高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-2-1-2-2-第2课时学业分层测评word版含答案

高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-2-1-2-2-第2课时学业分层测评word版含答案

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·中山高二检测)圆上有 10 个点，过每三个点画一个圆内接三角形， 则一共可以画的三角形个数为( ) A．720 B．360 C．240 D．120 【解析】 确定三角形的个数为 C310＝120. 【答案】 D 2．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥 运广告．要求最后必须播放奥运广告，且 2 个奥运广告不能连续播放，则不同的 播放方式有( ) A．120 种 B．48 种 C．36 种 D．18 种 【解析】 最后必须播放奥运广告有 C 12种，2 个奥运广告不能连续播放，倒 数第 2 个广告有 C 13种，故共有 C12C13A33＝36 种不同的播放方式． 【答案】 C 3．若从 1,2,3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不 同的取法共有( ) A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 【解析】 均为奇数时，有 C45＝5 种；均为偶数时，有 C44＝1 种；两奇两偶 时，有 C24·C25＝60 种，共有 66 种． 【答案】 D 4．(2016·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…， 10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不一 致的放入方法种数为( ) A．120 B．240 C．360 D．720 【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法． 【答案】 B 5．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方 法种数为( ) A．C25C26 B．C25A26 C．C25A22C26A22 D．A25A26 【解析】 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有 C 25种方法；第二步， 从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有 A 26种．故有 C25A 26种． 【答案】 B 二、填空题 6．某单位有 15 名成员，其中男性 10 人，女性 5 人，现需要从中选出 6 名成 员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此 考察团的组成方法种数是________． 【解析】 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人，5 名女性中抽取 2 人，共有 C410C25＝2 100 种抽法． 【答案】 2 100 7．某球队有 2 名队长和 10 名队员，现选派 6 人上场参加比赛，如果场上最 少有 1 名队长，那么共有________种不同的选法． 【解析】 若只有 1 名队长入选，则选法种数为 C12·C510；若两名队长均入选， 则选法种数为 C410，故不同选法有 C12·C510＋C410＝714(种)． 【答案】 714 8．现有 6 张风景区门票分配给 6 位游客，若其中 A，B 风景区门票各 2 张，C， D 风景区门票各 1 张，则不同的分配方案共有________种． 【解析】 6 位游客选 2 人去 A 风景区，有 C 26种，余下 4 位游客选 2 人去 B 风景区，有 C 24种，余下 2 人去 C，D 风景区，有 A 22种，所以分配方案共有 C26C24A22 ＝180(种)． 【答案】 180 三、解答题 9．α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点． (1)这些点最多能确定几条直线，几个平面？ (2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？ 【解】 (1)在 9 个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意 四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定 直线 C29＝36 条．在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多．又因为 三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定 C24C15＋C14C25＋2＝72 个平面． (2)同理，在 9 个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四 点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作 C34C15＋ C24C25＋C14C35＝120 个三棱锥． 10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球． 【解】 (1)每个小球都有 4 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 46＝4 096 种不同放法． (2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C24·A24＝1 560(种)不同放法． (3)法一 按 3,1,1,1 放入有 C 14种方法，按 2,2,1,1，放入有 C 24种方法，共有 C14 ＋C24＝10(种)不同放法． 法二 (挡板法)在 6 个球之间的 5 个空中插入三个挡板，将 6 个球分成四位， 共有 C35＝10(种)不同放法． [能力提升] 1．(2015·四川高考)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( ) A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 【解析】 分两类进行分析：第一类是万位数字为 4，个位数字分别为 0,2； 第二类是万位数字为 5，个位数字分别为 0,2,4.当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有 2A 34个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个， 共有 C13A 34个偶数．故符合条件的偶数共有 2A34＋C13A34＝120(个)． 【答案】 B 2．如图 121，A，B，C，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛 连接起来，则不同的建桥方案共有________种． 图 121 【解析】 四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个 小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥 AC，BC，BD 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥 AC，CD，DA，不 符合要求，故共有 C36－4＝16 种不同的建桥方案． 【答案】 16 3．(2016·孝感高级中学期中)正五边形 ABCDE 中，若把顶点 A，B，C，D，E 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同 的染色方法共有________种. 【导学号：97270020】 【解析】 若用三种颜色，有 C15A 34种染法，若用四种颜色，有 5·A 44种染法， 则不同的染色方法有 C15A34＋5·A44＝240(种)． 【答案】 240 4．已知 10 件不同产品中有 4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出 所有 4 件次品为止． (1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第 10 次才找到最后一件次品， 则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有 4 件次品，则这样的不同测试方法数 是多少？ 【解】 (1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A 46种不同测试方法，再从 4 件 次品中选 2 件排在第 5 和第 10 的位置上测试，有 C24A22＝A 24种测法，再排余下 4 件的测试位置，有 A 44种测法． 所以共有不同测试方法 A46·A24·A44＝103 680 种． (2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一 件正品出现，所以共有不同测试方法 C16·C34·A44＝576 种.