江西省麻山中学2020届高考数学仿真模拟冲刺卷三（含解析）
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江西省麻山中学 2020 届高考数学仿真模拟冲刺卷（三）
注意事项：
1.本卷仿真文科数学，题序与高考题目序号保持一致，考试时间为 120 分钟，满分为 150 分。
2.请将答案填写在答题卷上。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．已知集合 A＝ x| 2
x＋1
≤1
，B＝{x|2x<1}，则(∁ RA)∩B＝( )
A．[－1,0)
B．(－1,0)
C．(－∞，0)
D．(－∞，－1)
2．若复数 z 满足 zi＝1＋2i，则 z 的共轭复数的虚部为( )
A．2i B．i C．1 D．2
3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图
所示，已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元，则 11 时至 12 时的销售额为( )
A．8 万元
B．10 万元
C．12 万元
D．15 万元
4．在区间[－π，π]上随机取两个实数 a，b，记向量 m＝(a,4b)，n＝(4a，b)，则 m·n≥4π2 的概率为( )
A．1－π
8
B．1－π
4
C．1－π
5
D．1－π
6
5．已知直线 l 的倾斜角为 45°，直线 l 与双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别交于 M，N 两点，
且 MF1，NF2 都垂直于 x 轴(其中 F1，F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )
A. 3 B. 5 C. 5－1 D. 5＋1
2
2
6．已知 a＝log3
7
2
，b＝
1
4
1
3 ，c＝log 1
3
1
5
，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
7．运行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为－21，则判断框中可以填( )
A．a<64? B．a≤64?
C．a<128? D．a≤128?
8．已知 e1，e2 是两个单位向量，λ∈R 时，|e1＋λe2|的最小值为 3
2
，则|e1＋e2|＝( )
A．1 B. 3 C．1 或 3 D．2
9．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个．类似的，在立体几何中，与正
四面体的四个面所在平面的距离相等的点( )
A．有且只有一个 B．有且只有三个
C．有且只有四个 D．有且只有五个
10．已知函数 f(x)＝Asin(2x＋θ)
A>0，|θ|<π
2 的部分图象如图所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝ 3，则
( )
A．f(x)在
－5π
12
，π
12 上是减函数
B．f(x)在
－5π
12
，π
12 上是增函数
C．f(x)在
π
3
，5π
6 上是减函数
D．f(x)在
π
3
，5π
6 上是增函数
3
11．设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的焦
点到准线的距离为( )
A．4 或 8 B．2 或 4
C．2 或 8 D．4 或 16
12．设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x)，对任意的 x∈R，有 f(－x)－f(x)＝0，且 x∈[0，＋∞)时，f′(x)>2x.
若 f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于________．
14．已知直线 l：kx－y－k＋2＝0 与圆 C：x2＋y2－2y－7＝0 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为________．
15．已知实数 x，y 满足
2x－y≤0，
x－3y＋5≥0，
x>0，
y>0，
则 z＝
1
4 x
1
2 y 的最小值为________．
16．已知函数 y＝f(x)(x∈R)，对函数 y＝g(x)(x∈I)，定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为 y＝h(x)(x∈I)，
y＝h(x)满足：对任意 x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x)) 对称．若 h(x)＝－asin x 是 g(x)关
于 f(x)＝cos
x＋π
4 cos
x－π
4 的“对称函数”，且 g(x)在
π
6
，π
2 上是减函数，则实数 a 的取值范围是________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共 60 分．
17．(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝3an－1
2
.
(1)求 an；
(2)若 bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.
18．(12 分)已知某保险公司的某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保
人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：
上年度出险次数 0 1 2 3 ≥4
保费/元 0.9a a 1.5a 2.5a 4a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数 0 1 2 3 ≥4
4
频数 140 40 12 6 2
该保险公司这种保险的赔付规定如下表：
出险序次 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次及以上
赔付金额/元 2.5a 1.5a a 0.5a 0
将所抽样本的频率视为概率．
(1)求本年度一续保人保费的平均值的估计值；
(2)求本年度一续保人所获赔付金额的平均值的估计值；
(3)据统计今年有 100 万投保人进行续保，若该公司此险种的纯收益不少于 900 万元，求 a 的最小值(纯收益＝
总入保额－总赔付额)．
19．(12 分)如图，△PAD 是边长为 3 的等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD.点 E，F 分
别为棱 CD，PD 上的点，且PF
FD
＝CE
ED
＝1
2
，G 为棱 AB 上一点，且AG
GB
＝λ.
