山东省潍坊诸城一中2021届高三数学11月模拟试题(Word版附答案)

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山东省潍坊诸城一中2021届高三数学11月模拟试题(Word版附答案)

诸城一中 2021 届高三 11 月份模拟 数 学 一、单项选择题 1.已知集合 2{ | 6 0}A x x x    , { | 1 0}B x x   ,则 A B  ( ) A. ( ,3] B. ( ,2) C. ( ,1) D.[ 2,1) 2.函数 f(x)=lnx﹣ +1 的零点所在的大致区间是( ) A.(1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(3,+∞) 3.已知 sin θ +sin( θ + )=1,则 sin( θ + )=( ) A. B. C. D. 4.设 x  R ,则“ 2 4x  ”是“ lg(| | 1) 0x   ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5 . 函 数   3 sin x x x xf x e e   的 图 象 大 致 是 ( ) 6.《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画,现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介: 院角的枣树结实累累,小孩群来攀扯,枝桠不停晃动,粒粒枣子摇落满地,有的牵起衣角, 有的捧着盘子拾取,又玩又吃,一片兴高采烈之情,跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想 根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作,四人 每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲不模仿“爬”且乙不 模仿“扶”的结果有( )种. A.10 B.12 C.14 D.16 7.已知 1( ) x x ef x e a   是定义在 R 上的奇函数,则不等式 2( 3) (9 )f x f x   的解集为 ( ) A. ( 2,6) B. ( 6,2) C. ( 4,3) D. ( 3,4) 8.已知函数 ,若方程 有四个不相等的实根,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了 20 名肥胖者,健身之前他们的体重( kg ) 情况如图(1),经过四个月的健身后,他们的体重( kg )情况如图(2). 对比健身前后,关于这 20 名肥胖者,下面结论正确的是( ) A.他们健身后,体重在[90,100) 内的肥胖者增加了 2 名 B.他们健身后,体重在[100,110) 内的人数没有改变 C.因为体重在[100,110) 内的人数所占比例没有发生变化,所以说明健身对体重没有任何影 响 D.他们健身后,原来体重在[110,120) 内的肥胖者体重都有减少 10.将函数 ( ) sin3 3 cos3 1f x x x   的图像向左平移 π 6 个单位长度,得到函数 ( )g x 的图 像,给出下列关于函数 ( )g x 的结论:①它的图像关于直线 5π 9x  对称;②它的最小正周期为 2π 3 ;③它的图像关于点 11π( ,1)18 对称;④它在 5π 19π[ , ]3 9 上单调递增.其中正确的结论的编 号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 11.若10 4a  ,10 25b  ,则( ) A. 2a b  B. 1b a  C. 28lg 2ab  D. lg6b a  12.已知四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的上、下底面均为正方形,其中 2 2AB  , 1 1 2A B  , 1 1 1 1 2AA BB CC DD    ,则下列叙述正确的是( ) A.该四棱台的高为 3 B. 1 1AA CC C.该四棱台的表面积为 26 D.该四棱台外接球的表面积为16π 三、填空题 13.已知函数 2 1( ) 2 , 0( ) 3 4 log , 0 x x xf x x x        ,则 ( (8))f f  . 14.某工厂质检部要对即将出厂的1000 个零件进行质检,已知每个零件质检合格的概率为 0.95,且每个零件质检是否合格是相互独立的.设质检合格的零件数为 X ,则随机变量 X 的 方差 ( )D X  . 15.已知 0a  , 0b  ,且 2a b  ,则 5 1 5a b  的最小值是 . 16.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 为棱CD 上一点,且 2CE DE , F 为棱 1AA 的中点,平面 BEF 与 1DD 交于点 G ,与 1AC 交于点 H ,则 1 DG DD  , 1 AH HC  . 四、解答题 17.(10 分)在① cos2 3sin 2 0B B   ,② 2 cos 2b C a c  ,③ cos 1 3sin b B a A  这三个 条件中任选一个,补充在下面横线处,并加以解答. 已知 ABC△ 的内角 A , B ,C 所对的边分别是 a ,b , c ,若 ,且 a ,b , c 成等差 数列,则 ABC△ 是否为等边三角形?若是,写出证明过程;若不是,请说明理由. 18.(12 分)如图(1),平面四边形 ABCD 中, 2AB AC  , AB AC , AC CD , E 为 BC 的中点.将 ACD△ 沿对角线 AC 折起,使 CD BC ,连接 BD ,得到如图(2) 的三棱锥 D ABC . (1)证明:平面 ADE 平面 BCD ; (2)已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 π 4 ,求三棱锥的体积. 