浙江省台州市五校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题

浙江省台州市五校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题

www.ks5u.com 台州市五校2019-2020学年高一上学期期中联考 数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 ‎1.设全集U＝R，集合A＝｛x｜x＜1或x＞4｝，B＝｛x｜x≥2｝，则∩B＝（ ）‎ A. ［1，2］ B. ［2，4］ C. ［2，＋∞） D. （－∞，4］‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A的补集，进而求交集即可.‎ ‎【详解】∵全集U＝R，集合A＝｛x｜x＜1或x＞4｝，‎ ‎∴，又B＝｛x｜x≥2｝，‎ ‎∴［2，4］，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查交并补运算，考查对概念的理解与运用，属于基础题.‎ ‎2.下列各组函数表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求定义域，容易看出选项A，B，D的两函数的定义域都不相同，从而判断选项A，B，D的两函数都不是同一函数，即判断出A，B，D都错误，只能选C．‎ ‎【详解】对于A，，，定义域不相同，故不是同一函数；‎ 对于B，，，定义域不相同，故不是同一函数；‎ 对于C，，，定义域和解析式都相同，是同一函数；‎ 对于D，f（x）＝x+1，，定义域不同，不是同一函数．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．‎ ‎3.己知函数，那么的值为（ ）‎ A. 9 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对应法则先求，进而可得结果.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查对对应法则的理解，属于常考题型.‎ ‎4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求幂函数的表达式，进而求值即可.‎ ‎【详解】设幂函数f（x）＝xα，‎ 因为幂函数的图象经过点（2，），‎ 所以2α，解得α，‎ 则幂函数的解析式为，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题.‎ ‎5.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指对函数的单调性及中间量“1”，即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查比较实数值的大小，考查指对函数的单调性，考查函数思想.‎ ‎6.满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合的个数是（ ）‎ A. 16 B. 8 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集概念逐一列举即可.‎ ‎【详解】解：∵{1，2，3}∪A＝{1，2，3，4}，‎ ‎∴A＝{4}；{1，4}；{2，4}；{3，4}；{1，2，4}；{1，3，4}；{2，3，4}；{1，2，3，4}，‎ 则集合A的个数为8．‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎7.函数的一个零点存在的区间是（ ）‎ A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式可得 f（1），f（0）的值，可得f（1）f（0）＜0，再根据函数的零点的判定定理得出结论．‎ ‎【详解】解：∵函数是连续函数，‎ ‎∴f（1）＝1+4﹣4＝1＞0，f（0）＝﹣4＜0，‎ 故有 f（1）f（0）＜0，‎ 故函数的零点所在的一个区间是（0，1），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. （0，1） C. （1，＋∞） D. （－1，0）∪（0，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的性质画出满足题意的草图，数形结合即可得到结果.‎ ‎【详解】∵函数是定义在上的奇函数，且，‎ ‎∴，‎ 又因为在（0，+∞）上为增函数且奇函数的图象关于原点对称．‎ ‎∴函数的大致图象如图：‎ 由可得： 或，‎ ‎∴满足的的取值范围是（－1，0）∪（0，1）‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想，属于常考题型.‎ ‎9.若函数，，则函数的值域（ ）‎ A. ［4，5］ B. ［4，］ C. ［，5］ D. ［1，3］‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的值域，然后结合对勾函数的图象与性质得到结果.‎ ‎【详解】∵函数，，‎ ‎∴，‎ 记，‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的值域［4，5］，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查复合函数的值域问题，转化为两个简单函数的值域问题，涉及到对数函数与对勾函数的值域，考查换元法，属于常考题型.‎ ‎10.若，实数，满足，且当时，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得 ，利用单调性布列方程组，即可得到结果.‎ ‎【详解】由，可得， ，‎ ‎∴在上单调递减，又，‎ ‎∴，‎ 由（），可得，‎ ‎∴，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查指对运算、函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.设集合A＝｛1，2｝，则的子集的个数为___________，真子集的个数为___________．‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). 3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将集合A的真子集按含有元素从少到多一一列出即可，勿忘∅是任何集合的子集．‎ ‎【详解】∵集合A＝{1，2}，‎ ‎∴集合A的子集有：，{1}，{2}，{1，2}，共4个，‎ 集合A的真子集有∅，{1}，{2}，共3个，‎ 故答案为：4,3‎ ‎【点睛】本题考查集合的子集个数问题，属基本题．‎ ‎12.若＝10，则___________，___________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把指数式化为对数式，即可得到，结合换底公式及对数运算可得.‎ 详解】∵＝10，∴，，‎ ‎∴，‎ 故答案为：，1.‎ ‎【点睛】本题考查对数运算，考查对数换底公式及指对互化，考查计算能力.‎ ‎13.已知函数，若为偶函数，则___________；若在上是单调函数，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). （－∞，16］∪［40，＋∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数定义可得k值，结合二次函数的单调性得到的取值范围.‎ ‎【详解】∵函数f（x）为偶函数，‎ ‎∴对称轴为y轴，即0，则k＝0；‎ ‎∵在上是单调函数，‎ ‎∴ 或 ‎∴或 故答案为：0，（－∞，16］∪［40，＋∞）.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎14.函数定义域是___________，值域是___________．‎ ‎【答案】 (1). ［－2，2］ (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得到定义域，利用内外层函数的图象与性质得到值域.‎ ‎【详解】解：要使函数有意义，‎ 则，∴，‎ ‎∴函数的定义域是［－2，2］；‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：［－2，2］，‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数的定义域与值域，考查函数的基本性质，考查复合函数的性质，考查转化能力.