宁夏银川市第二中学2020届高三上学期统练二数学（文）试题 含解析

宁夏银川市第二中学2020届高三上学期统练二数学（文）试题 含解析

宁夏银川市第二中学2019-2020学年第一学期高三年级统练二数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 设x∈R，则“|x|＞‎3”‎是“2x＞‎8”‎的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数则的值为（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 9‎ 4. 已知a=log27，b=log38，c=‎0.30.2‎，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（　　）‎ A. B. ​ C. D. ‎ 6. 已知cos（+α）=，α∈（，π），则cosα=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 函数f（x）=2sinx-sin2x在[0，2π]的零点个数为（）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 8. 要得到y=sinx函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）‎ A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度 9. ‎.若，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则使f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知方程x2+3ax+‎3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（　　）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ 12. 函数y=ln|x|+1的图象大致为（　　）‎ 宁夏银川市第二中学2019-2020学年第一学期高三年级统练二数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 设x∈R，则“|x|＞‎3”‎是“2x＞‎8”‎的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数则的值为（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 9‎ 4. 已知a=log27，b=log38，c=‎0.30.2‎，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（　　）‎ A. B. ​ C. D. ‎ 6. 已知cos（+α）=，α∈（，π），则cosα=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 函数f（x）=2sinx-sin2x在[0，2π]的零点个数为（）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 8. 要得到y=sinx函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）‎ A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度 9. ‎.若，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则使f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知方程x2+3ax+‎3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（　　）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ 12. 函数y=ln|x|+1的图象大致为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 1. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ______ ．‎ 2. 函数y=tan（2x+）的最小正周期是______ ．‎ 3. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，M（，）为其终边上一点，则cos2α=______‎ 4. 已知，tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°，则sinα=______‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 5. 已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=x2．a∈R． （1）求函数f（x）的极值点； （2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围． ‎ 6. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求A，ω的值； （2）求f（x）的单调增区间； （3）求f（x）在区间上的最大值和最小值． ‎ ‎ ‎ 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求cosB； （2）若a=2，求△ABC的面积． ‎ 2. 已知函数f（x）= （1）求f（x）的对称中心 （2）若x，f（x）=，求cos2x的值 ‎ 3. 已知函数f(x)＝excosx－x.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值． ‎ 4. 直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线． （1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （2）射线与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|． ‎ 5. 设函数f（x）=|x+a|+|x-a2-a|（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤5的解集； （Ⅱ）若存在a∈[-1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：对于集合A，由x2-x-6≤0得， 所以，（x+2）（x-3）≤0， 解得，x∈[-2，3]， 即A={x|-2≤x≤3}，而B={x|x＞1}， 所以，A∩B={x|1＜x≤3}， 故选：B． 先解出集合A，由（x+2）（x-3）≤0得出A={x|-2≤x≤3}，再确定A∩B即可． 本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：|x|＞3，则x＜-3或x＞3，所以2x＞8或0＜2x，故充分性不成立； 若2x＞8，则x＞3，所以|x|＞3，故必要性成立， 所以“|x|＞‎3”‎是“2x＞‎8”‎的必要不充分条件， 故选：B． 分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出． 