2018-2019学年四川省树德中学高二下学期4月阶段性测试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年四川省树德中学高二下学期4月阶段性测试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 四川省树德中学2018-2019学年高二下学期4月阶段性测试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A．-1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的乘法运算，化简，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以其虚部为-1‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的乘法运算，以及复数的概念，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎2．若为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算法则，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎3．（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据微积分基本定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的计算，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.‎ ‎4．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为表示圆面积的一半，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的计算，熟记定积分的几何意义即可，属于基础题型.‎ ‎5．已知点，直线，则点到距离的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由点到直线距离公式得到，点到直线的距离为，再令，用导数的方法求其最值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 点到直线的距离为：，‎ 令，则，‎ 由得，‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，先将问题转为为求函数最值的问题，对函数求导，用导数的方法求函数最值，即可求解，属于常考题型.‎ ‎6．在上的极小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，用导数方法判断函数单调性，进而可求出极值.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，令，所以或；‎ 因此，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以当时，取极小值，且极小值为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的极小值，通常需要对函数求导，用导数的方法处理即可，属于常考题型.‎ ‎7．将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积最大时，长为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，得到，根据圆柱的体积公式，表示出圆柱的体积，再用导数的方法求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为矩形周长为4，‎ 设，（）则，‎ 所以将周长为4的矩形绕旋转一周所得圆柱体积为 ‎，，‎ 则，‎ 由得，解得；‎ 由得，解得；‎ 所以在上单调递增；在上单调递减；‎ 所以当，即，时，‎ 取得最大值.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数最值即可，属于常考题型.‎ ‎8．如图，正方形内切圆，一直线由开始绕逆时针匀速旋转，角速度为弧度/秒，经秒后阴影面积为，则图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图像可知，阴影部分面积一直增加，再结合阴影部分面积增加的快慢，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 观察图像可知，面积变化情况为：一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢；‎ 因此，对应函数的图像变化率先增大后减小，故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的识别，根据题意能确定函数变化率即可，属于常考题型.‎ ‎9．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）‎ A．项 B．项 C．项 D．项 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；‎ 当时，左边，共有项；‎ 所以从“到”左边增加的项数是项.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.‎ ‎10．函数，有公共点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先得到关于的方程有实根，再令，用导数方法求出其最小值，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，有公共点，‎ 所以关于的方程有实根，‎ 令，，则，‎ 由得（不在范围内，舍去），‎ 所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 所以；‎ 为使关于的方程有实根，‎ 只需，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，根据函数有交点，转化为方程有实根的问题来处理，构造函数，利用导数的方法求函数最值，即可求解，属于常考题型.‎ ‎11．若，则，解集（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数解析式，以及函数奇偶性的定义，判断为偶函数，再用导数的方法判断函数单调性，再由函数奇偶性将不等式转化，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 即函数为偶函数，‎ 又，所以，‎ 当时，恒成立；‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 故函数在上单调递增；‎ 又为偶函数，所以在上单调递减；‎ 所以，由可得，所以，‎ 即，解得.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，以及导数的应用，熟记函数奇偶性的定义，以及用导数的方法判断函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎12．已知，恰有三个不同零点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到关于的方程有三个不同实根，进而得到曲线与直线、共有3个交点，求出过原点的曲线的切线斜率，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由得；‎ 又恰有三个不同零点，‎ 则关于的方程有三个不同实根，‎ 即曲线与直线、共有3个交点，‎ 设曲线上任意一点为，‎ 由得，所以该点处的切线斜率为，‎ 故过点的切线方程为，‎ 若该切线过原点，则，解得，此时，‎ 因为，所以直线与曲线有两交点，‎ 因此直线与曲线只有一个交点，‎ 所以与曲线相切，因此.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据函数的零点求参数的问题，可用导数的方法处理，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎13．由曲线，所围成图形的面积 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为： .‎ 考点：定积分.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算，求出复数，进而可得出其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此其共轭复数为 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型.‎ ‎15．，在上有最大值，则最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因此，‎ 解得，所以，‎ 由得或；由得，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；‎ 所以当时，取极大值，由得或；‎ 又在上有最大值，‎ 所以只需.‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.‎ ‎16．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，‎ 因为函数在上单调增，可得在上恒成立，‎ 即，令，则，，‎ 所以，因为在上是增函数，‎ 所以其最大值为，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．若.‎ ‎（1）指出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求在的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）在，递增；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，得到函数单调性，进而可求出其最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 所以，‎ 由可得或；‎ 由可得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；‎ 故函数的单调递增区间为，；‎ ‎（2）因为，‎ 所以由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此，又，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常先对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎18．已知在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求常数取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意得到，对函数求导，根据题意得到，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，得到，对函数求导，用导数方法得到其最大值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为过点，所以，即；‎ 又，‎ 所以曲线在点处切线斜率为；‎ 所以切线方程为：，‎ 又在点处的切线方程为，‎ ‎，.‎ ‎（2）由（1）可得，所以，‎ 由得；由得；‎ 所以在上单调递增，在上单调递减；‎ 因此；‎ 又 ‎，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由曲线的切线方程求参数，以及根据函数最值求参数的问题，熟记导数的几何意义，以及利用导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.‎ ‎19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足，其中，为常数.已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若该商品成本为5元/千克，试确定销售价格值，使商场每日销售该商品所获利润最大.‎ ‎【答案】（1）（2）时，利润最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，以及题中条件，列出等式，即可求出的值；‎ ‎（2）设利润为，根据题意得到，用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克，‎ 所以有，解得.‎ ‎（2）设利润为，由题意可得，‎ ‎，‎ 所以，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 所以当时，取得最大值.‎ 即，当销售价格为6时，商场每日销售该商品所获利润最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法求其最值即可，属于常考题型.‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）若在有唯一零点，求值；‎ ‎（2）求在的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由得，令，用导数的方法求其最小值，进而可得出结果；‎ ‎（2）先对求导，分别讨论，，三种情况，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ 令，，由得；‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 故 因为在有唯一零点，所以只需与直线有一个交点，‎ ‎ .‎ ‎（2），.‎ 当时，恒成立，所以在上单调递增，因此最小值为；‎ 当时，由得；由得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此；‎ 当时，在上恒成立，所以在上单调递减；因此，最小值为；‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的零点，最值等，属于常考题型.‎ ‎21．.‎ ‎（1）当时，，求范围.‎ ‎（2）若有两个极值点，且，求范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，分别讨论和两种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）先根据有两个极值点，得到方程有两不等正根；求出，再由根与系数关系，得到，，进而得到，，令，，用导数的方法判断其单调性，得到其值域即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为.‎ 当时，在上显然恒成立，所以上单调递增，‎ 满足题意；‎ 当时，不妨令，‎ 则时，，单调递减，不满足题意；‎ 综上：.‎ ‎（2），，‎ 因为有两个极值点，所以有两个不同零点，‎ 即方程有两不等正根；‎ 所以，解得；‎ 又，‎ 所以，，‎ 令，，‎ 则，‎ 由得；由得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ 又，，‎ ‎，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，根据不等式恒成立求参数，以及求函数的最值等问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）求证：，对恒成立.‎ ‎（2）若，不等式，在恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先令，用导数的方法求出其最大值，得到恒成立，进而可得出结论成立；‎ ‎（2）先由题意得到在恒成立，令，用导数方法判断其单调性，得到其最小值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，则，‎ 由得；由得；‎ 在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎，，因此，‎ 即，对恒成立.‎ ‎（2）由，得，‎ 令.‎ 则.‎ 令，则，在上单调递增，‎ 又，.‎ 故，使.‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 最小为.‎ 最大为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