(1)当λ＝1
2
时，求证：PG∥平面 AEF；
(2)已知三棱锥 A－EFG 的体积为 3，求λ的值．
5
20．(12 分)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1，F2，A，B 分别是其左、右顶点，点 P 是椭
圆 C 上任一点，且△PF1F2 的周长为 6，若△PF1F2 面积的最大值为 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若过点 F2 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 M，N 两个不同的点，证明：直线 AM 与 BN 的交点在一条定直线上．
21．(12 分)已知函数 f(x)＝x2－8x＋aln x(a∈R)．
(1)当 x＝1 时，f(x)取得极值，求 a 的值，并判断 x＝1 是极大值点还是极小值点；
(2)当函数 f(x)有两个极值点 x1，x2(x1
t(4＋3x1－x2
1)成立，求 t 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
已知曲线 C1：x2＋(y－3)2＝9，A 是曲线 C1 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
以极点 O 为中心，将点 A 绕点 O 逆时针旋转 90°得到点 B，设点 B 的轨迹为曲线 C2.
(1)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
(2)射线θ＝5π
6
(ρ>0)与曲线 C1，C2 分别交于 P，Q 两点，定点 M(－4,0)，求△MPQ 的面积．
23．[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)＝|3x－2a|＋|2x－2|(a∈R)．
6
(1)当 a＝1
2
时，解不等式 f(x)>6；
(2)若对任意 x∈R，不等式 f(x)＋3x>4＋|2x－2|都成立，求 a 的取值范围．
7
仿真模拟冲刺卷(四)
1．答案：B
解析：解法一 因为1－i
1＋i
＋3i＝1－i2
2
＋3i＝2i，故选 B.
解法二 1－i
1＋i
＋3i＝1－i＋3i－3
1＋i
＝－21－i2
2
＝2i，故选 B.
2．答案：B
解析：由 log2(x－1)<1，得 00，所以排除选项 C，D.因为 x>0 时，f(x)＝x2ex
x
＝xex，所以 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0，所以 f(x)
在(0，＋∞)上单调递增，排除选项 B.故选 A.
5．答案：B
解析：s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3；
第二次运行，s＝23－2＝6，n＝3＋2＝5；
第三次运行，s＝25－6＝26，n＝5＋2＝7；
第四次运行，s＝27－26＝102，n＝7＋2＝9>8，终止循环．输出 s＝102，故选 B.
6．答案：C
解析：解法一 不等式组
x－4y＋3≤0，
x＋2y－9≤0，
x≥1
表示的平面区域如图中三角形 ABC(包括边界)所示，作出直线 2x
8
＋y＝0 并平移，可知当直线 z＝2x＋y 经过点 A 时，z 取得最小值，解方程组
x＝1，
x－4y＋3＝0
得
x＝1，
y＝1，
即 A(1,1)，
所以 zmin＝2×1＋1＝3，当直线 z＝2x＋y 经过点 B 时，z 取得最大值，解方程组
x－4y＋3＝0，
x＋2y－9＝0
得
x＝5，
y＝2，
即
B(5,2)，所以 zmax＝2×5＋2＝12，所以 z 的取值范围为[3,12]，故选 C.
解法二 由方程组
x－4y＋3＝0，
x＝1，
x－4y＋3＝0，
x＋2y－9＝0，
x＋2y－9＝0，
x＝1，
可得可行域的三个顶点坐标分别为 A(1,1)，B(5,2)，C(1,4)，分别代入 z＝2x＋y 中，得 zA
＝3，zB＝12，zC＝6，所以 z 的取值范围为[3,12]，故选 C.