‎ ‎15.已知函数是定义在上的偶函数，若在上为增函数，且满足，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】（－，3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性与单调性可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】∵函数是定义在上的偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上为增函数，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴，‎ 故答案：（－，3）‎ ‎【点睛】本题考查抽象不等式的解法，考查函数的单调性与奇偶性，考查转化能力，属于常考题型.‎ ‎16.若函数，值域为，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】a ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得g（x）＝可以取所有的正值，结合函数的单调性可得g（0）.‎ ‎【详解】解：设g（x）＝，由的值域为R，‎ 根据对数函数的图象性质得出：g（x）＝可以取所有的正值，‎ 又g（x）＝在上单调递增，‎ ‎∴g（0）＝，‎ 即a，‎ 故答案为：a ‎【点睛】本题考查指数型复合函数的值域问题，考查指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于中档题.‎ ‎17.函数是定义在上的奇函数，已知时，恒有，且当时，有，若函数，则关于的方程在区间上的实根的个数是___________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图象，数形结合，可得答案．‎ ‎【详解】根据图像变换规律，画出两个函数的图象：‎ 由图可得：两个函数图象有10个交点，‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数图象，函数的零点与方程的根，数形结合思想，难度中档．‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.已知集合A＝｛x｜a＜x＜1｝，集合．‎ ‎（1）当a＝－3时，求；‎ ‎（2）若A∩B＝A，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）｛x｜1≤x＜2｝； （2）≥0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合B，进行交补运算即可；‎ ‎（2）由A∩B＝A，可得AB，从而得到不等式，解之即可.‎ ‎【详解】（1）∵a＝－3‎ ‎∴A＝｛x｜－3＜x＜1｝，B＝｛x｜0＜x＜2｝‎ ‎∴＝｛x｜1≤x＜2｝，‎ ‎（2）A∩B＝A，所以AB，‎ 又A＝｛x｜a＜x＜1｝，B＝｛x｜0＜x＜2｝‎ ‎∴≥0‎ ‎【点睛】本题考查了交补集及其运算，考查了对数不等式的解法，解题关键理解A∩B＝A，是基础题．‎ ‎19.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）； （2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用有理数指数幂的运算性质求解；‎ ‎（2）利用对数的性质和运算法则求解．‎ ‎【详解】（1）原式＝－‎ ‎（2）原式＝‎ ‎【点睛】本题考查有理数指数幂和对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．‎ ‎20.已知函数满足（为常数），且＝3．‎ ‎（1）求实数的值，并求出函数的解析式；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性，并用定义证明你的结论．‎ ‎【答案】（1），（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由＝3得到，利用方程组思想得到函数的解析式；‎ ‎（2）利用定义法证明函数的单调性.‎ ‎【详解】（1）∵＝3，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 易得：‎ ‎∴ ；‎ ‎（2）函数在（0，）上递减，在（，+∞）上递增；‎ 设0＜x1＜x2，‎ f（x1）﹣f（x2）＝（2x1）﹣（2x2），‎ 又由0＜x1＜x2，‎ 则2x1x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0，‎ 则有f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）为减函数，‎ 设x1＜x2，‎ f（x1）﹣f（x2）＝（2x1）﹣（2x2），‎ 又由x1＜x2，‎ 则2x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0，‎ 则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（，+∞）上递增．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的解析式的求法和利用定义法证明函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎21.己知函数是函数值不恒为零的奇函数，函数．‎ ‎（1）求实数值，并判断函数的单调性；‎ ‎（2）解关于的不等式．‎ ‎【答案】(1) a＝1 ,增函数，(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数定义得到a＝1，由单调性的性质：增函数减函数=增函数，可得结果.‎ ‎（2）由题意可得，借助单调性布列不等式组即可.‎ ‎【详解】（1）函数f（x）＝log2，且f（x）为不恒为零的奇函数，‎ 可得f（﹣x）＝﹣f（x），即log2log2log2，‎ 即为，可得9﹣x2＝9﹣a2x2，‎ 即a2＝1，可得a＝±1，‎ 当a＝﹣1时，f（x）＝log21＝0，不成立；‎ 当a＝1时，f（x）＝log2，‎ 综上可得a＝1，‎ ‎∴在上为增函数；‎ ‎（2）由（1）知：在上为增函数，在上为增函数，‎ ‎∴在上为增函数，‎ 由可得：‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴不等式的解集为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，根据定义法是解决本题的关键；本题考查了不等式的解法，利用函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）对于实数，，若，有，求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若，函数，求函数在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（3）若存在实数，使得对于任意实数，都有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，（2）见解析，（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0，可得方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）化简函数，数形结合求函数的最值；‎ ‎（3）令，,结合二次函数的图像与性质可得结果.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴‎ 整理得：‎ ‎∴ ‎ ‎∵x1，x2∈R，x1＜x2，‎ ‎∴△＞0，‎ 故方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（2）,‎ 作出其函数图象为：‎ 当时，在上单调递增，‎ ‎∴，；‎ 令，又，∴，‎ ‎∴当时，，；‎ 当时，，；‎ 综上：当或时，，；‎ 当时，，；‎ ‎（3）由题意可得，‎ 令，‎ ‎∴，‎ ‎∴对称轴 ， ‎ ‎∴，‎ 记 ‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 求根公式得： ‎ ‎∴ ‎ ‎∴即，‎ 故实数的取值范围 ‎【点睛】本题考查与二次函数相关的函数的图象与性质，考查零点分布问题、函数最值问题、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，等价转化思想，属于较难题目.‎ ‎ ‎ ‎ ‎