数学卷·2018届吉林省吉林市舒兰一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届吉林省吉林市舒兰一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年吉林省吉林市舒兰一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5‎ ‎2．下列求导结果正确的是（　　）‎ A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°‎ C．[ln（2x）]′= D．（）′=‎ ‎3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（　　）‎ A．推理形式错误 B．结论错误 C．小前提错误 D．大前提错误 ‎4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（　　）‎ A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0‎ C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0‎ ‎5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（　　）‎ A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 ‎8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）‎ A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1‎ ‎9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）‎ ‎13．（x+cos2x）dx=　　．‎ ‎14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　　．”‎ ‎15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是　　．‎ ‎16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．‎ ‎17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．‎ ‎（1）求a、b、c的值；‎ ‎（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．‎ ‎18．已知函数f（x）=x2+lnx．‎ ‎（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．‎ ‎19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）‎ ‎（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；‎ ‎（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．‎ ‎20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，‎ ‎（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=（1﹣x）ex﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省吉林市舒兰一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．‎ ‎【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，‎ ‎∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．‎ ‎∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．下列求导结果正确的是（　　）‎ A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°‎ C．[ln（2x）]′= D．（）′=‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．‎ ‎【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；‎ 对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；‎ 对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；‎ 对于D， ===，∴D式正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（　　）‎ A．推理形式错误 B．结论错误 C．小前提错误 D．大前提错误 ‎【考点】演绎推理的基本方法．‎ ‎【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；‎ ‎【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，‎ ‎∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，‎ 首先大前提错误，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（　　）‎ A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0‎ C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0‎ ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．‎ ‎【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线 所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由，可得或 ‎∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：‎ ‎（﹣x+）dx ‎=（﹣x2+x）‎ ‎=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】定积分的简单应用．‎ ‎【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．‎ ‎【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．‎ 故选A ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（　　）‎ A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），‎ 函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．‎ 排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；‎ x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）‎ A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．‎ ‎【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），‎ 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；‎ ‎∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，‎ ‎∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．‎ ‎∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，‎ ‎∴极大值等于0或极小值等于0．‎ ‎∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，‎ ‎∴c=﹣2或2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．‎ ‎【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线 y=x2﹣lnx相切，‎ 设P（x0，x02﹣lnx0）则有 k=y′|x=x0=2x0﹣．‎ ‎∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．‎ ‎∴P（1，1），‎ ‎∴d==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．‎ ‎【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），‎ 且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，‎ ‎∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；‎ 当x=﹣2时，f′（x）=0；‎ 当x＜﹣2时，f′（x）＜0．‎ ‎∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；‎ 当x=﹣2时，xf′（x）=0；‎ 当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．‎ ‎【解答】解：∵函数 ‎∴‎ ‎∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点 ‎∴当时，b=x2，x∈（1，2）‎ ‎∴b∈（1，4）‎ 令f'（x）＞0 得到 即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）‎ ‎∵b∈（1，4）‎ ‎∴（﹣∞，﹣2）适合题意 故选D ‎　‎ ‎12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2012） B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，0）‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），‎ 得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，‎ 即[x2f（x）]′＜x3＜0，‎ 令F（x）=x2f（x），‎ 则当x＜0时，‎ 得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，‎ ‎∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），‎ 即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，‎ ‎∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，‎ ‎∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，‎ 即x＜﹣2016，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）‎ ‎13．（x+cos2x）dx=　0　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】方法一：由（x+cos2x）dx=（x2+sin2x）‎ ‎=sinπ=0；‎ 方法二：（x+cos2x）dx=xdx+cos2xdx，由y=x为奇函数，y=cos2x为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sinπ=0．‎ ‎【解答】解：方法一：由（x+cos2x）dx=（x2+sin2x）‎ ‎=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sinπ=0，‎ ‎（x+cos2x）dx=0，‎ 故答案为：0；‎ 方法二：（x+cos2x）dx=xdx+cos2xdx，‎ 由y=x为奇函数，y=cos2x为偶函数，‎ ‎∴由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x）=2sinπ=0，‎ ‎∴（x+cos2x）dx=xdx+cos2xdx=0，‎ ‎　‎ ‎14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2‎ ‎”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则　S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2　．”‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】从平面图形到空间图形的类比 ‎【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．‎ 故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是　0＜t＜1或2＜t＜3　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．‎ ‎【解答】解：∵函数 ‎∴f′（x）=﹣x+4﹣‎ ‎∵函数在[t，t+1]上不单调，‎ ‎∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解 ‎∴在[t，t+1]上有解 ‎∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解 ‎∴g（t）g（t+1）≤0或 ‎∴0＜t＜1或2＜t＜3．‎ 故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=　　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，‎ ‎∴f′（x）=2xf'（）+cosx 令x=，‎ 则f′（）=2×f'（）+cos 则f′（）=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．‎ ‎17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．‎ ‎（1）求a、b、c的值；‎ ‎（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′‎ ‎=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．‎ ‎（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得 f′（x）=3x2+2ax+b 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①‎ 当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，‎ 可得4a+3b+4=0．②‎ 由①、②解得a=2，b=﹣4．‎ 由于l上的切点的横坐标为x=1，‎ ‎∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．‎ ‎∴c=5．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，‎ ‎∴f′（x）=3x2+4x﹣4．‎ 令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．‎ ‎∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．‎ 在x=处取得极小值f=．‎ 又f（﹣3）=8，f（1）=4．‎ ‎∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x2+lnx．‎ ‎（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；‎ ‎（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．‎ ‎【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，‎ ‎∵x＞1时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在[1，e]上是增函数，‎ ‎∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；‎ ‎（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，‎ 则F′（x）=x﹣2x2+===，‎ ‎∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），‎ ‎∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）‎ ‎（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；‎ ‎（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，‎ f（e）=e又f'（e）=2，‎ ‎∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：‎ y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，‎ 时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．‎ 当，‎ ‎…..‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，‎ ‎∴f′（x）=﹣﹣，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，‎ 解得：a=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，‎ f′（x）=﹣﹣=（x＞0），‎ 令f′（x）=0，‎ 解得x=5，或x=﹣1（舍），‎ ‎∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；‎ 单调递减区间为（0，5）；‎ 当x=5时，函数取极小值﹣ln5．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，‎ ‎（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．‎ ‎【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．‎ f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，‎ 由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，‎ 又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．‎ ‎∴g（x）min=g（1）=0‎ 即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=（1﹣x）ex﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）利用函数的 单调性，证明不等式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xex．‎ 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．‎ ‎∴f（x）的最大值为f（0）=0．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．‎ 当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．‎ 设h（x）=f（x）﹣x，‎ 则h′（x）=﹣xex﹣1．‎ 当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜ex＜1，‎ 则0＜﹣xex＜1，‎ 从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．‎ 当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，‎ 即g（x）＜1．‎ 综上，总有g（x）＜1．‎