7．答案：B
解析：解法一 因为 f(x)＝2
3
2
sin ωx－1
2
cos ωx
＝2sin
ωx－π
6 ，f(x)的最小正周期为 2π，所以ω＝2π
2π
＝1，所以 f(x)＝2sin
x－π
6 ，由 2kπ－π
2
≤x－π
6
≤2kπ＋π
2
(k∈Z)，得 2kπ－π
3
≤x≤2kπ＋2π
3
(k∈Z)，
所以 f(x)的单调递增区间为
2kπ－π
3
，2kπ＋2π
3 (k∈Z)，故选 B.
解法二 因为 f(x)＝2
3
2
sin ωx－1
2
cos ωx
＝－2cos
ωx＋π
3 ，f(x)的最小正周期为 2π，所以ω＝2π
2π
＝
1，所以 f(x)＝－2cos
x＋π
3 ，由 2kπ≤x＋π
3
≤2kπ＋π(k∈Z)，得 2kπ－π
3
≤x≤2kπ＋2π
3
(k∈Z)，
所以 f(x)的单调递增区间为
2kπ－π
3
，2kπ＋2π
3 (k∈Z)，故选 B.
8．答案：D
解析：当 a＝0 时，f(x)＝－bx＋1 在[2，＋∞)上不可能单调递增，当 a≠0 时，由已知及二次函数的单调性知
－－b
2a
≤2，即 b≤4a，所以由题意可得
01，所以 e＝4，故选 B.
12．答案：A
10
解析：因为 f(x)＝1
3
x3＋a
1
2
x2＋x＋2
，所以 f′(x)＝x2＋ax＋a，
令 f′(x)＝0，则Δ＝a2－4a＝(a－2)2－4.
因为 1
2
x2＋x＋2＝1
2
(x＋1)2＋3
2
>0，所以令 f(x)＝0，则 a＝
－1
3
x3
1
2
x2＋x＋2
，
f(x)的零点转化为直线 y＝a 与函数 g(x)＝
－1
3
x3
1
2
x2＋x＋2
的图象的交点．
g′(x)＝
－x2
1
2
x2＋x＋2
＋1
3
x3x＋1
1
2
x2＋x＋2 2
＝
－1
6
x4－2
3
x3－2x2
1
2
x2＋x＋2 2
，
令 g′(x)＝0，即－1
6
x4－2
3
x3－2x2＝0，整理得 x2(x2＋4x＋12)＝0，
由于 x2＋4x＋12＝(x＋2)2＋8>0，所以 x＝0，所以 g′(x)≤0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以直
线 y＝a 与函数 g(x)的图象可能有 1 个交点．所以 f(x)的零点可能有 1 个．故选 A.
13．答案：55°
解析：由题意知 cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，∴α＝55°.
14．答案：①④⑤
解析：命题①，显然正确；命题②，m，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能 n⊂α，故③为假命题；命
题④，由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题；命题⑤，由 m∥n，m⊥α，得 n⊥α，又
α∥β，所以 n⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.
15．答案：2
解析：f′(x)＝a＋3
x2，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故 f(x)的图象在点(1，a－3)处的切线方程为 y－(a－3)
＝(a＋3)(x－1)，又切线过点(2,4)，所以 4－(a－3)＝a＋3，解得 a＝2.
16．答案：2 3
解析：∵ccos B＋bcos C＝2acos A，∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos A，∴sin(C＋B)＝2sin Acos A，
∴sin A＝2sin Acos A．∵00，所以 q＝3，所以 an＝3n－1.(5 分)
(2)bn＝ 1
n＋2log3an＋1
＝ 1
nn＋2
＝1
2
1
n
－ 1
n＋2 ，(8 分)
所以
Sn＝1
2
1－1
3
＋1
2
－1
4
＋…＋ 1
n－1
－ 1
n＋1
＋1
n
－ 1
n＋2
＝3
4
－ 2n＋3
2n＋1n＋2
.(12 分)
18．解析：(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD，
平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，CD⊂平面 ABCD，且 CD⊥AD，
所以 CD⊥平面 PAD.