19.(12 分)如图,某公园有三条观光大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边 BC =200 m,斜边 AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB,BC,AC 大道上嬉戏, (1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟 2 分 钟出发,当乙出发 1 分钟后到达 E,甲到达 D,求此时甲、乙两人之间的距离; (2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点 D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、 乙之间距离的 2 倍,且∠DEF=π 3 ,请将甲、乙之间的距离 y 表示为θ的函数,并求甲、乙之间 的最小距离. 20.(12 分)网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物 体验,为入驻商家设置了积分制度,每笔购物完成后,买家可以根据物流情况、商品质量等 因素对商家作出评价,评价分为好评、中评和差评.平台规定商家有50 天的试营业时间,期 间只评价不积分,正式营业后,每个好评给商家计1分,中评计 0 分,差评计 1 分.某商家 在试营业期间随机抽取100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况,分别制成了 图(1)和图(2): (1)通常收件时间不超过 4 天认为是物流迅速,否则认为是物流迟缓.请根据题目所给信息 完成下面 2 2 列联表,并判断能否有99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关; (2)从正式营业开始,记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X .该商家将试营业50 天期 间的成交情况制成了频数分布表,如下表,以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成 交单数的概率. ①求 X 的分布列和数学期望; ②平台规定,当积分超过10000 分时,商家会获得“诚信商家”称号.请估计该商家从正式 营业开始,1年内(365 天)能否获得“诚信商家”称号? 附: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 21.(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中, ABCD 为矩形, APB 是以 P 为直角的等腰 直角三角形,平面 PAB ⊥平面 ABCD . (1)证明:平面 PAD ⊥平面 PBC ; (2) M 为直线 PC 的中点,且 2AP AD  ,求二面角 A MD B  的余弦值. 22 .( 12 分 ) 已 知 函 数 ( ) lnxf x ae x , 其 中 2.71828e   是 自 然 对 数 的 底 数 , 2( ) lng x x x a  , 0a  . (1)讨论函数 ( )f x 的单调性; (2)设函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x  ,若 ( ) 0h x  对任意的 (0,1)x 恒成立,求实数 a 的取值范 围. 诸城一中 2021 届高三 11 月份模拟 数学解析答案 一、单项选择题 1.【答案】A 2.【答案】A 解:函数 f(x)=lnx﹣ +1 在 x>0 时,是连续增函数, ∵f(1)=ln(1)﹣2+1=﹣1<0,而 f(2)=ln2﹣1+1>ln2>0, ∴函数 f(x)=lnx﹣ +1 的零点所在区间是 (1,2),故选:A. 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】C 【解析】因为 1( ) x x ef x e a   是定义在 R 上的奇函数,所以 (1) ( 1) 0f f   , 即 1 11 01 e e e a ae     ,解得 1a  , 即 1 2( ) 11 1 x x x ef x e e     ,故 ( )f x 在 R 上为增函数, 又 2( 3) (9 )f x f x   ,所以 23 9x x   ,解得 4 3x   ,故选 C. 8.【答案】D 二、多项选择题 9.【答案】ABD 10.【答案】BC 【解析】因为 π( ) sin3 3cos3 1 2sin(3 ) 13f x x x x      , 所以 π π π( ) 2sin[3( ) ] 1 2sin(3 ) 16 3 6g x x x       . 令 π π3 π ( )6 2x k k   Z ,得 π π ( )3 9 kx k  Z , 所以直线 5π 9x  不是 ( )g x 图像的对称轴,①错误; 最小正周期 2π 2π 3T   ,②正确; 令 π3 π( )6x k k  Z ,得 π π ( )3 18 kx k  Z ,取 2k  ,得 11π 18x  , 故函数 ( )g x 的图像关于点 11π( ,1)18 对称,③正确; 令 π π π2 π 3 2 π2 6 2k x k     , k  Z ,得 2 π 2π 2 π π 3 9 3 9 k kx    , k  Z , 取 2k  ,得10π 13π 9 9x  ;取 3k  ,得16π 19π 9 9x  ,所以④错误, 故选 BC. 11.【答案】 ACD 【解析】由10 4a  ,10 25b  ,得 lg 4a  , lg 25b  , 则 lg100 2a b   , 25lg lg64b a   , 24lg 2 lg5 4lg 2 lg 4 8lg 2ab      , 故选 ACD. 12.