本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵ ∴f（）==-2， 则=f（-2）==9 故选：D． 先根据已知函数可求f（）==-2，然后代入可求=f（-2） 本题主要考查了分段函数在函数求值中的应用，属于基础是试题 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意，可知： a=log27＞log24=2， b=log38＜log39=2， c=‎0.30.2‎＜1， ∴c＜b＜a． 故选：A． 本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果． 本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0， 故g（x）在R上单调递增， 又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0， ∴g（x）＞0的解集为x＞， ∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0， 即g（sinα）＞0， ∴sinα＞，又α∈[0，2π]， ∴＜α＜． 故选：A． 令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集． 本题考查了利用导数研究函数单调性，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：已知cos（+α）=，α∈（，π）， 所以：， 故cos． 故选：C． 直接利用三角函数诱导公式的应用和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题． 解函数f（x）=2sinx-sin2x=0，在[0，2π]的解，即2sinx=sin2x令左右为新函数h（x）和g（x），作图求两函数在区间的交点即可．‎ ‎【解答】 解：函数f（x）=2sinx-sin2x在[0，2π]的零点个数， 即：2sinx-sin2x=0在区间[0，2π]的根个数， 即2sinx=sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x）， h（x）=2sinx和g（x）=sin2x， 作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知： h（x）=2sinx和g（x）=sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个． 故选：B． ‎ ‎ 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵只需将函数的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）函数的图象； 再向右平移个单位长度，可得y=sinx函数的图象， 故选：A． 由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：cos（2α+）=-sin2α=-=-=-2×=-， 故选：A． 由cos（2α+）=-sin2α=-=-，再代值计算即可． 本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：结合图象可知，A=2，f（x）=2sin（ωx+φ）， ∵f（0）=2sinφ=1， ∴sinφ=， ∵|φ|＜， ∴φ=，f（x）=2sin（ωx+）， 结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π， ∴ω=2，f（x）=2sin（2x+），其对称轴x=，k∈z， ∵f（a+x）-f（a-x）=0成立， ∴f（a+x）=f（a-x）即f（x）的图象关于x=a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a= 故选：B． 结合图象由最值可求A，由（0）=2sinφ=1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解． 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵方程x2+3ax+‎3a+1=0两根tanα、tanβ， ∴tanα+tanβ=-‎3a，tanαtanβ=‎3a+1， ∴tan（α+β）==1， 又∵α，β∈（-，）， tanα+tanβ=-‎3a＜0，tanαtanβ=‎3a+1＞0， ∴tanα＜0，tanβ＜0，∴α，β∈（-，0）， ∴α+β∈（-π，0），结合tan（α+β）=1， ∴α+β=-， 故选：D． 由韦达定理和两角和的正切公式可得tan（α+β）=1，进一步缩小角的范围可得α+β∈（-π，0），则α+β可求． 本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理的应用，属中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，以-x 代替x，函数值不变． ∴函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点． 在（0，+∞）上单调递增，过点（1，1），x趋向0时，y趋向-∞， 结合图象可知，应选A． 故选：A． 分析解析式特点，可得函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．再根据在（ 0，+∞）上单调递增， 图象过点（1，1），选出满足条件的选项． 本题考查利用函数解析式分析函数图象的特征，注意利用奇偶性、单调性、特殊点及函数值的范围． ‎ ‎13.【答案】-8 ‎ ‎【解析】解：∵f（x）是奇函数， ∴f（x-4）=-f（x）=f（-x）， ∴f（x）的图象关于直线x=-2对称， 又f（x-4）=-f（x），∴f（x）=-f（x+4）， ∴f（x-4）=f（x+4），∴f（x）周期为8， 作出f（x）的大致函数图象如图： 由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=-6对称，两个关于直线x=2对称， ∴x1+x2+x3+x4=-6×2+2×2=-8． 故答案为：-8． 由条件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题． 本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵y=tan（2x+）， ∴函数的周期T=， 故答案为：． 根据正切函数的周期公式即可得到结论． 本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M（，）， |OM|=， ∴cosα=，则cos2α=2cos2α-1=2×=． 故答案为：． 利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由二倍角公式求cos2α． 本题考查任意角的三角函数的定义，训练了倍角公式的应用，是基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=， 即，∴cosα=2sinα ‎， 又sin2α+cos2α=1，解得sinα=． 故答案为：． 由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解sinα． 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题． 17.