在△PCD 中，E，F 分别是 PD，PC 的中点，
所以 EF∥CD，所以 EF⊥平面 PAD.
因为 EF⊂平面 EFG，所以平面 EFG⊥平面 PAD.
(2)因为 EF∥CD，EF⊂平面 EFG，CD⊄ 平面 EFG，
所以 CD∥平面 EFG，
因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，连接 DF，DG，如图，
V 三棱锥 M－EFG＝V 三棱锥 D－EFG.
取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，FH，
则 EF∥GH，
因为 EF⊥平面 PAD，EH⊂平面 PAD，
所以 EF⊥EH.
于是 S△EFH＝1
2
EF×EH＝2＝S△EFG.
平面 EFG⊥平面 PAD，平面 EFG∩平面 PAD＝EH，
且易知△EHD 是边长为 2 的正三角形，所以点 D 到平面 EFG 的距离等于正三角形 EHD 的高，为 3.
所以三棱锥 M－EFG 的体积 V 三棱锥 M－EFG＝V 三棱锥 D－EFG＝1
3
×S△EFG× 3＝2 3
3
.
12
19．解析：(1)根据直线 y＝3
2
x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点
F2，
可知焦点在 x 轴上且 M 点坐标
c，3
2
c
，F1(－c,0)，F2(c,0)．
∵MF1
→
·MF2
→
＝9
4
，
∴9
4
c2＝9
4
，∴c＝1.
设椭圆 C 方程：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，
M 点坐标
1，3
2 代入椭圆 C 方程得
1
a2＋
9
4
b2
＝1，
∵c＝ a2－b2＝1，
∴a＝2，b＝ 3.
∴椭圆 C 方程为x2
4
＋y2
3
＝1.(6 分)
(2)要使△F2PQ 的内切圆面积最大，即使△F2PQ 的面积最大，
∵F2F1 为定长，
∴当且仅当直线 l 过(－1,0)，与 x 轴垂直时△F2PQ 的面积最大，
此时 P
－1，3
2 ，Q
－1，－3
2 ，
∴|F2P
→
|＝|F2Q
→
|＝5
2
，|PQ
→
|＝3.
设△F2PQ 的内切圆半径为 r，则
1
2
×3×2＝1
2
×
3＋5
2
＋5
2 r，
∴r＝3
4
，其面积 S＝9π
16
.(12 分)
20．解析：(1)易知“地理之星”总人数为 45×1
3
＝15，得到 2×2 列联表如下：
地理之星 非地理之星 合计
男生 7 8 15
13
女生 8 22 30
合计 15 30 45
(4 分)
则 k＝45×7×22－8×82
15×30×15×30
＝1.8<2.706，
所以没有 90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关．(6 分)
(2)没有得满分的同学．记各个分值由高到低分别为 x1，x2，…，x15，则
①若有两个及以上得满分，
则 s2＝ 1
15
[(100－90)2＋(100－90)2＋(x3－90)2＋…＋(x15－90)2]>40
3
>7.2，不符合题意．(8 分)
②若恰有一个满分，为使方差最小，则其他分值需集中分布于平均数 90 的附近，且保证平均值为 90，则有 10
个得分为 89，其余 4 个得分为 90，此时方差取得最小值．(10 分)
s2
min＝ 1
15
[(100－90)2＋4×(90－90)2＋10×(89－90)2]＝22
3
>7.2，与题意方差为 7.2 不符．
综上，这些同学中没有得满分的同学．
(也可以从一个满分讨论入手，推导一个不符合题意，两个更不符合题意)(12 分)
21．解析：(1)因为 f(x)＝ x
1＋x
－aln(1＋x)(x>－1)，
所以 f′(x)＝ 1
x＋12－ a
x＋1
＝－ax－a＋1
x＋12 ，(1 分)
当 a≤0 时，f′(x)>0，所以函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．(2 分)
当 a>0 时，由
f′x>0，
x>－1，
得－1－1，
得 x>－1＋1
a
.(3 分)
所以函数 f(x)的单调递增区间是
－1，－1＋1
a ；单调递减区间是
－1＋1
a
，＋∞
.(4 分)
综上所述，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．
当 a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间是