【答案】AD 【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥 P ABCD ,并取 E , 1E 分别为 BC , 1 1B C 的中点, 连接 AC , BD, 1 1AC , 1 1B D , 1AO ,OE , OP , PE , 记四棱台上、下底面中心分别为 1O , O , 由条件知 1A , 1B , 1C , 1D 分别为四棱锥的侧棱 PA , PB , PC , PD的中点, 则 12 4PA AA  , 2OA  ,所以 2 2 1 1 1 32 2OO PO PA OA    , 故该四棱台的高为 3 ,故 A 正确; 由 4PA PC  , 4AC  ,得 PAC△ 为正三角形,则 1AA 与 1CC 所成角为 60 ,故 B 不正 确; 四棱台的斜高 2 2 2 21 1 1 14(2 3) ( 2)2 2 2 2h PE PO OE        , 所以该四棱台的表面积为 2 2 2 2 2 14(2 2) ( 2) 4 10 6 72 2       ,故 C 不正确; 易知 1 1 1 1 0OA OB OC OD    , 2 2 1 1 2A OO OA OB OC OD      , 所以O 为四棱台外接球的球心, 所以外接球的半径为 2 ,外接球表面积为 24π 2 16π  ,故 D 正确. 第Ⅱ卷 三、填空题 13.【答案】5 【解析】因为 2(8) 4 log 8 4 3 1f         ,所以 11( (8)) ( 1) ( ) 2 53f f f      . 14.【答案】 47.5 【解析】由题意可知, ~ (1000,0.95)X B , ( ) 1000 0.95 (1 0.95) 47.5D X      . 15.【答案】18 5 【解析】因为 2a b  ,所以 5 1 1 5 1 1 5 26( )( ) ( )5 2 5 2 5 5 b aa ba b a b a b        . 因为 0a  , 0b  ,所以 5 25 b a a b   (当且仅当 5 3a  , 1 3b  时,等号成立), 所以 5 1 1 26 18(2 )3 2 5 5a b      . 16.【答案】 1 6 , 3 8 【解析】如图,G 为平面 BEF 与 1DD 的交点,连接GE , EF . 易证 BF∥平面 1 1CDD C ,则 BF GE∥ ,则 AFB DGE△ △∽ , 则 AF DG AB DE  ,即 1 2 DG DE  , 又 2CE DE ,所以 1 1 6 DG DD  . 连接 1AC ,连接 AC 交 BE 于点 M ,过点 M 作 1MN CC∥ , MN 与 1AC 交于点 N , 连接 FM ,则 H 为 FM 与 1AC 的交点, 因为 AB CE∥ ,所以 3 2 AM AB MC CE   ,所以 1 3 2 AN AM NC MC   , 所以 1 3 5 MN CC  ,所以 6 5 MN HN FA AH   ,故 1 3 8 AH HC  . 四、解答题 17.【解析】选①.∵ 2cos2 1 2sinB B  ,∴ 22sin 3sin 3 0B B   , 即 (2sin 3)(sin 3) 0B B   ,解得sin 3B   (舍去)或 3sin 2B  , ∵ 0 πB  ,∴ π 3B  或 2π 3B  . 又∵ a ,b , c 成等差数列,∴ 2b a c  ,∴b 不是三角形中最大的边,∴ π 3B  , ∵ 2 2 2 2 cosb a c ac B   ,∴ 2 2 2 0a c ac   ,即 a c , 故 ABC△ 是等边三角形. 选②.由正弦定理,得 2sin cos 2sin sinB C A C  , 即 2sin cos 2sin( ) sinB C B C C   ,整理,得 2cos sin sin 0B C C  , ∵ 0 πC  ,∴sin 0C  ,∴ 1cos 2B  , ∵ 0 πB  ,∴ π 3B  , ∵ a ,b , c 成等差数列,∴ 2b a c  ,故 ABC△ 是等边三角形. 选③.由正弦定理,得 sin cos 1 sin 3sin B B A A  . ∵sin 0A  ,∴ 3sin cos 1B B  ,即 π 1sin( )6 2B   , ∵ 0 πB  ,∴ π π 5π 6 6 6B    ,∴ π π 6 6B   ,得 π 3B  . 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ,得 2 2 2 0a c ac   ,即 a c , 故 ABC△ 是等边三角形. 18.【答案】(1)证明见解析;(2) 6 6 . 【解析】(1)在三棱锥 D ABC 中, 因为 CD BC ,CD AC , AC BC C ,所以CD  平面 ABC , 又 AE  平面 ABC ,所以 AE CD , 因为 AB AC , E 为 BC 的中点,所以 AE BC , 又 BC CD C ,所以 AE  平面 BCD , 又 AE  平面 ADE ,所以平面 ADE 平面 BCD . (2)略 19.【答案】解:(1)依题意得 BD=300,BE=100. 在△ABC 中,cos B=BC AB =1 2 ,所以 B=π 3.……………………………………2 分 在△BDE 中,由余弦定理得 DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cos B =3002+1002-2×300×100×1 2 =70 000, 所以 DE=100 7 答:甲、乙两人之间的距离为 100 7 m. .………………………………6 分 (2)由题意得 EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ. 在 Rt△CEF 中,CE=EF·cos∠CEF=2ycos θ. .…………………………………8 分 在△BDE 中,由正弦定理得 BE sin∠BDE = DE sin∠DBE , 即200-2ycos θ sin θ = y sin 60° ,.