南安一中2012届高三上期末考试

南安一中2012届高三上期末考试

南安一中2012届高三上期末考试 一、选择题 ‎1、如果函数没有零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、等差数列的前n项和为，若，则的值是( )‎ ‎ A．130 B．‎65 C．70 D．75‎ ‎3、已知，，则是的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4、已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5、已知，，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若∥，∥，则∥； ②若⊥，⊥，则⊥；‎ ‎③若∥，∥，则∥； ④若⊥，⊥，则∥． 其中正确的命题为（ ）‎ A．①② B．②③ C. ①④ D．③④‎ ‎6、已知直线与圆相交于两点，且 则的值是（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎7、椭圆的两顶点为，且左焦点为，是以角 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8、若函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）‎ ‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9、对于函数的图像，说法正确的为（ ）‎ ‎ A．图象无对称轴，且在R上不单调 B．图象无对称轴，且在R上单调递增 ‎ C．图象有对称轴，且在对称轴右侧不单调 D．图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增 ‎10、设全集，集合，，则图中的阴影部分表示为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎11、双曲线的实轴长是 ．‎ ‎12、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎13、设（其中为自然对数的底数），‎ 则的值为 ． ‎ ‎14、若，，，满足：，，则的值为 ． ‎ ‎15、设是虚数单位），则 ．‎ 三、解答题 ‎16、‎ 已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为；‎ ‎（Ⅰ）求矩阵；‎ ‎（Ⅱ）判断矩阵是否可逆，若可逆求出其逆矩阵.‎ ‎（2）‎ 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎（3）‎ 设函数；‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）如果关于的不等式有解，求的取值范围．‎ ‎17、‎ 设函数，其中；‎ ‎（Ⅰ）若的最小正周期为，求的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．‎ ‎18、‎ 已知数列满足，，数列满足；‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求满足不等式的所有正整数的值.‎ ‎19、‎ 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；‎ ‎（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；‎ ‎（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30º，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．‎ B N C1‎ B1‎ M C A A1‎ P ‎20、‎ 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在该椭圆上；‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求圆心在原点，且与直线l相切的圆的方程．‎ ‎21、‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于，恒成立，试求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）记；当时，函数在区间上有两个零点，‎ 求实数的取值范围.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C．‎ ‎2、A． ‎ ‎3、A． ‎ ‎4、A． ‎ ‎5、C．‎ ‎6、A． ‎ ‎7、B． ‎ ‎8、C． ‎ ‎9、D． ‎ ‎10、B． ‎ 二、填空题 ‎11、4 ‎ ‎12、π+ ‎ ‎13、 ‎ ‎14、‎ ‎15、1 ‎ 三、解答题 ‎16、（1）‎ 已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为；‎ ‎（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）判断矩阵是否可逆，若可逆求出其逆矩阵.‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎，得 ①‎ ‎，得， ②‎ 由①②联立，解得，，；‎ ‎（Ⅱ）‎ 矩阵可逆，‎ ‎（2）‎ 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎（Ⅰ）‎ 所以，该直线的直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）圆的普通方程为：‎ 圆心到直线的距离 所以，圆上的点到直线的距离的最小值为 ‎（3）‎ 设函数；‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果关于的不等式有解，求的取值范围．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎ 由，得，‎ ‎① 当时，不等式化为即 所以，原不等式的解为 ……1分 ‎② 当时，不等式化为即 所以，原不等式无解.‎ ‎③ 当时，不等式化为即 所以，原不等式的解为 ‎ 综上，原不等式的解为 ‎ ‎（Ⅱ）因为关于的不等式有解，所以， ‎ 因为表示数轴上的点到与两点的距离之和，‎ 所以， ‎ ‎ ‎ 解得，‎ 所以，的取值范围为 ‎ ‎ ‎ ‎17、‎ 设函数，其中；‎ ‎（Ⅰ）若的最小正周期为，求的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．‎ ‎（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 得，‎ 所以，的单调增区间为：‎ ‎（2）的一条对称轴方程为 ‎ 又，‎ ‎18、‎ 已知数列满足，，数列满足；‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求满足不等式的所有正整数的值.‎ ‎（1）证明：由，得，‎ ‎∴‎ 所以数列是等差数列，首项，公差为 ‎（2），则。‎ 从而有，‎ 故。‎ 则，由，得。‎ 即，得。‎ 故满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。‎ ‎19、‎ 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；‎ ‎（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；‎ ‎（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30º，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．‎ 证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），‎ B1（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）‎ ‎，，‎ A1‎ C1‎ B1‎ M B A P x y z C N ‎（1）∵，∴‎ ‎∴无论取何值，AM⊥PN ‎（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。‎ ‎∴sinθ=|cos<|=‎ ‎∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ‎ ‎（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量。‎ 则得令x=3，得y=1+2,z=2-2‎ ‎∴‎ ‎∴|cos<>|=化简得4‎ ‎∵△＝100-4413＝-108<0‎ ‎∴方程（*）无解 ‎∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º ‎20、已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在该椭圆上；‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求圆心在原点，且与直线l相切的圆的方程．‎ 解：（1）设椭圆C的方程为，‎ 由题意可得，‎ 又，因为椭圆C经过，‎ 代入椭圆方程有，解得，所以故椭圆C的方程为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）解法一： 当直线l轴时，计算得到：‎ ‎，不符合题意。当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：，由 ‎ ‎ 显然，则 ‎ 又 ‎= ‎ 即,又圆O的半径 所以 化简，得 解得（舍）,所以，故圆O的方程为： ．‎ ‎ （2）解法二：设直线的方程为，‎ 由,因为 ‎，‎ 则 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以,‎ 化简得到，解得（舍）,‎ 又圆的半径为 ,所以，‎ 故圆的方程为：．‎ ‎21、‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于，恒成立，试求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）记；当时，函数在区间上有两个零点，‎ 求实数的取值范围.‎ 解：（1）直线的斜率为1.‎ 函数的定义域为，‎ 因为，所以，所以. ‎ 所以. .‎ 由解得；由解得.‎ 所以的单调增区间是,单调减区间是. ‎ ‎(2) ，‎ 由解得；由解得.‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ 所以当时，函数取得最小值，.‎ 因为对于都有成立，‎ 所以即可.‎ 则. 由解得.‎ 所以的取值范围是. ‎ ‎(3)依题得，则.‎ 由解得；由解得.‎ 所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. ‎ 又因为函数在区间上有两个零点，所以 解得.‎ 所以的取值范围是. ‎