k， =kx2﹣k，相除后得到=，‎ 取对数x2﹣x1=ln（x2﹣1）﹣ln（x1﹣1），令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，‎ 即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，要证 x1+x2＞4，即证y1+y2＞2，‎ 即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，‎ 构造函数h（t）=lnt﹣（t＞1），‎ 由h′（t）=＞0，y=h（t）单调递增，‎ 则h（t）＞h（1）=0，故不等式成立，‎ 综上，原不等式成立．‎