－1，－1＋1
a ；单调递减区间是
－1＋1
a
，＋∞
.(5 分)
(2)若 a<0，则∀x1，x2∈[0，e]，不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立，
等价于“对任意 x∈[0，e]，f(x)min≥g(x)max 恒成立”．(6 分)
当 a<0 时，由(1)知，函数 f(x)在[0，e]上单调递增，
所以 f(x)min＝f(0)＝0.(7 分)
g′(x)＝2xemx＋1＋x2emx＋1m＝x(mx＋2)emx＋1，
(ⅰ)当 m≥0 时，由 0≤x≤e，得 g′(x)≥0，知函数 g(x)在[0，e]上单调递增，
所以 g(x)max＝g(e)＝eme＋3－e2>0，不符合题意．(8 分)
14
(ⅱ)当－2
e
≤m<0，即－2
m
≥e 时，在[0，e]上，g′(x)≥0，所以 g(x)在[0，e]上单调递增，所以 g(x)max＝g(e)
＝eme＋3－e2，只需满足：eme＋3－e2≤0，即 m≤－1
e
，所以－2
e
≤m≤－1
e
.(9 分)
(ⅲ)当 m<－2
e
，即 0<－2
m
－2
e
，所以 m<－2
e
.(11 分)
综上所述，实数 m 的取值范围为
－∞，－1
e .(12 分)
22．解析：(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，得 3x＋y－a＝0.(2 分)
由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，(3 分)
从而 x2＋y2＝4x，即曲线 C 的直角坐标方程为 x2－4x＋y2＝0.(5 分)
(2)解法一 由
ρ＝4cos θ
θ＝π
3 ρ≥0 ，得 P
2，π
3 .
所以|OP|＝2，(6 分)
将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2－4x＋y2＝0 中，得 t2＋(2＋ 3a)t＋a2＝0，
由Δ＞0，得 2 3－4＜a＜2 3＋4.(8 分)
设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，
则|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 4＋4 3a－a2＝2，(9 分)
解得，a＝0 或 a＝4 3.
所以，所求 a 的值为 0 或 4 3.(10 分)
解法二 将θ＝π
3
(ρ≥0)化为直角坐标方程，得 3x－y＝0(x≥0)，(6 分)
由(1)知，曲线 C：(x－2)2＋y2＝4 的圆心 C(2,0)，半径为 2，
由点到直线的距离公式，得点 C 到该射线的最短距离 d＝ 2 3
3＋1
＝ 3，(7 分)
所以该射线与曲线 C 相交所得的弦长为|OP|＝2 22－ 32＝2.(8 分)
圆心 C 到直线 l 的距离为：|2 3－a|
3＋1
＝|2 3－a|
2
，(9 分)
15
由
|2 3－a|
2 2＋12＝22，得(2 3－a)2＝12，即 2 3－a＝±2 3，
解得，a＝0 或 a＝4 3.
所以，所求 a 的值为 0 或 4 3.(10 分)
23．解析：(1)解法一 当 x＜－1
2
时，不等式化为：－2x－1＋1－2x＜4，即 x＞－1，
所以－1＜x＜－1
2
；(2 分)
当－1
2
≤x≤1
2
时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即 2＜4，
所以－1
2
≤x≤1
2
；(3 分)
当 x＞1
2
时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即 x＜1，
所以1
2
＜x＜1，(4 分)
综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}．(5 分)
解法二 设 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，
则 f(x)＝
－4x，x<－1
2
，
2，－1
2
≤x≤1
2
，
4x，x>1
2
.
(2 分)
函数 f(x)的图象如图所示，(4 分)
若 f(x)<4，由右图可得，－11
2
，
2x＋1＋2x－1<4.
(3 分)
解得－1
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