…………………………………10 分 所以 y= 100 3 3cos θ+sin θ = 50 3 sin θ+π 3 ,0<θ<π 2 ,.…………………………10 分 所以当θ=π 6 时,y 有最小值 50 3. 答:甲、乙之间的最小距离为 50 3 m. .…………………………………12 分 20.【答案】(1)列联表见解析,有99% 的把握认为;(2)①分布列见解析,0.7 ;②不能获 得. 【解析】(1)由题意可得 2 2 (50 15 30 5) 100 100 6.63580 20 55 45 11K         , 所以有99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关. (2)①由题意可知, X 的所有可能取值为1,0 , 1 ,每位买家给商家作出好评、中评、差 评的概率分别为 0.8 , 0.1 , 0.1 , 所以 X 的分布列为 所以数学期望 ( ) 1 0.8 0 0.1 ( 1) 0.1 0.7E X         . ②方法一:设商家每天的成交量为Y ,则Y 的可能取值为 27 ,30 ,36 , 所以Y 的分布列为 所以 ( ) 27 0.4 30 0.4 36 0.2 30E Y        . 所以商家每天能获得的平均积分为30 0.7 21  , 商家一年能获得的积分为 21 365 7665 10000   , 所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号. 方法二:商家每天的平均成交量为 36 10 30 20 27 20 3050       , 所以商家每天能获得的平均积分为30 0.7 21  , 商家一年能获得的积分为 21 365 7665 10000   . 所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号. 21.【答案】(Ⅰ)证明: ABCD 为矩形, AD AB  ,  平面 PAB  平面 ABCD ,平面 PAB 平面 ABCD AB , AD  平面 PAB ,…………………………………2 分 则 AD PB ,又 PA PB , PA AD A  , PB  平面 PAD ,…………………………………4 分 而 PB  平面 PBC , 平面 PAD  平面 PBC ; .…………………………………6 分 (Ⅱ)取 AB 中 点 O,分别以 ,OP OB 所在直线为 ,x y 轴建立空间直角坐标系,………7 分 由 2AP AD  , APB 是 以 P 为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 得 :       2 20, 2,0 , 0, 2,2 , 0, 2,0 , , ,12 2A D B M       , ………………………8 分 2 3 2 2 3 2 2 2, , 1 , , ,1 , , , 12 2 2 2 2 2MA MD MB                                . 设平面 MAD 的一个法向量为  , ,m x y z  , 由 2 3 2 02 2 2 3 2 02 2 m MA x y z m MD x y z                 ,取 1y  ,得  3,1,0m   ;…………………9 分 设平面 MBD 的一个法向量为  , ,n x y z  , 由 2 3 2 02 2 2 2 02 2 n MD x y z n MB x y z                 ,取 x 1 ,得  1,-1,- 2n .…………………11 分 1cos 5 0,           m nm n m n …………… …………13 分 ∴二面角 A MD B  的余弦值为 10 5 .………………………12 分 22.【答案】(1) ( )f x 在定义域 (0, ) 上单调递增;(2) 1[ , )e  . 【解析】(1)因为 ( ) lnxf x ae x ,所以 1( ) (ln )xf x ae x x    , (0, )x  . 令 1( ) lnk x x x   ,则 2 1( ) xk x x   , 当 (0,1)x 时, ( ) 0k x  ,函数 ( )k x 单调递减; 当 (1, )x  时, ( ) 0k x  ,函数 ( )k x 单调递增, 所以 ( ) (1) 1 0k x k   . 又因为 0a  , 0xe  ,所以 ( ) 0f x  ,则 ( )f x 在定义域 (0, ) 上单调递增. (2)由 ( ) 0h x  ,得 ( ) ( ) 0g x f x  ,即 2ln lnxae x x x a  , 所以 ln ln ln( )x x x x x x a ae x ae ae ae    ,即 ln( ) lnx x ae x ae x  对任意 (0,1)x 恒成立. 设 ln( ) xH x x  ,则 2 1 ln( ) xH x x   . 当 (0,1)x 时, ( ) 0H x  ,函数 ( )H x 单调递增, 且当 (1, )x  时, ( ) 0H x  ;当 (0,1)x 时, ( ) 0H x  , 若 1xae x  ,则 ( ) 0 ( )xH ae H x  , 若 0 1xae  ,因为 ( ) ( )xH ae H x ,且 ( )H x 在 (0,1) 上单调递增,所以 xae x . 综上可知, xae x 对任意 (0,1)x 恒成立,即 x xa e  对任意 (0,1)x 恒成立. 设 ( ) x xG x e  , (0,1)x , 则 1( ) x xG x e   ,所以 ( )G x 在 (0,1) 上单调递增, 所以 1( ) (1)G x G ae    , 即实数 a 的取值范围为 1[ , )e  .
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