高中数学 必修4平面向量2

高中数学 必修4平面向量2

1 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算。 2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。 复习引入 1.向量的数量积 ____________ba  . 2. ji , 分别表示与 x 轴,y 轴同向的单位向量 (1)i 与 i 的夹角为_________, ii   =_______;同理 jj   =__________; (2)i 与 j 的夹角为_________, ijji   =_______; (3)如果 jyixa   ，则 a 的坐标表示为 ) (a . 学习探究 1.阅读课本第 106 页，完成下面的问题： (1)若 )(),( 2211 yxbyxa ，，   ，则 _________ba  ; (2)若 )( yxa ， ，则 ____________2  aaa  ， _________|| a ; (3)设 )(),( 2211 yxbyxa ，，   ，若 ____________________  ba  ; (4)设 )(),( 2211 yxbyxa ，，   ,则 _________|| a ， _________|| b  ， _________________________________ ba  , _________________________________cos  . 2.阅读课本第 107 页例 6，完成练习 1，2. 3.已知 )2,1(),1,3(  ba ， 求： （1） ba  ； （2） a 与b 的夹角； （3） a 在b 方向上的投影. 4.阅读课本第 106 页例 5，完成课本第 108 页 A 组 5，9，11. 技能提升 1.已知 ),3( ma  ， )1,2( b ，若 ba   ，则实数 m 的值是 . 2.已知 ),1( ),,4( ),1,2( ncmba   ，若 ca   ， cb  // ，则实数 m 的值是_______,实数 n 的值是 . 3.已知  1,1a  ，  2, 3b   ，若 2ka b  与 a  垂直，则实数 k  . 4.若 )2,(a ， )5,3(b 且 a 与b 的夹角是钝角，则  的取值范围是（ ） A． ),3 10(  B． ),3 10[  C． )3 10,( D． )3 10,[ 5.已知 A(3，2)，B(-1，-1)，若点 P(x，- 2 1 )在线段 AB 的中垂线上，则 x= . 平面向量数量积 2 平面向量的数量积第一课时 学习目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 2.理解平面向量的数量积与向量投影的关系，体会类比的数学思想和方法。 一、复习回顾： 两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量 a 与b ，作OA ＝ a ，OB ＝b ，则___________叫 a 与b 的夹角. 说明：（1）当θ＝0 时， a 与b 方向_______；（2）当θ＝π 时， a 与b 方向_______； （3）当θ＝ 2  时， a 与b 垂直，记 a ⊥b ； （4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是________.范围是 0≤≤180 二．学习探究 阅读课本 103 页完成下列任务 1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 a 与b ，它们的夹角是θ， a 与b 的数量积 a b = ________________.（其中 0≤θ≤π）. 并规定： 0 向量与任何向量的数量积为___. 2.阅读课本 104 页例 1，完成 106 页练习 1，2 108 页习题 A 组 2，6 探究：（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？ 它的符号什么时候为正？ 什么时候为负？ （2）两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？ （3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0； 但是在数量积中，若 a  0 ，且 a b =0，能不能推出b = 0 ？ （4）已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc  a=c 但是在数量积中. a b =b  c 能不能推出 a =c ？ （5）在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是( a b )c  a  (b  c ) 显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线. 3．“投影”的概念：作图 定义：__________叫做向量 b 在 a 方向上的投影.向量 a 在b 方向上的投影为_________投影是一个数量，不是向 量； 当为锐角时投影为___值； 当为钝角时投影为___值； 当为直角时投影为 0； 练习.（1）已知向量 ba, 满足 2b ， a 1， a 与b 的夹角为 060 ，则 b 在 a 上的投影是： _______ （2）已知 a 3， 4b ， 12ba 则向量 a 在向量b 方向上的投影为_______________ 4.向量的数量积的几何意义： 数量积 a b 等于________________________________ 5.两个向量的数量积的性质：设 a 、b 为两个非零向量， （1） a b  a b = ____________ ; （2） a b = _________，cos= ____________（求夹角） （3）当 a 与b 同向时，θ= _____,cos= ____, a b =____________ =______ ； 特别的 a 与 a 方向_____，θ= _____,cos= ___， a  a =____ ____, 所以 a ______ （求模） 当 a 与b 反向时，θ= _____,cos= ____, a b =____________ =______ ； （4）| a b |=__________≦_______ 6.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：a b = ______（2）数乘结合律：(  a )b =_______= _______（3）分配律：( a +b )c =_______+_______ 7.认真阅读课本 105 页例 2，例 3，完成课本 108 页习题 A 组 1，3，7，8 8.认真阅读课本 105 页例 4，完成下列各题 （1）|a|=3，|b|=4，向量 a+ 4 3 b 与 a- 4 3 b 的位置关系为（ ） A.平行 B.垂直 C.夹角为 3  D.不平行也不垂直 （2）已知|a|=1，|b|= 2 ，且(a-b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是___________ （3）已知| a |＝4，|b |＝3，(2 a －3b )·(2 a ＋b )＝61，求 a 与b 的夹角θ.