【答案】解：（1）f′（x）=-a=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调增，不存在极值点； 当a＞0，f′（x）=0，则x=a，x∈（0，a），f′（x）＜0，x∈（a，+∞），f′（x）＞0， ∴x∈（0，+∞），有极小值，无极大值．且极小值f（a）=lna-a2； （2）f（x）≤g（x）恒成立，即lnx-ax≤x2（x＞0），可得a≥， 令h（x）=（x＞0）， 则h′（x）═=， 令t（x）=1-x2-lnx（x＞0），t′（x）=-2x-， ∵x＞0，t′（x）＜0恒成立，即函数t（x）在（0，+∞）单调递减， 而t（1）=1-12-ln1=0， 所以x∈（0，1），t（x）＞0，x∈（1，+∞），t（x）＜0， 即x∈（0，1），h′（x）＞0， x∈（1，+∞），h′（x）＜0， 所以h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）单调递减． 所以函数h（x）在（0，+∞）， h（x）≤h（1）=-1， 所以a的取值范围（-∞，-1]． ‎ ‎【解析】（1）先求导，再利用参数的范围求极值点； （2）函数恒成立转化为a大于等于一个函数，求出另一个函数的最大值，进而求出a的取值范围． 考查参数的取值不同得到的极值，恒成立问题分离出参数大于等于另一个函数，转化为求另一个函数的最大值问题，属于中难度题． 18.【答案】解：（1）由图象知A=1， 由图象得函数的最小正周期为， 则由得ω=2 （2）∵， ∴． ∴． 所以f（x）的单调递增区间为． （3）∵，∵， ∴． ∴． 当，即时，f（x）取得最大值1； 当，即时，f（x）取得最小值． ‎ ‎【解析】（1）通过函数的图象直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值； （2）根据函数的单调增区间，直接求f（x）的单调增区间即可； （3）通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f（x）的最大值和最小值． 本题考查函数解析式的求法，正弦函数的单调性的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力． 19.【答案】解：（1）∵2sinB=sinA，∴2b=a，即a=‎ ‎． 又∵c=b，∴cosB=． （2）∵a=2，∴c=3． ∵cosB=，∴sinB=， ∴S△ABC=． ‎ ‎【解析】（1）由2sinB=sinA，可得2b=a，再利用余弦定理求出cosB即可； （2）利用S△ABC=a•c•sinB求出三角形的面积． 本题考查三角形的正余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属基础题． 20.【答案】解：（1）f（x）= == ==． 由，得x=，k∈Z． ∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z； （2）由f（x）=，得， ∴sin（2x-）=， ∵x，∴2x-∈[-，]，则cos（2x-）=±． 当cos（2x-）=时，cos2x=cos[（2x-）+] =cos（2x-）cos-sin（2x-）sin==； 当cos（2x-）=-时，cos2x=cos[（2x-）+] =cos（2x-）cos-sin（2x-）sin=． ‎ ‎【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由相位终边落在y轴上求得x值，则答案可求； （2）由f（x）=求得sin（2x-）=，分类求出cos（2x-），再由cos2x=cos[（2x-）+]，展开两角和的余弦求解． 本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查计算能力，是中档题． 21.【答案】解：（1）函数f（x）=excosx-x的导数为=ex（cosx-sinx）-1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为， ,切点为（0，1）， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； （2）函数f（x）=excosx-x的导数为=ex（cosx-sinx）-1， 令g（x）=ex（cosx-sinx）-1， 则g（x）的导数为 ​=ex（cosx-sinx-sinx-cosx） =-2ex•sinx， 当x∈[0，]，可得=-2ex•sinx≤0， 即有g（x）在[0，]上单调递减， 可得g（x）≤g（0）=0，即, 则f（x）在[0，]上单调递减， 即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0-0=1； 最小值为f（）=cos-=-． ‎ ‎【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于较易题． （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； （2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值． 22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数）化为普通方程为x2+y2=2x ‎， 所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ， 曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3． （Ⅱ）射线与曲线C1的交点的极径为， 射线与曲线C2的交点的极径满足， 解得， 所以． ‎ ‎【解析】（1）根据曲线C1的参数方程，消去α得出普通方程，再化为极坐标方程，由曲线C2的普通方程得出极坐标方程； （2）将射线方程分别代入曲线C1和C2，求出ρ1和ρ2，作差得到弦长AB的长度． 本题考查参数方程与普通方程，以及普通方程和极坐标方程的互化，以及利用极坐标方程求弦长的问题，属于中档题目． 23.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|=， x≤-1时，不等式f（x）≤5化为-2x+1≤5，解得x≥-2，即-2≤x≤1；1 -1＜x＜2时，不等式f（x）≤5化为3≤5，不等式恒成立，即-1＜x＜2； x≥2时，不等式f（x）≤5化为2x-1≤5，解得x≤3，即2≤x≤3； 综上所述，不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}； （Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，∴f（x）min≥b， ∵f（x）=|x+a|+|x-a2-a|≥|（x+a）-（x-a2-a）|=|a2+‎2a|， ∴f（x）min=|a2+‎2a|≥b对任意a∈[-1，0]恒成立， ∵|a2+‎2a|=|（a+1）2-1|， ∴当a=0时，|a2+‎2a|取得最小值为0， ∴实数b的取值范围是（-∞，0]． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）a=1时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f（x）≤5的解集即可； （Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，等价于f（x）min≥b，求出f（x）min在a∈[-1，0]的最小值即可． 本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，是中档题． ‎