专题73 复数-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题73 复数-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 专题73复数 最新考纲 ‎1.理解复数的基本概念．‎ ‎2.理解复数相等的充要条件．‎ ‎3.了解复数的代数表示及其几何意义．‎ ‎4.能进行复数代数形式的四则运算．‎ ‎5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】复数的概念 ‎【典型例题】‎ 若z＝（m2+m﹣6）+（m﹣2）i为纯虚数，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．3 D．﹣3‎ ‎【解答】解：∵z＝（m2+m﹣6）+（m﹣2）i为纯虚数，‎ ‎∴，解得m＝﹣3，‎ 故选：D．‎ ‎【再练一题】‎ 已知复数z满足iz＝1+2i，则z的虚部是（　　）‎ A．﹣i B．﹣‎1 ‎C．2 D．2﹣i ‎【解答】解：由iz＝1+2i，‎ 得z，‎ ‎∴z的虚部是﹣1．‎ 故选：B． ‎ 思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ ‎(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．‎ ‎【题型二】复数的运算 命题点1　复数的乘法运算 ‎【典型例题】‎ 已知复数z1＝3+4i，z2i，且z1等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵z1＝3+4i，z2i，‎ ‎∴z1（3+4i）（）．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 若复数z满足（z+i）（2+i）＝5（其中i为虚数单位），则等于（　　）‎ A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i ‎【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，‎ 得z，‎ ‎∴．‎ 故选：A． ‎ 命题点2　复数的除法运算 ‎【典型例题】‎ i为虚数单位，复数的虚部是（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．i D．﹣i ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴复数的虚部是1．‎ 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 己知b+i（a∈R，b∈R），则a+b＝（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【解答】解：由，‎ 得a+2i＝﹣1+bi，‎ ‎∴a＝﹣1，b＝2，则a+b＝1．‎ 故选：B． ‎ 命题点3　复数的综合运算 ‎【典型例题】‎ 已知i是虚数单位，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 复数，则的虚部为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣‎3 ‎C．1 D．3‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数的虚部为3．‎ 故选：D． ‎ 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. ‎ ‎(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．‎ ‎(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．‎ ‎(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．‎ ‎【题型三】复数的几何意义 ‎【典型例题】‎ 若1+ai＝（b+i）（1+i）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵1+ai＝（b+i）（1+i）＝（b﹣1）+（b+1）i，‎ ‎∴，即a＝3，b＝2．‎ ‎∴复数a﹣bi在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣2），所在的象限为第四象限．‎ 故选：D． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知复数z（其中a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z 在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵z，‎ ‎∴由题意可得，即a＝2，‎ ‎∴z，‎ 则复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．‎ 故选：A． ‎ 思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．‎ 基础知识训练 ‎1．设i是虚数单位，若复数，则复数z的模为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意，，故选D.‎ ‎2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题得z=1-i ,‎ 所以.‎ 故选：C ‎3．i为虚数单位，则复数（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴复数 故选：B ‎4．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎5．复数满足，则复数等于（）‎ A． B． C．2 D．-2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 复数满足，‎ ‎∴，‎ 故选B.‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，所以.故选A.‎ ‎7．若，其中，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意，得，所以，，所以.‎ 故选：B ‎8．记复数z的虚部为，已知复数为虚数单位），则为( )‎ A．2 B．‎-3 ‎C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，复数z的虚部为，‎ 答案选：B ‎9．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，对应的点为，因为点在直线 上，所以，解得. 故选D.‎ ‎10．已知复数满足（为虚数单位），则为（　　）‎ A． B． C．10 D．13‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 复数满足，‎ 则，‎ 所以．‎ 故选A．‎ ‎11．已知复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题 ‎ 故 ‎ 故选：A ‎12．已知，，则的共轭复数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得，‎ ‎∴，其共轭复数为，故选A．‎ ‎13．设复数为虚数单位），则的虚部是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，‎ 所以的虚部是.‎ 故答案为 ‎14．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第______象限．‎ ‎【答案】三 ‎【解析】‎ ‎，对应点的坐标为，位于第三象限，‎ 故答案为：三 ‎15．=_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 解法一：．‎ 解法二：．‎ ‎16．若，其中为虚数单位，，则的值为________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 因为，‎ 又，所以，‎ 所以有，解得，因此.‎ 故答案为 ‎17．用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数：满足，其中是复数的共轭复数，则______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得： ‎ 则 本题正确结果：‎ ‎18．是虚数单位，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎。‎ ‎19．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 的共轭复数为：‎ 本题正确结果：‎ ‎20．已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ∴．‎ 故答案为：‎ ‎21．已知是虚数单位，复数满足，则复数的实部为_____．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎，实部为.‎ ‎22．是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 是纯虚数，‎ 且，‎ ‎.故答案为.‎ 能力提升训练 ‎1．若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（ ）‎ A．2 B．‎-2 ‎C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，因复平面内所对应的点在实轴上，‎ 所以为实数，故，故选B.‎ ‎2．已知复数为纯虚数，则实数（ ）‎ A．2 B．‎-2 ‎C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由已知得，解得，故选D.‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 故选D ‎4．复数，其中是虚数单位，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，选A.‎ ‎5．已知复数为纯虚数，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，由题意得，解得，故选D.‎ ‎6．已知复数对应复平面上的点，复数满足，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为复数对应复平面上的点，所以，‎ 又复数满足，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选D ‎7．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由图像可知，故.‎ ‎8．已知复数，则的模等于__________，它的共轭复数为__________.‎ ‎【答案】. . ‎ ‎【解析】‎ 因为，‎ 所以.‎ 故答案为(1). . (2). .‎ ‎9．复数，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴复数z的虚部为-1．‎ 故答案为：-1．‎ ‎10．已知复数集合，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为复数集合，所以集合所对应的平面区域为与所围成的正方形区域；‎ 又，设，且,,，‎ 所以，设对应的点为，‎ 则，所以，又,，所以，‎ 因为复数，对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，‎ 由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.‎ 由得，由得，‎ 所以.‎ 故答案为